7. FEJEZET: Függvényegyenletek
Feladat: 7.1. (New York, 78).
Az
f:R→R függvényre teljesül az
|
f(xy)≡
f(x)+f(y)
x+y
, x,y∈R, x+y≠0
|
azonosság. Lehet-e
f-nek
0-tól különböző értéke?
Feladat: 7.2. (Bulgária, 68).
Adjuk meg az összes olyan
f:R→R függvényt, amelyre
|
xf(y)+yf(x)≡(x+y)f(x)f(y), x,y∈R.
|
Feladat: 7.3. (Zsűri, NDK, 82).
M-mel jelöljük azoknak az
f:Z→R függvényeknek a halmazát, amelyekre
f(0)≠0 és
|
f(n)f(m)≡f(n+m)+f(n-m), n,m∈Z.
|
Adjuk meg az összes olyan
f∈M függvényt, amelyekre
a)
f(1)=
5
2
;
b)
f(1)=3.
Feladat: 7.4. (Ausztria-Lengyelország, 79).
Adjuk meg az összes olyan
f:
Z+
→R függvényt, amelyre
|
f(n+m)+f(n-m)≡f(3n), n,m∈
Z+
, n≥m.
|
Feladat: 7.5. (New York, 76).
Az
f,
g:R→R konstanstól különböző függvényekre teljesül az alábbi kettős azonosság:
|
f(x+y)≡f(x)g(y)+g(x)f(y)
f(x+y)≡g(x)g(y)-f(x)f(y)
|
x,y∈R. Adjuk meg
f(0) és
g(0) összes lehetséges értékét!
Feladat: 7.6. (MMC?, Luxemburg, 80).
Adjuk meg az összes olyan
f:Q→Q függvényt, amelyre
f(1)=2 és
|
f(xy)≡f(x)f(y)-f(x+y)+1 x,y∈Q.
|
Feladat: 7.7. (Jugoszlávia, 83).
Az
f:Z→R függvényt az alábbi összefüggés definiálja:
|
f(n)={
n-10
, ha
n>100,
f(f(n+11))
, ha
n≤100
|
minden
n∈Z-re. Mutassuk meg, hogy ha
n≤100, akkor
f(n)=91.
Feladat: 7.8. (Románia, 79). Az
f,
g,
h:
N+
→
N+
függvényekre teljesül az alábbi három feltétel:
a) a
h függvény minden értéket legfeljebb egy helyen vesz fel;
b) a
g függvény minden pozitív egész értéket felvesz.
c)
f(n)≡g(n)-h(n)+1 n∈
N+
.
Igazoljuk, hogy
f(N)≡1 n∈
N+
.
Feladat: 7.9. (Románia, 78). Mutassuk meg, hogy van olyan
f:
N+
→
N+
függvény, amelyre
Feladat: 7.10. (Románia, 78). Olyan nem konstans
f(n,m) függvényeket vizsgálunk, amelyek értelmezési tartománya az egész számok párjaiból álló halmaz és amelyek mindenütt egész értéket vesznek fel. Megköveteljük még az alábbi tulajdonságot is:
|
f(n;m)≡
1
4
(f(n-1,m)+f(n+1,m)+f(n,m-1)+f(n,m+1)) n,m∈Z.
|
Mutassuk meg, hogy
a) léteznek ilyen tulajdonságú függvények;
b) minden
k egész számra bármely ilyen függvény
k-nál nagyobb és
k-nál kisebb értéket is felvesz.
Feladat: 7.11. (Ausztria-Lengyelország, 78). Az egész számok párjainak
S részhalmazán értelmezett
f:S→S függvényt
S-univerzálisnak nevezzük, ha létezik inverze és bármaly
(m;n)∈S esetén
|
f(n;m)∈{(n-1;m),(n+1;m),(n;m-1),(n;m+1)}.
|
Mutassuk meg, hogy ha létezik
S-univerzális
f függvény, akkor olyan
S-univerzális
f függvény is van, amelyre
Feladat: 7.12. (USA, 82).
Adjuk meg az összes olyan,
0-tól különböző elemekből álló
m≤n számpárt, amelyre
m+n≠0 és amelyre
|
fm
(x,y)
fn
(x,y)≡
fm+n
(x,y) x,y∈R, xy(x+y)≠0,
|
ahol
|
fk
(x,y)=
xk
+
yk
+(-1)(x+y
)k
k
.
|
Feladat: 7.13. (Zsűri, Lengyelország, 77).
Az
f(x,y) függvény az racionális számok párjaiból álló halmazon értelmezett és csak pozitív értékeket vesz fel. Igazoljuk, hogy ha
f teljesíti az
|
f(xy,z)≡f(x,z)f(y,z),
f(z,xy)≡f(z,x)f(z,y),
f(x,1-x)≡1
|
x,
y,
z∈Q azonosságokat, akkor teljesülnek rá az
|
f(x,x)≡1, f(x,-x)≡1, f(x,y)f(y,x)≡1 x,y∈Q
|
összefüggések is!
Feladat: 7.14. (Zsűri, Jugoszlávia, 79).
Igazoljuk, hogy ha valamely
f:R→R függvény kielégíti az alábbi függvényegyenletek egyikét, akkor a másik is teljesül rá!
|
f(xy+x+y)≡f(xy)+f(x)+f(y) x,y,∈R.
|
Feladat: 7.15. (Ausztria, 75).
Adjuk meg az összes olyan
f:(1;+∞)→R függvényt, amelyre
|
f(xy)≡xf(y)+yf(x), x,y>1.
|
Feladat: 7.16. (Románia, 82).
a) Mutassuk meg, hogy ha az
f:R→R folytonos függvény kielégíti az
függvényegyenletet, akkor
f(x)≡x,
x∈R.
b) Adjunk meg ettől különböző olyan nem folytonos függvényt, amelyre teljesül az (
1)
azonosság!
Feladat: 7.17. (Zsűri, Franciaország, 79).
Adjuk meg az összes olyan
f:R→R monoton függvényt, amelyre teljesül az
azonosság!
Feladat: 7.18. (New York, 77).
Adjuk meg az összes olyan
f:R→R differenciálható függvényt, amelyre teljesül az
|
f'
(
x+y
2
)=
f(y)-f(x)
y-x
x,y∈R, x≠y
|
összefüggés!
Feladat: 7.19. (Belgium, 77).
Adjuk meg az összes olyan
f:R→R végtelen sokszor differenciálható függvényt, amelyre teljesül az
|
f(x+y)≡f(x)+f(y)+2xy x,y∈R
|
azonosság!
Feladat: 7.20. (Anglia, 69).
Mutassuk meg, hogy ha a nem azonosan nulla
f:R→R függvényre teljesül az
azonosság, és az
x=0 pontban differenciálható, akkor minden
x∈R pontban differenciálható!