8. FEJEZET: Polinomok gyökei

Feladat: 8.1.
(??, 80). Mutassuk meg, hogy az

x2 +px- 1 p2 ,      p∈R,p≠0,

polinom x1 , x2 gyökeire fennáll az x1 4 + x2 4 ≥2+2 egyenlőtlenség!
 

Feladat: 8.2.
(??, 61). Keressük meg az összes olyan p, q valós számpárt, amelyre az x4 + px2 +q polinomnak négy olyan valós gyöke van, amelyek számtani sorozatot alkotnak!
 

Feladat: 8.3.
(Anglia, 67). Mutassuk meg, hogy ha az x2 +px+1 polinom gyökei α és β, az x2 +qx+1 polinom gyökei γ és δ, akkor

(α-γ)(β-γ)(α+δ)(β+δ)= q2 - p2 .

 

Feladat: 8.4.
(NDK, 70). Mutassuk meg, hogy az α, β paraméterek bármely nullától különböző értékeire az

α x3 -α x2 +βx+β

polinom x1 , x2 , x3 gyökeire teljesül az

( x1 + x2 + x3 )( 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 )=-1

összefüggés!
 

Feladat: 8.5.
(Ausztria, 83). Határozzuk meg az a valós paraméterösszes olyan értékét, amelyre az

x3 -6 x2 +ax+a

polinom x1 , x2 , x3 gyökeire teljesül az

( x1 -3 )3 +( x2 -3 )3 +( x3 -3 )3 =0

összefüggés!
 

Feladat: 8.6.
(Zsűri, Kanada, 82). Mutassuk meg, hogy ha az a, b, c egész paraméterekre a

P(x)= x3 + ax2 +bx+c

polinom egyik gyöke a másik kettő szorzata, akkor 2P(-1) osztható a

P(1)+P(-1)-2(1+P(0))

számmal!
 

Feladat: 8.7.
(USA?, 77). Igazoljuk, hogy ha a és b az x4 + x3 -1 polinom gyökei közül kettő, akkor ab gyöke az x6 + x4 + x3 - x2 -1 polinomnak!
 

Feladat: 8.8.
(??, 81). Az a, b, c egész számokról tudjuk, hogy a>0 és az ax2 +bx+c polinomnak két különböző gyöke van a (0;1) intervallumban. Mutassuk meg, hogy a≥5. Adjunk meg legalább egy b, c párt a=5 esetén!
 

Feladat: 8.9.
(Csehszlovákia, 67). Az x4 - ax3 -bx+c polinom négy gyöke közül három épp a, b és c. Adjuk meg az összes ilyen a, b, c számhármast!
 

Feladat: 8.10.
(Csehszlovákia, 54). Igazoljuk, hogy az a, b komplex számokra pontosan akkor teljesül az a2 =2b≠0 összefüggés, ha az x2 +ax+b egyenlet gyökei a komplex számsíkon egy olyan egyenlő szárú derékszögű háromszög csúcsai, amelynek derékszögű csúcsa a koordinátarendszer origója!
 

Feladat: 8.11.
(??, 83). A

P(x)= xn + a1 xn-1 +…+ an-1 x+1

polinom a1 ,…, an-1 együtthatói nemnegatív valós számok és a polinomnak n különböző valós gyöke van. Mutassuk meg, hogy

P(2)≥ 3n .

 

Feladat: 8.12.
(??, 84). Az

= axn - axn-1 + c2 xn-2 …+ cn-2 x2 - n2 bx+b

polinomnak pontosan n pozitívgyöke van. Mutassuk meg, hogy ezek a gyökök mind egyenlők egymással!
 

Feladat: 8.13.
(??, 83). Lehet-e az

= x5 -x-1,       x2 +ax+b      (a,b∈Q)

polinomoknak közös komplex gyöke?
 

Feladat: 8.14.
(Singapur, 78). Az n-edfokú P(x) polinomra és az a<b valós számokra teljesülnek a

P(a)<0,   -P'(a)≤0,   P"(a)≤0,…,(-1 )n P(n) (a)≤0,

P(b)>0,   P'(b)≥0,   P"(b)≥0,…, P(n) (b)≥0,

egyenlőtlenségek. Mutassuk meg, hogy a P polinom valós gyökei az (a;b) intervallumban vannak!
 

Feladat: 8.15.
(NDK, 70). Mutassuk meg, hogy bármely pozitív egész n-re az

fn (x)=1+x+ x2 2! +…+ xn n!

polinomnak legfeljebb egy valós gyöke van!
 

Feladat: 8.16.
(NDK, 69; NDK, 71). Mutassuk meg, hogy ha a P(x) valós együtthatós n-edfokú polinomnak nincs valós gyöke, akkor α bármely értékére a

Q(x)=P(x)+αP'(x)+…+ αn P(n) (x)

polinomnak sincs valós gyöke.
 

Feladat: 8.17.
(Lengyelország, 79). Mutassuk meg, hogy n>1 esetén bármely olyan n-edfokú P(x) polinom, amelynek n különböző gyöke x1 , x2 , …, xn teljesíti a

1 P'( x1 ) + 1 P'( x2 ) +…+ 1 P'( xn ) =0

összefüggést!
 

Feladat: 8.18.
(New York, 75). Legyen P(x) olyan valós együtthatós polinom, amelynek minden gyöke tiszta képzetes szám. Mutassuk meg, hogy a P'(x) polinomnak is, egy kivételével, minden gyöke tisztán képzetes!
 

Feladat: 8.19.
(??, 78). Mutassuk meg, hogy a komplex együtthatós, nem azonosan nulla P, Q polinomoknak pontosan akkor ugyanazok a gyökei (ugyanakkora multiplicitással), ha az f(z)=|P(z)|-|Q(z)| függvénynek minden olyan pontban ugyanaz az előjele, ahol értéke nem nulla!