6. FEJEZET: Függvények különböző tulajdonságai
Feladat: 6.1. (NDK, 83).
Adott
x1
,
x2
számokhoz keressünk olyan
f:R→R
|
f(x)=
ax4
+
bx2
+c (a,b,c∈R, a≠0)
|
alakú függvényt, amelyre
f(0)=f(
x1
)=1 és
f'
(
x2
)=0.
Feladat: 6.2. (Románia, 81).
Van-e olyan
f:R→R függvény, amelyre bármely
x valós szám esetén teljesül az
f(
x2
)-
(f(x))2
≥
1
4
összefüggés és amelyik minden értéket legfeljebb egy helyen vesz fel?
Feladat: 6.3. (Magyarország, 79; Zsűri, USA, 79).
Igazoljuk, hogy ha az
f:R→R függvény bármely
x,
y valós számokra teljesíti az
egyenlőtlenségeket, akkor
f(x)≡x (
x∈R).
Feladat: 6.4. (NDK, 72).
Legyen
|
f(x)={
0,
ha
x=
π
2
+kπ, k∈Z
1
2+
tg
2
x
a többi x-re
|
Mutassuk meg, hogy a
g(x)=f(x)+f(αx) függvény pontosan akkor periodikus, ha
α racionális.
Feladat: 6.5. (Kanada, 81).
Az
f(x),
g(x) folytonos függvéynekre teljesül az
összefüggés. Mutassuk meg, hogy ha az
f(x)=g(x) egyenletnek nincs valós megoldása, akkor nem teljesülhet az előző mellett az
összefüggés is.
Feladat: 6.6. (Románia, 81).
a) Mutassuk meg, hogy ha az
f:[0;+∞)→[0;+∞) függvény folytonos és
|
limx→+∞
f(f(x))=+∞,
akkor
limx→+∞
f(x)=+∞.
|
b) Igaz-e, hogy ha az
f:(0;+∞)→(0;+∞) függvény folytonos és
|
limx→+∞
f(f(x))=+∞,
akkor
limx→+∞
f(x)=+∞?
|
Feladat: 6.7. (Románia, 79). Igazoljuk, hogy nem létezik olyan
f:R→R folytonos függvény, amelyre
f(x) pontosan akkor racionális, ha
f(x+1) irracionális.
Feladat: 6.8. (New York, 79). Van-e olyan nem konstans
f:R→R függvény, amelyre minden valós
x,
y számpár esetén teljesül az
egyenlőtlenség?
Feladat: 6.9. (New York, 76). Az
f:[0;1]→[0;1] függvény folytonos, a
(0;1) intervallumban differenciálható és
f(0)=0,
f(1)=1. Mutassuk meg, hogy a
(0,1) intervallumban van olyan egymástól különböző
a és
b szám, amelyekre
f'
(a)
f'
(b)=1!
Feladat: 6.10. (Ausztrália, 82). Adjuk meg a
(0;1] intervallumban található összes olyan
d számot, amelyre igaz az alábbi állítás:
ha
f(x) a
[0;1] intervallumon folytonos függvény, melyre
f(0)=f(1), akkor van olyan
x0
∈[0;1-d] szám, melyre
f(
x0
)=f(
x0
+d).
Feladat: 6.11. (Románia, 78). Az
f:R→R függvényt a következőképpen értelmezzük:
f(x)=0, ha
x irracionális és
f(
p
q
)=
1
q3
, ha
p∈Z,
q∈
N+
és
(p,q)=1. Mutassuk meg, hogy az
f függvény differenciálható a
k alakú pontokban, ahol
k pozitív egész szám, de nem négyzetszám!
Feladat: 6.12. (Zsűri, Lengyelország, 76). Legyen
I=(0;1]. Tetszőleges
a∈(0;1) valós számhoz képezhetünk egy
f:I→I függvényt az alábbi definícióval:
|
f(x)={
x+(1-a),
ha
0<x≤a,
x-a,
ha
a<x≤1
|
Mutassuk meg, hogy bármely
J⊂I intervallumhoz található olyan
n pozitív egész szám, amelyre az
fn
(J)∩J metszet nem üres.
Feladat: 6.13. (Zsűri, Svájc, 77). Az
f:R→R szigorúan monoton növő függvényből képezzük a
|
g(x;y)=
f(x+y)-f(x)
f(x)-f(x-y)
, x∈R, y>0
|
függvényt. Igazoljuk, hogy ha az
egyenlőtlenség teljesül minden
y>0-ra, ha
x=0 és minden
y∈(0;|x|]-re, ha
x≠0, akkor az
egyenlőtlenség is teljesül minden
x∈R-re, ha
y>0!