10. FEJEZET: Polinomok különböző tulajdonságai

Feladat: 10.1.
(??, 62). A p, q egész paraméterek mely értékeire vesz fel a a) P(x)= x2 +px+q polinom minden x∈Z helyen páros (páratlan) értéket? b) P(x)= x3 +px+q polinom minden x∈Z helyen hárommal osztható értéket?
 

Feladat: 10.2.
(NDK, 83). Mutassuk meg, hogy a

P(x)= 1 630 x9 - 1 21 x7 + 13 30 x5 - 82 63 x3 + 32 35 x

polinom minden egész helyen egész értéket vesz fel!
 

Feladat: 10.3.
(Csehszlovákia, 62). Adjuk meg az összes olyan x egész számot, amelyre a 2 x2 -x-36 polinom értéke prímszám négyzetével egyenlő.
 

Feladat: 10.4.
(??, 75). Adottak a p,q∈R paraméterek. Határozzuk meg a P(x)= x2 +px+q polinom értékkészletét a [-1;1] intervallumon. Adjuk meg az összes olyan x efész számot, amelyre a 2 x2 -x-36 polinom értéke prímszám négyzetével egyenlő.
 

Feladat: 10.5.
(Peking, 63). A P(X) egész együtthatós polinomnak négy különböző egész helyen is 2 az értéke. Mutassuk meg, hogy nincs olyan egész hely, ahol 1, 3, 5, 7 vagy 9 lenne az értéke.
 

Feladat: 10.6.
(Anglia, 80). Keressünk legalább egy olyan M halmazt, amely 7 egymást követő természetes számból áll és amelyhez található az alábbi három tulajdonsággal rendelkező ötödfokú P(x) polinom: a) P(x) együtthatói egészek; b) az M halmaz öt különböző elemére ( k∈M)- köztük az M legnagyobb és legkisebb elemére - is teljesül a P(k)=k összefüggés; c) az egyik k∈M elemre P(k)=0.
 

Feladat: 10.7.
(NDK, 74). a) Mutassuk meg, hogy nem létezik olyan P(x) polinom, amelyre minden x∈R számra teljesül az alábbi két összefüggés: 1.) P'(x)>P"(x)             2.) P(x)>P"(x). b) Igaz marad-e az a) rész állítása, ha az 1.) feltételt kicseréljük az alábbi feltételre: 1'.) P(x)>P'(x)?
 

Feladat: 10.8.
(??, 82). Adottak a P0 (x), P1 (x), ... , Pn (x) valós együtthatós polinomok és az a1 , ... , an valós számok. Mutassuk meg, hogy ha az

f(x)= P0 (x)+ ∑k=1 n ak | Pk (x)|

függvény egy valós értéket sem vesz fel egynél több helyen, akkor minden valós értéket felvesz.
 

Feladat: 10.9.
(Zsűri, ??, 83). Az { an } sorozatot (Fibonacci sorozat) az a1 = a2 =1 értékek és az an+2 = an+1 + an ( n∈N) rekurziós szabáály definiálja. Mutassuk meg, hogy ha a 990-ad fokú P(x) polinomra a k=992, 993, ... , 1982 értékeknél P(k)= ak , akkor P(1983)= a1983 -1.
 

Feladat: 10.10.
(Anglia, 78). Mutassuk meg, hogy a) minden n természetes számhoz található olyan n-edfokú egés zegyütthatós Pn (x) polinom, amelyre

2cosnt= Pn (2cost)      t∈R;

b) bármely α∈Q esetén a z cosαπ szám vagy megegyzezik a 0, ±1, ± 1 2 számok egyikével, vagy irracionális.
 

Feladat: 10.11.
(Finnország, 80). Adott a koordinátasíkon egy görbe, amely egy

P(x)= x4 + px3 + qx2 +rx+s,      (p,q,r,s∈R)

alakú polinomfüggvény grafikonja. A sík valamely egyenesét ,,vízszintes"-nek nevezzük, ha párhuzamos az x-tengellyel és négy különböző pontban - balról jobbra: A, B, C, D - metszi a görbét. Ha emellett az AB, AC, AD szakaszok hossza iegy háromszög oldalhosszai is lehetnek, akkor az egyenes ,,trianguláris"-nak is nevezzük. Mutassuk meg, hogy csak két eset lehetséges: vagy minden horizontális egyenes trianguláris, vagy egyik sem.
 

Feladat: 10.12.
(??, 77). Mutassuk meg, hogy ha a Q(x) polinom nem az azonosan nulla polinom, akkor bármely n∈N számra a P(x)=(x-1 )n Q(x) polinomnak legalább (n+1) nullától különböző együtthatója van.
 

Feladat: 10.13.
(Csehország, 74). Jelölje M a

P(x)= ax3 + bx2 +cx+d      (a,b,c,d∈R)

alakú olyan polinomok halmazát, amelyekre |P(x)|≤1, ha x∈[-1;1]. Mutassuk meg, hogy van egy olyan k korlát, amelyre |a|≤k minden P(x)∈M polinomra. Adjuk meg a legkisebb ilyen k korlátot!
 

Feladat: 10.14.
(Zsűri, Finnország, 83). Mutassuk meg, hogy bármely p, q pozitív egészekhez található olyan P(x) egész együtthatós polinom, amelyre valamely 1 q hosszúságú I⊂R intervallumban teljesül a |P(x)- p q |< 1 q2 egyenlőtlenség.
 

Feladat: 10.15.
(NDK, 80). Adjuk meg harmadfokú valós együtthatós polinomok összes olyan P(x), Q(x) párját, amely teljesíti az alábbi négy feltételt: a) az x=1, 2, 3, 4 mindkét polinom a 0 vagy az 1 értéket veszi fel; b) ha P(1)=0 vagy P(2)=1, akkor Q(1)=Q(3)=1; c) ha P(2)=0 vagy P(4)=1, akkor Q(2)=Q(4)=0; d) ha P(3)=1 vagy P(4)=1, akkor Q(1)=0.
 

Feladat: 10.16.
(??, 75). Az n-ed fokú P(x) polinomra k=0, 1, 2, ... , n esetén teljesül a P(k)=k/(k+1) összefüggés. Adjuk meg P(n+1) értékét!
 

Feladat: 10.17.
(Zsűri, 81). Az n-ed fokú P(x) polinomra k=0, 1, 2, ... , n esetén teljesül a P(k)=1/( n+1 k ) összefüggés. Adjuk meg P(n+1) értékét!
 

Feladat: 10.18.
(Zsűri, ??, 77). Adottak az x0 < x1 < x2 <…< xn egész számok. Mutassuk meg, hogy az xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 +…+ an polinomnak az x0 , x1 , x2 , ... xn helyeken felvett értékei között van olyan, amelynek az abszolút értéke legalább n! 2n .
 

Feladat: 10.19.
(Zsűri, ??, 79). A P(x) polinom foka legfeljebb 2n. Tudjuk, hogy a [-n;n] intervallumban található bármely k egész számra fennáll a |P(k)|≤1 egyenlőtlenség. Mutassuk meg, hogy ugyanezen intervallumban található bármely x valós számra teljesül a |P(x)|≤ 22n egyenlőtlenség!