5. FEJEZET: Szélsőértékek

Feladat: 5.1.
(NDK, 73). Adjuk meg az összes olyan pozitív számokból álló (x;y) számpárt, amelyre az

f(x;y)= x4 y4 + y4 x4 - x2 y2 - y2 x2 + x y + y x

függvény értéke maximális, és adjuk is meg f maximális értékét!
 

Feladat: 5.2.
(Zsűri, Svájc, 79). Határozzuk meg az x2 y2 z2 u szorzat maximális értékét az

x,   y,   z,   u≥0,      2x+xy+z+yzu=1

feltételek mellett!
 

Feladat: 5.3.
(NDK, 78; Csehszlovákia, 80). Adottak az a1 < a2 <…< an valós számok. Határozzuk meg az összes olyan x valós számot, amelyre az

f(x)=|x- a1 |+|x- a2 |+…+|x- an |

függvény értéke minimális és adjuk is meg a minimumot!
 

Feladat: 5.4.
(Zsűri, NDK, 79). Minden rögzített n≥2 pozitív egész esetén adjuk meg az x1 x2 … xn szorzat minimális és maximális értékét az alábbi feltételek mellett:

xi ≥ 1 n    (i=1,   2,…,n),       x1 2 + x2 2 +…+ xn 2 =1!

 

Feladat: 5.5.
(Zsűri, Svájc, 79). Adott az n>2 egész és az a>0 valós szám. Határozzuk meg az

∑i=1 n-1 xi xi+1

összeg maximális értékét az alábbi feltételek mellett:

xi ≥0   (i=1,   2,…,n),       x1 + x2 +…+ xn =a.

 

Feladat: 5.6.
(???, 79). Adottak az a1 < a2 <…< an pozitív számok. Ezek mely ( b1 ; b2 ;…; bn ) permutációjára lesz maximális a

Πi=1 n( ai + 1 bi )

szorzat?
 

Feladat: 5.7.
(Csehszlovákia, 63). Írjuk fel 2k-t minden k pozitív egész esetén két egymáshoz relatív prím szám összegeként úgy, hogy azok szorzata a lehető legnagyobb legyen!
 

Feladat: 5.8.
(Csehszlovákia, 83). Határozzuk meg minden n pozitív egészre és minden a∈[0;n] valós számra az

| ∑i=1 nsin2 xi |

kifejezés maximumát az

∑i=1 n sin2 xi =a

feltétel mellett!
 

Feladat: 5.9.
(Jugoszlávia, 74). Néhány pozitív egészről csak annyit tudunk, hogy összegük n. Legfeljebb mekkora lehet a szorzatuk?
 

Feladat: 5.10.
(Anglia, 81). Határozzuk meg | 12m - 5n | minimumát, ha m és n pozitív egészek!