9. FEJEZET: Polinomok oszthatósága és egyenlősége

Feladat: 9.1.
(New York, 73; Belgium, 81). Mutassuk meg, hogy bármely n pozitív egész szám esetén a (x+1 )2n+1 + xn+2 polinom osztható az x2 +x+1 polinommal!
 

Feladat: 9.2.
(?, 62). Mutassuk meg, hogy bármely n∈N, α∈R számok esetén, melyekre n≠1 és sinα≠0, a

P(x)= xn sinα-xsinnα+sin(n-1)α

polinom osztható a

Q(x)= x2 -2xcosα+1

polinommal!
 

Feladat: 9.3.
(??, 66). Határozzuk meg az összes olyen 4-nél kisebb fokú R(x) polinomot, amelyhez található olyan P(x) polinom, melyre minden t valós számra fennáll az

7 sin31 t+8 sin13 t-5 sin5 t cos4 t-10 sin7 t+5 sin5 t-2≡

≡P(sint)( sin4 t-(1+sint)( cos2 t-2))+R(sint)

összefüggés!
 

Feladat: 9.4.
(USA, 77). Keressük meg az összes olyan m,n∈N számpárt, amelyre az 1+ xn + x2n +…+ xmn polinom osztható az 1+x+ x2 +…+ xm polinommal!
 

Feladat: 9.5.
(USA, 76). Mutassuk meg, hogy ha a P(x), Q(x), R(x), S(x) polinomokra teljesül az

p( x5 )+xQ( x5 )+ x2 R( x5 )≡( x4 + x3 + x2 +x+1)S(x)

összefüggés, akkor P(x) osztható az (x-1) polinommal!
 

Feladat: 9.6.
(New York, 75). Adjuk meg az összes olyan P(x) polinomot, amely kielégíti a P(0)=0 feltételt és az

P(x)≡ 1 2 (P(x+1)+P(x-1)),      x∈R

algebrai összefüggést!
 

Feladat: 9.7.
(NDK, 77). Adjuk meg az összes olyan P(x) polinomot, amelyre

xP(x-1)≡(x-2)P(x)      x∈R.

 

Feladat: 9.8.
(New York, 76). Adjuk meg az összes olyan P(x) polinomot, amelyre

(x-1)P(x+1)-(x+2)P(x)≡      x∈R.

 

Feladat: 9.9.
(??, 80). Adjuk meg az összes olyan nem azonosan nulla P(x) polinomot, amelyre

P( x2 )≡ (P(x))2       x∈R.

 

Feladat: 9.10.
(??, 79). Adjuk meg az összes olyan nem azonosan nulla P(x) polinomot, amelyre

P( x2 -2x)≡ (P(x-2))2       x∈R.

 

Feladat: 9.11.
(Zsűri, ??, 79). Adjuk meg az összes olyan nem azonosan nulla, valós együtthatós P(x) polinomot, amelyre

P(x)P(2 x2 )≡P(2 x3 +x)      x∈R.

 

Feladat: 9.12.
(??, 78). Mutassuk meg, hogy bármely P(x)≡/≡x polinomra és tetszőleges n∈N számra a

Qn (x)=P(P(…P(x)…))-x

polinom osztható a Q1 (x)=P(x)-x polinommal!
 

Feladat: 9.13.
(??, 78). Mutassuk meg, hogy ha a P(x), Q(x), R(x) harmadfokú, valós együtthatós polinomokra minden x valós szám esetén teljesül a P(x)≤Q(x)≤R(x) egyenlőtlenség és valamely x0 helyen az P( x0 )=R( x0 ) egyenlőség áll fenn, akkor valamely k∈[-1;1] számmal

Q(x)≡kP(x)+(1-k)Q(x)      x∈R.

Igaz-e az analóg összefüggés negyedfokú polinomokra?
 

Feladat: 9.14.
(Zsűri, ??, 79). Adott a P(x)= ax2 +bx+c polinom, amelyben a≠0. Mutassuk meg, hogy semelyik n∈N szám esetén sem lehet  -nél több olyan n-edfokú Q(x) polinomot megadni, amelyre teljeül az alábbi azonosság:

Q(P(x))≡P(Q(x))      x∈R.

 

Feladat: 9.15.
(??, 79). Mutassuk meg, hogy a P(z) polinom pontosan akkor páros függvénye a z∈C változónak, ha van olyan Q(z) polinom, amelyre

P(z)≡Q(z)Q(-z)      z∈C.

 

Feladat: 9.16.
(Zsűri, ??, 79). Mutassuk meg, hogy ha a P(x) valós együtthatós polinom minden x∈R helyen nemnegatív értéket vesz fel, akkor felírható

P(x)≡ Q1 2 (x)+ Q2 2 (x)+…+ Qn 2 (x)

alakban, ahol Q1 (x), Q2 (x), …, Qn (x) megfelelő valós együtthatós polinomok.
 

Feladat: 9.17.
(??, 76, Zsűri, Svájc, 76). Mutassuk meg, hogy ha a P(x) valós együtthatós polinom pozitív x-re pozitív értéket vesz fel, akkor vannak olyan nemnegatív valós együtthatós Q(x), R(x) polinomok, amelyekkel

P(x)≡ Q(x) R(x) .

 

Feladat: 9.18.
(Zsűri, NDK, 83). Jelölje An a

P(x)= a0 + a1 x+…+ an xn

alakú polinomok halmazát, ahol

0≤ a0 = an ≤ a1 = an-1 ≤…≤ a[n/2] = a[(n+1)/2] .

Mutassuk meg, hogy ha P(x)∈ An és Q(x)∈ Am , akkor a P(x)Q(x) polinom az Am+n halmazban van.
 

Feladat: 9.19.
(Zsűri, ??, 77). Mely n természetes számhoz találhatók olyan nem azonosan nulla, n-változós, egész együtthatós P, Q polinomok, amelyekre

( x1 + x2 +…+ xn )P( x1 , x2 ,…, xn )≡Q( x1 2 , x2 2 ,…, xn 2 )       x1 , x2 ,…, xn ∈R?

 

Feladat: 9.20.
(Zsűri, ??, 81). Legyenek P(x), Q(x) legalább elsőfokú polinomok és vezessük be az alábbi jelölést!

Pc ={z∈C|P(z)=c},       Qc ={z∈C|Q(z)=c}.

Mutassuk meg, hogy ha P0 = Q0 és P1 = Q1 , akkor P(x)≡Q(x)      x∈R.
 

Feladat: 9.21.
(??, 78). Mutassuk meg, hogy ha az m-nél kisebb fokú P(x,y), Q(x,y), R(x,y) polinomokra

x2m P(x,y)+ y2m Q(x,y)≡(x+y )2m R(x,y)      x,y∈R,

akkor

P(x,y)≡Q(x,y)≡R(x,y)≡0.