12. FEJEZET: Egyenletek I.{mchap:a_i_egyenlet1}
Feladat: 12.1. {arialg_HA_048a}
Oldjuk meg fejben az alábbi egyenleteket!
| a) |
5000-(2000+x)=1996
|
x= ? |
| b) |
5000-(y-4)=1996 |
y= ?
|
Feladat: 12.2. {algI_GHP_008}[
65]
Milyen
x értékekre igazak a következő egyenletek?
a)
((6·x-4·x)·3+2 )·4-28=28
b)
(5·x+x)·5-6
3
·2=28
Feladat: 12.3. {algI_GHP_023_01ha}
Az alábbi egyenletek közül melyeknek megoldása
x=1 és melyeknek
x=-2?
a)
3x+7=-x-1;
b)
x2
+x=2;
c)
2-3x
x+6
=x+4;
d)
x2
-2x=0;
e)
x2
-x=0;
f)
2-3(3-5x)=4(1+2x)-(11-7x).
Feladat: 12.4. {algI_GHP_023_02ha}
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
a)
8·x-3=x+11;
b)
3-5·x=x+33;
c)
5·x-7=3·x-1;
d)
7-3·x=3-7·x;
Feladat: 12.5. {algI_szinszam_01}
Színezzük a számegyenest! Legyenek pirosak, zöldek illetve kékek
azok a pontok, amelyekre az alább megadott kifejezés értéke
pozitív, nulla illetve negatív.
a)
x-2
b)
2x+1
c)
(x-2)·(2x+1)
d)
3-2x
e)
(3-2x)·(2x+1)
f)
3-2x
2x+1
g)
x2
h)
x2
-x
Feladat: 12.6. {algI_GHP_029}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
9x-1-(3x+2)=3x+3
b)
17x-6-(6x+2)=3x+8
c)
25x-11-(9x-2)=4x+3
d)
8·x-2=(x+11)·11
e)
11·(8x-3)
7
=(x+11)·11
Feladat: 12.7. {algI_GHP_371}[
65]
Egy háromszög legnagyobb, illetve legkisebb szöge
4∘
-kal
nagyobb, illetve
13∘
-kal kisebb a középsőnél.
Melyik szög hány fokos?
Feladat: 12.8. {algI_GHP_372}[
65]
Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének a különbsége
36∘
.
Mekkorák ezek a szögek?
Feladat: 12.9. {algI_GHP_373}[
65]
Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei
21∘
-kal
kisebbek a csúcsnál lévő szögnél.
Határozzuk meg a háromszög szögeinek nagyságát!
Feladat: 12.10. {algI_GHP_033}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
5x-(x+8)=2(x+20)
b)
30-(2x-5)+3(x-8)=0
c)
x-3(x-2)=100
d)
2x-5(x-3)+42=0
e)
12(x+2)=7(2x+1)-3
f)
30(x-7)-56(5-x)=26
Feladat: 12.11. {algI_GHP_479}[
65]
10 évvel ezelőtt az apa
6-szor idősebb volt a fiánál.
10 év
múlva már csak kétszer lesz nála idősebb. Hány évesek most?
Feladat: 12.12. {algI_GHP_006}[
65]
Diophantosz, a III. században élt híres alexandriai matematikus
sírkövén a következő felirat állt:
Itt nyugszik Diophantosz. Mily csoda! Sírköve is még
Nagy tudományával hirdeti élte korát,
Egyhatodát gyermekkornak rendelte az isten.
Orcájára pehelyt tett feleannyi [A ,,feleannyi" így
értendő: élte egyhatodának fele.] után.
Eltelt egyheted [az ,,egyheted" így értendő: élte
egyhetede] és fáklyát gyújtott lakodalmán,
Múlik öt év, s fiúval áldja meg ekkor a nászt.
Jaj, későn született, jaj, vézna fiú! Feleannyit
éltél, mint apád, s máris a máglya emészt.
Négy évig gyászát tudománnyal csillapította.
S élete hosszát ím: - Látod e bölcs sorokon.
LÁTOD?
Feladat: 12.13. {algI_GHP_341}[
65]
10 liter
20%-os alkoholhoz hány liter
50%-os alkoholt
öntsünk, ha
30%-os alkoholt szeretnénk kapni?
Feladat: 12.14. {algI_GHP_545}[
65]
Egy osztályban a fiúk és a lányok aránya 3:4. Ha kihívunk 3 fiút
és 5 lányt, az arány 4:5-re változik.
Hány fiú és hány lány jár ebbe az osztályba?
Feladat: 12.15. {algI_GHP_154}[
65]
Egy pozitív egész szám háromszorosa nagyobb, mint 26; kétszerese
kisebb, mint 20. Melyik ez az egész szám?
Feladat: 12.16. {algI_GHP_155}[
65]
Egy pozitív egész számhoz négyet adva a kétszeresénél kisebb
számot kapunk. Melyik ez a szám?
Feladat: 12.17. {algI_GHP_234}[
65]
Oldjuk meg egyenlet felírásának segítségével a következő
feladatokat!
a) Egy
1
2
kg-os kávésdoboz kétféle kávéval van
tele: 20 dkg 770 Ft-os
[értsd: kilónként 770 Ft-os] kávé
van benne, és 30 dkg másik féle. Mennyibe kerül 1 kg a másik
kávéból, ha a kávékeverék kilója 860 Ft?
b) Kétféle kekszből akarnak 50 kg kekszkeveréket csinálni
úgy, hogy annak kg-ja 720 Ft legyen. Mennyit tegyenek bele az
egyik fajta és mennyit a másik fajta kekszből, ha az egyikből 900
Ft-ba, a másikból 600 Ft-ba kerül 1 kg?
c) 200g
8,3
g
cm3
sűrűségű sárgarezet akarnak
készteni
8,8
g
cm3
sűrűségű rézből és
7,2
g
cm3
sűrűségű cinkből.
Mennyi réz és mennyi cink kell hozzá?
Feladat: 12.18. {algI_GHP_235}[
65]
Karcsi 8 éves. Károly 4-szer annyi idős, mint Karcsi. Mikor lesz
vagy volt Károly 2-szer, 3-szor, 5-ször annyi idős, mint Karcsi?
Feladat: 12.19. {algI_GHP_236}[
65]
Három évvel ezelőtt az apa 7-szer idősebb volt a fiánál. Öt év
múlva már csak 3-szor lesz nála idősebb. Hány évesek most?
Feladat: 12.20. {algI_GHP_238}[
65]
Amikor
B kétszerannyi idős volt, mint
C, akkor
A 6 éves volt.
Most, amikor
C 21 éves,
B életkora épp kétszerese
A
életkorának. Melyikük hány éves?
Feladat: 12.21. {algI_GHP_239}[
65]
Péter és Zoli ketten vannak testvérek. Zoli születésekor anyjuk
4-szer, apjuk 5-ször annyi idős volt, mint Péter. Az apa 45-ötödik
születésnapján a család átlagos életkora 25 év. Ki hány éves
akkor?
Feladat: 12.22. {algI_GHP_240}[
65]
Egy négyjegyű szám első jegye 2. Ha ezt a kettest töröljük és a
szám végére írjuk, 63-mal nagyobb számot kapunk. Mi volt a
négyjegyű szám, és mi lett belőle?
Feladat: 12.23. {algI_GHP_241}[
65]
Egy négyjegyű szám első három számjegye megegyezik. Jegyeinek
összege 30. Ha hozzáadunk 1998-at, egy másik négyjegyű számot
kapunk. A két négyjegyű számnak ugyanazok a jegyei, de ellentétes
sorrendben. Mi az eredeti szám?
Feladat: 12.24. {algI_GHP_242}[
65]
Egy háromjegyű szám jegyeinek összege 6. Kivontuk belőle azt a
számot, amit úgy kaptunk, hogy a jegyeket fordított sorrendben
írtuk. 100-nál kisebb számot kaptunk.
Mi lehetett az eredeti háromjegyű szám?
Feladat: 12.25. {algI_GHP_243}[
65]
A és
B falu egy út mentén helyezkedik el. Az
A faluból és a
B faluból reggel 8-kor egyszerre indul egy irányban két autó. Az
A faluból induló autó sebessége
80
km
h
, a
B
faluból indulóé
60
km
h
. 9-kor háromszor akkora a két
autó távolsága, mint fél 11-kor.
Milyen messze van egymástól a két falu? Hány órakor találkozik a
két autó? (Feltételezzük, hogy az autók egyenes vonalú egyenletes
mozgással haladtak.)
Feladat: 12.26. {algI_GHP_244}[
65]
A városból
C városba 7 órakor
70
km
h
sebességgel
indult egy vonat. Egy szembejövő vonat
C-ből fél 10-kor indult
B felé
80
km
h
sebességgel. 15 óra 10 perckor
találkoznak. Ezt megelőzően mikor volt a távolságuk 30 km?
Feladat: 12.27. {algI_GHP_245}[
65]
Otthonról egy közeli üdülőtelepre gyalog
4
km
h
sebességgel mentem. Visszafelé ugyanazon az úton kerékpárral
15
km
h
sebességgel haladtam.
Visszafelé 2 óra 12 perccel rövidebb idő alatt tettem meg az utat,
mint odafelé.
Milyen messze van a házunktól az üdülőtelep?
Feladat: 12.28. {algI_GHP_246}[
65]
Egy
100 km-es úton kerékpárral indult el Bendegúz. Útközben
elromlott a kerékpárja, és így onnan kezdve, a
20
km
h
sebesség helyett,
4
km
h
sebességgel gyalogolt, s így 9 óra
alatt ért célba.
Hol romlott el a kerékpárja?
Feladat: 12.29. {algI_GHP_247}[
65]
Két tengerparti város egymástól
180 km-re van. Egyikből a
másikba kétféleképpen lehet eljutni:
8 órát hajóval és utána
2
órát busszal, vagy
3 órát hajóval és utána
3 órát busszal.
Mennyi a hajó sebessége, mennyi a buszé?
(A hajó sebessége mindkét alkalommal ugyanaz, a buszé szintén.)
Feladat: 12.30. {algI_GHP_248}[
65]
Egy tartályba 3 cső vezet. Az egyikkel 15 perc alatt lehet
megtölteni, a másikkal 20 perc alatt, a harmadikkal 30 perc alatt.
Mennyi idő alatt telik meg, ha egyszerre mindhárom csőből folyik a
víz? (Feltételezzük, hogy a csapok egyenletes sebességgel töltik a
tartályt.)
Feladat: 12.31. {algI_GHP_249}[
65]
Ibolya, Margit és Róza kukoricát morzsolnak. Ibolya 6 óra alatt
morzsolná le az összes kukoricát, Margitnak ehhez 3 óra, Rózának 4
óra kellene.
Mennyi idő alatt végzik el a munkát hárman együtt? (A
munkavégzéses feladatokban feltételezzük, hogy azonos idő alatt a
munkavégző azonos munkát végez és mindig egyenletes sebességgel.)
Feladat: 12.32. {algI_GHP_250}[
65]
Egy medencébe 2 csőből folyhat a víz. A kettő együtt 30 perc alatt
tölti meg a medencét. Egy alkalommal 6 percig mindkét csapból
folyt a víz, utána az egyiket elzárták, és még 40 perc telt el,
mire a másik csap megtöltötte a medencét.
Mennyi idő alatt lett tele a medence, ha csak az egyik vagy csak a
másik csap van nyitva?
Feladat: 12.33. {algI_GHP_251}[
65]
Egy munkát Andor és Béla 4 óra alatt csinál meg. Béla és Cecil 3
óra alatt, Cecil és Andor 6 óra alatt.
Mennyi idő alatt csinálja meg Andor egymagában?
Mennyi idő alatt Béla? Mennyi idő alatt Cecil?
Feladat: 12.34. {algI_GHP_252}[
65]
A következő feladatokban mindegyik szöveghez több egyenletet,
egyenlőtlenséget, táblázatot adunk meg, de köztük vannak hibásak
is. Keressük ki a jókat! Mondjuk meg, mit jelöl az ismeretlen, és
oldjuk meg a feladatot!
a)Egy négyjegyű szám első és utolsó jegye megegyezik. A
második jegye egyenlő a harmadikkal és néggyel nagyobb a szélső
jegyeknél. Ha 19-cel elosztjuk a számot, a hányados 315 lesz, a
maradék pedig a négyjegyű szám első jegyének a kétszerese.
Mi lehet a négyjegyű szám?
1000x+100x+4+10x+4+x
=315·19+2xeq:
algIG
HP2
52a
1
(0.1)
1000x+100·(x+4)+10·(x+4)+x
19
=315+xeq:
algIG
HP2
52a
2
(0.2)
1000x+100·(x+4)+10·(x+4)+x
=5985+2xeq:
algIG
HP2
52a
3
(0.3)
|
b)Mi lehet az az 1-nél kisebb (két egész szám
hányadosaként felírt) tört, amelynek az értéke 1-re változik, ha a
számlálóját 10-zel elosztjuk, a nevezőjéből pedig 100-at kivonjuk.
x·10
x+100
<1eq:
algIG
HP2
52b
1
(0.4)
x
10
<x-100eq:
algIG
HP2
52b
2
(0.5)
x·10<x+100eq:
algIG
HP2
52b
3
(0.6)
|
(A kapott tört számlálóját, és a vele megegyező nevezőjét jelöljük
x-szel, amely egész szám.) Gondoljuk meg, hogy
x miért egész
szám!
c)Mekkorák a háromszög szögei, ha az első szög
kétszeresénél
10∘
-kal nagyobb a második, a harmadik szög
pedig
22∘
-kal kisebb a másodiknak a háromszorosánál.
x+2x+10+3x-22
=180eq:
algIG
HP2
52c
1
(0.7)
x+2x+10+6x+10-22
=180eq:
algIG
HP2
52c
2
(0.8)
x+2x+10+6x+22
=180eq:
algIG
HP2
52c
3
(0.9)
x+2x+10+6x+30-22
=180eq:
algIG
HP2
52c
4
(0.10)
|
d)Hat géprónő nyolc napra vállal el egy munkát. A hatodik
napon közbejött akadályok miatt egyikük sem tud dolgozni. Hány
géprónőt kell még az utolsó két napra a munkába bevonni, hogy
mégis nyolc nap alatt elkészüljenek. (Mindegyik géprónő minden nap
ugyanannyi oldalt ír.)
(6+x)·2
48
+
6·5
48
=1eq:
algIG
HP2
52d
1
(0.11)
(6+x)·2+6·5
=1eq:
algIG
HP2
52d
2
(0.12)
|
e)Szezonvégi kiárustáskor 2000 egyforma kabát árát
leszállÍtották
30%-kal. Csak a kabátok negyedét sikerült
eladni. A megmaradt kabátok árát a leszálltott ár
20%-ával
fölemelték, és így a következő szezonban mind eladták. Mennyibe
került eredetileg a kabát, ha a megmaradt kabátokból a bevétel
3millió 780 ezer Ft volt.
(0,7x+0,2x)·1500
=3780000eq:
algIG
HP2
52e
1
(0.13)
1,2·0,7·x·1500
=3780000eq:
algIG
HP2
52e
2
(0.14)
|
f)Egy motorcsónak a folyón lefelé
3 km-t annyi idő
alatt tesz meg, mint felfelé
3 km-t. Egy alkalommal lement a
folyón
24 km-nyire, majd visszatért kiindulási helyére. A két út
menetideje összesen 2,5 óra volt. Mekkora a folyóvíz sebessége és
a motorcsónak sebessége állóvízben?
x+a
x-a
=
2
3
eq:
algIG
HP2
52f
1
(0.15)
24
x+a
+
24
x-a
=2,5eq:
algIG
HP2
52f
2
(0.16)
|
g)Egy kocsi egyik kerekének átmérője 60 cm, a másiké 75
cm. Mekkora távolságon fordul a kisebbik kerék 50 híján kétszer
annyit, mint a nagyobbik?
x·75·π
=(2x-50)·60·πeq:
algIG
HP2
52g
1
(0.17)
x·75·π
=(2x+50)·60·πeq:
algIG
HP2
52g
2
(0.18)
x·75
=2x·60-50eq:
algIG
HP2
52g
3
(0.19)
x·60·π
=(2x-50)·75·πeq:
algIG
HP2
52g
4
(0.20)
|
Feladat: 12.35. {algI_GHP_015}[
65]
Egy háromszögben a leghosszabb oldal 5 cm-rel kisebb, mint a másik
két oldal összege. A két rövidebb oldal közül a kisebbik 10 cm-rel
rövidebb, mint a nagyobbik. A háromszög kerülete 39 cm. Mekkorák
az oldalak?
Feladat: 12.36. {algI_GHP_016}[
65]
16-ot úgy kell három részre osztani, hogy ha az elsőből elveszünk
2-t, a másodikat megszorozzuk 2-vel, a harmadikat pedig osztjuk
2-vel, mindig ugyanazt a számot kapjuk. Melyik ez a három szám?
Feladat: 12.37. {algI_GHP_017}[
65]
Három testvér összesen 1500 forintot kapott az apjától. Az
egyiknek volt már 200 forintja, a másik 200 forintot költött el a
kapott pénzből, a harmadik a pénz felét költötte el. Ekkor
tapasztalták, hogy mindegyiknek ugyanannyi pénze van.
Ki mennyit kapott?
Feladat: 12.38. {algI_GHP_018}[
65]
Gondolj egy számot! A kapott számot szorozd meg 6-tal, az
eredményhez adj hozzá 24-et, a most kapott számból vedd el a
gondolt szám ötszörösét!
Mondd meg az eredményt, és én kitalálom mire gondoltál?
Hogyan lehetséges ez?
Feladat: 12.39. {algI_GHP_019}[
65]
Gondolj egy számot! A kapott számot szorozd meg 6-tal, az
eredményhez adj hozzá 24-et, a most kapott számból vedd el a
gondolt szám ötszörösét, ezután az eredményhez adj 12-t, majd vedd
el a gondolt számot!
Én nem ismerem azt a számot, amire gondoltál, mégis meg tudom
mondani a végeredményt. Hogyan lehetséges ez?
Feladat: 12.40. {algI_GHP_020}[
65]
a) Gondoltam egy számot, megszorzom 6-tal, hozzáadok
24-et, majd az eredményből levonom a gondolt szám kétszeresét, és
ezután megmondom az eredményt.
Hogyan lehet ebből kitalálni, hogy mi volt a gondolt szám?
b) Most a gondolt szám felénél kettővel nagyobb számot
megszorzom 6-tal, és az így kapott értéket fogom közölni.
Ebből hogyan lehet kitalálni, hogy mi volt a gondolt szám?
Feladat: 12.41. {algI_GHP_063}[
65]
Gondoljunk egy számot, szorozzuk meg 2-vel, a szorzathoz adjunk
50-et, a kapott számot osszuk el 2-vel, a hányadosból vegyük el a
gondolt számot, és az eredmény 25 lesz. Magyarázzuk meg, hogy
miért lesz az eredmény mindig 25, bármely számra gondolunk is!
Feladat: 12.42. {algI_GHP_021}[
65]
Egy tégla tömege 1 kg és egy fél tégla. Milyen tömegű a tégla?
Feladat: 12.43. {algI_GHP_025}[
65]
Két zsebemben együttvéve 100 Ft van. Ha az egyikben levő összeg
harmadrészét és még 6 Ft-ot átteszek a másikba, akkor ugyanannyi
pénz lesz mindkét zsebemben. Mennyi volt eredetileg mindkét
zsebemben?
Feladat: 12.44. {algI_GHP_026}[
65]
Mekkorák az olyan egyenlő szárú háromszög szögei, melyben az
alapon levő szög harmadrésze 10 fokkal kisebb a csúcsnál lévő szög
felénél?
Feladat: 12.45. {algI_GHP_233}[
65]
Oldjuk meg a következő szöveges feladatokat!
a) A jobb zsebemben 39 Ft-tal több van, mint a bal
zsebemben. Ha a jobb zsebemben levő pénz felét átteszem a balba,
ott kétszer annyi lesz, mint a jobb zsebemben. Mennyi pénz volt a
zsebeimben?
b) Oldjuk meg ugyanezt a feladatot más adattal, 39
helyett 77-tel!
c) Oldjuk meg a feladatot paraméteresen: 39 helyett
tetszőleges
k-val!
d) Most térjünk vissza arra az esetre, amikor a jobb
zsebemben 39 Ft-tal van több pénz, mint a balban. Megint átteszem
a jobb zsebemben levő pénz felét a balba, de most csak másfélszer
annyi lett a balban, mint a jobb zsebemben. Mennyi pénz volt a
zsebeimben?
Feladat: 12.46. {algI_GHP_199}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
(x-1
)2
=
x2
-10
b)
(x-2
)2
=
x2
-20
c)
(x-3
)2
=
x2
+10
d)
(x+2)(x-3)-(x-1)(x-2)=10
Feladat: 12.47. {algI_GHP_224}[
65]
A
3(x+2)-2(x-1)=5x+16 egyenletben szereplő számok (tehát a 3, 2,
2 ,1, 5, 16) közül
egyet megváltoztathatunk, de csak pozitív
számot tehetünk a helyére. Más változtatásra nincs lehetőség.
El lehet-e érni ilyen módon, hogy a keletkező egyenletnek
a) ne legyen megoldása?
b) minden szám a megoldása legyen?
Feladat: 12.48. {algI_GHP_225}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a)
x-
2x-1
3
=2x-3(5-2x)
b)
(x+1)(x+2)-(x+3)(x-5)=5x+6
c)
(x+1
)2
2x-1
-
(x-2
)2
2x-1
=3
d)
x2
+6x=0
Feladat: 12.49. {algI_GHP_226}[
65]
Adjunk meg olyan egyenletet, amelynek
a) kettő kivételével minden szám megoldása;
b) pontosan három megoldása van!
Feladat: 12.50. {algI_GHP_226_plusz_HAFT_060510_01}
Írjunk kifejezést a fenti egyenlet jobb oldalára úgy, hogy a
kapott egyenletnek
a) minden szám megoldása legyen;
b) ne legyen megoldása;
A megoldások száma
c) pontosan 1;
d) pontosan
2;
e) pontosan 3;
f) végtelen
legyen, illetve
g) 1 szám;
h) 2 szám
kivételével minden szám megoldása legyen.
Feladat: 12.51. {algI_GHP_226_plusz_HAFT_060510_02}
Adjunk meg olyan egyenletet, amelynek végtelen sok megoldása van
és végtelen sok olyan szám is van, amely nem megoldása!
Feladat: 12.52. {arialg_HA_057}
Pótoljuk a szöveg lejegyzését törttel és tizedestörttel, illetve
találjunk ki a képletnek megfelelő szöveget is!
szöveg | lejegyzés |
| törttel | tizedestörttel |
x
20% -ából | | | | |
kidobva a
70%-át
marad: |
|
3
10
·
4
5
·x |
|
0,3·0,8x |
y
25%-át
40%-kal
növelve | | | | |
a kapott mennyiség: | | | | |
z-t csökkentjük
a
10%-ával, | | | | |
majd ez
z
20%-ával növeljük: | | | | |
| | | |
1,3·0,7v |
| | | |
1,3v+0,7v
|
Feladat: 12.53. {arialg_HA_028}
Mesebeli János elszegődött egy évre a sárkányhoz 1000 aranyért és
egy rend ruháért. Egy hónapi szolgálata után a sárkány felmondott,
kiszámította János bérét, és fizetségül csak egy rend ruhát adott,
aranyat nem, sőt még János fizetett egy aranyat a sárkánynak.
Számítsuk ki hány aranyat ért egy rend ruha!
Feladat: 12.54. {algI_GHP_271}[
65]
Két munkás egy házban lakik és egy üzemben dolgozik. Reggel az
idősebb 5 perccel korábban indul, mint a másik. A korábban induló
munkás a lakás és az üzem közti távolságot 30 perc alatt teszi
meg, fiatalabb lakótársa 20 perc alatt. Hány perc múlva éri utol a
fiatalabb az idősebbet?
Feladat: 12.55. {algI_GHP_274}[
65]
Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 13. Ha a számot 12-vel
osztjuk, akkor a hányados megegyezik a szám utolsó jegyével, a
maradék pedig 2-vel kisebb. Melyik ez a szám?
Feladat: 12.56. {algI_GHP_276}[
65]
Hét jó barát egy kosár diót kap. Ha egyenlően elosztják egymás
között, 2 dió megmarad. Jött egy nyolcadik barát is, ha vele
megosztoznak, 4 dió marad, és a hét barát mindegyike 7-tel
kevesebbet kap, mint előbb. Hány dió volt a kosárban?
Feladat: 12.57. {algI_GHP_280}[
65]
Két egyenlő magasságú gyertyát gyújtunk egyszerre meg. Az első 4,
a második 3 óra alatt ég el. (A gyertyák magassága egyenletesen
csökken). Hány óra múlva lesz az első gyertyacsonk kétszer olyan
magas, mint a második?
Feladat: 12.58. {algI_GHP_281}[
65]
B ezt mondja öccsének: ,,Ha éveim számának kétszereséből levonod
kettőnk korkülönbségének felét, 30-cal többet kapsz, mint ha
összeadnád éveink számát, és ezt az összeget megfeleznéd."
Hány éves
B?
Feladat: 12.59. {algI_GHP_282}[
65]
B ezt mondja
C-nek: ,,Én most háromszor annyi éves vagyok,
mint ahány éves te voltál akkor, amikor én olyan korú voltam, mint
te most."
C így válaszol: ,,Érdekes, én meg azt vettem észre,
hogy amikor én olyan idős leszek, mint te most, akkor te kétszer
olyan öreg leszel mint én most"
Mit állapíthatunk meg
B és
C életkoráról?
Feladat: 12.60. {algI_GHP_283}[
65]
Négy szám összege 100. Ha az egyik számhoz 4-et adunk, a másikból
4-et elveszünk, a harmadikat 4-gyel szorozzuk, a negyediket 4-gyel
elosztjuk, csupa egyenlő számot kapunk.
Melyik ez a négy szám?
Feladat: 12.61. {algI_GHP_285}[
65]
Kovács nagypapa, akinek életkora 50 és 70 esztendő közé esik, a
következőket szokta mondani barátainak: ,,Mindegyik gyermekemnek
annyi gyermeke van, mint ahány testvére; Gyermekeim és unokáim
száma pedig együttvéve annyi, mint életéveimnek száma!"
Hány éves a nagypapa?
Feladat: 12.62. {algI_GHP_287}[
65]
Egy háromszög egyik szöge a másik kettő számtani közepe. A két
nagyobb szög összege akkora mint a két kisebb szög háromszorosa.
Soroljuk fel nagyságrendben a háromszög szögeit!
Feladat: 12.63. {algI_GHP_289}[
65]
Mekkorák az olyan egyenlő szárú háromszög szögei, melyben az
alapon levő szög harmadrésze
10∘
-kal kisebb a csúcsnál lévő
szög felénél?
Feladat: 12.64. {algI_GHP_296}[
65]
Egy kerékpáros egy bizonyos távolságot 5 óra alatt tesz meg. Ha az
út harmadának megtétele után 40 percet kell várakoznia, akkor,
hogy lemaradását behozza, az út további részén óránként 4km-rel
többet kell megtennie, mint idáig.
Mekkora a megteendő út és az eredeti sebessége?
Feladat: 12.65. {algI_GHP_297}[
65]
B-ből
C-be 8 órakor indul egy motorkerékpár,
C-ből
B-be 7
órakor indul egy autó. Az autó sebessége 10
km
h
-val
nagyobb a motorkerékpárénál. 10 órakor távolságuk fele a teljes
út hosszának. 12 órakor pedig már csak 60 km-re vannak egymástól.
Milyen messze van
B helyiség
C-től?
Feladat: 12.66. {algI_GHP_299}[
65]
Egy motoros hazafelé menet útépítési munkálatok miatt kerülő úton
volt kénytelen menni. Hogy a 8 km-es távolságnövekedést
ellensúlyozza, sebességét 2
km
h
-val megnövelte. Így is
a megszokott 30 perc helyett 35 percig tartott. Mekkora utat tett
meg a motoros hazafelé?
Feladat: 12.67. {algI_GHP_303}[
65]
A és
B távolsága 9 km.
A-ból
B felé indul egy kerékpáros,
és ugyanakkor indul
B-ből egy autóbusz
A felé (de
A-n csak
áthalad, jóval rajta túl fog megállni). A két jármű indulás után
10 perccel találkozik, és ezután 10 perccel ismét egyenlő
távolságra vannak
A-tól.
Mekkora a sebességük?
Feladat: 12.68. {algI_GHP_305}[
65]
Ketten lovagolnak egy körpályán. Ha szembe haladnak, akkor 7,5
percenként, ha egy irányba, akkor félóránként találkoznak. Mennyi
idő alatt tesz meg egy kört a gyorsabb lovas?
Feladat: 12.69. {algI_GHP_306}[
65]
Két kerékpáros egyszerre indul el egymás felé 6
m
s
,
illetve 8
m
s
sebességgel.
Az elindulásuktól számtott 40-edik és 50-edik másodpercben
ugyanakkora lesz az egymástól való távolságuk.
Milyen messze voltak egymástól induláskor?
Feladat: 12.70. {algI_GHP_310}[
65]
Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 11. Ha a számhoz 63-at adunk,
olyan számot kapunk, amely ugyanazokat a számjegyeket tartalmazza,
mint az eredeti, csak fordított sorrendben. Melyik az eredeti
szám?
Feladat: 12.71. {algI_GHP_338}[
65]
Egy utat kerékpárral haladva az egyik irányban 20
km
h
a
másik irányban 30
km
h
sebességgel tettem meg. Összesen
4 órán át kerékpároztam.
Mekkora távolságot jártam be?
Feladat: 12.72. {algI_GHP_345}[
65]
Az
A-ból
B-be vezető 42
km-es út eleinte sík terepen vezet,
majd egy meredek kaptató következik. Egy gyalogos, aki a sík
részen 6
km
h
, a kaptatón pedig 3
km
h
sebességgel haladt, az egész utat 9 óra alatt tette meg.
Milyen hosszú az út sík, illetve meredek része?
Feladat: 12.73. {algI_GHP_484}[
65]
Az
A-ból
B-be vezető
180 km-es vasútvonalra új típusú
mozdonyokat helyeztek. Ennek következtében a vonatok
átlagsebessége
20%-kal növekedett, a menetidő pedig
45
perccel csökkent. Mekkora a vonatok jelenlegi sebessége?
Feladat: 12.74. {algI_GHP_485}[
65]
Az
A-ból
B-be vezető
42 km-es út eleinte sík terepen vezet,
majd egy meredek kaptató következik. Egy gyalogos, aki a sík
részen
6 km/ó, a kaptatón pedig
3 km/ó sebességgel haladt, az
egész utat
9 óra alatt tette meg. Milyen hosszú az út sík része,
és milyen hosszú a meredek része?
Feladat: 12.75. {algI_GHP_527}[
65]
A
C-ből
D-be vezető 43
km-es út egy sík és egy meredeken
felfelé vívő részből áll. Egy gyalogos, aki felfelé
2
km
h
, lefelé pedig 6
km
h
sebességgel
haladt, megtette az utat oda is és vissza is. Odafelé 14 órát,
visszafelé 8 órát vett igénybe az utazás.
Mekkora sebességgel haladt az út vizszintes részén?
Feladat: 12.76. {algI_GHP_528}[
65]
B-ből
C-be 8 órakor elindul egy motorkerékpár,
C-ből
B-be
7 órakor indul egy autó. Az autó sebessége 10
km
h
-val
nagyobb a motorkerékpárénál. 10 órakor a távolságuk fele a teljes
út hosszának, 12 órakor pedig már csak 60 km-re vannak egymástól.
Milyen messze van
B
C-től?
Feladat: 12.77. {algI_GHP_348}[
65]
Négy szomszédos páratlan szám közül a két középső szorzatából
levontuk a két szélső szorzatát. Eredményül 12-t kaptunk.
Mi volt ez a négy szám?
Feladat: 12.78. {algI_GHP_212}[
65]
Négy szomszédos egész szám közül a két középső szorzatából
levontuk a két szélső szorzatát. Eredményül 2-t kaptunk. Mi volt a
négy szám?
Feladat: 12.79. {algI_GHP_080}[
65]
Milyen
x-re igazak a következő egyenletek és egyenlőtlenségek?
a)
9x-(7x-(2x+(2x-1)·7)+1)=(9x-7)·8
b)
8x-35
7
-
x
7
=
9x-3
3
-4·
25x-40
5
c)
9x-81<
75x-450
4
-3·(7x-8)
Feladat: 12.80. {algI_GHP_082}[
65]
Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelynek az egyik szöge 30
fokkal nagyobb a másiknál, és e két szögének a számtani közepével
egyezik meg a harmadik szöge?
Feladat: 12.81. {algI_GHP_083}[
65]
Ha három tanuló ül egy-egy asztalnál, akkor 5-nek nincs helye. Ha
azonban négyen ülnének egy-egy asztalnál, akkor az egyik asztalhoz
csak három gyerek jutna. Hány asztal van az osztályban és hány
gyerek?
Feladat: 12.82. {algI_GHP_084}[
65]
Ha négyszer annyi pénzem lenne, mint amennyi van, akkor 1000
forintnál annyival lenne több pénzem, amennyivel most kevesebb a
pénzem 1000 forintnál. Hány forintom van?
Feladat: 12.83. {algI_GHP_086}[
65]
Egy négyjegyű számban az első és a harmadik jegy egyenlő, és a
második és a negyedik jegy is megegyezik egymással. A négy jegy
összege 20. Ha az egyesek elhagyásával nyert háromjegyű számhoz
hozzáadjuk az elhagyott jegyet, 200-at kapunk.
Melyik ez a négyjegyű szám?
Oldjuk meg a feladatot okoskodással is!
Feladat: 12.84. {algI_GHP_087}[
65]
Két jó barát közül az idősebb 1,3-szer olyan idős, mint a
fiatalabb. 15 év múlva a fiatalabb olyan idős lesz, mint az
idősebb most. Hány évesek?
Feladat: 12.85. {algI_GHP_480}[
65]
Amikor
B
3-szor volt idősebb
C-nél,
A
4 éves volt. Most,
amikor
C
14 éves,
B életkora épp
3-szorosa
A
életkorának. Melyikük hány éves?
Feladat: 12.86. {algI_GHP_482}[
65]
A
3-szor olyan idős, mint amilyen
B volt, amikor
A olyan
idős volt, mint
B. Amikor
B olyan idős lesz, mint most
A,
éveik száma összesen
105 lesz. Hány éves most
A és hány éves
B?
Feladat: 12.87. {algI_GHP_483}[
65]
Megkérdeztem egyik barátomat, hogy családjának tagjai hány évesek.
Így válaszolt:
- Hat év múlva apám háromszor olyan idős lesz, mint én voltam
amikor apám éveinek száma egyenlő volt az én és a húgom akkori
évei számának összegével. Jelenlegi korom ugyanannyi, mint apám
kora volt akkor.
19 év múlva apám kétszer olyan idős lesz, mint
a húgom ma.
Meg tudod-e mondani, hogy hány évesek a barátom családtagjai?
Feladat: 12.88. {algI_GHP_500}[
65]
Négy szám összege
100. Ha az elsőt hárommal megszorozzuk, a
másodikat megfelezzük, a harmadikból hatot elveszünk, a negyediket
tízzel növeljük, azonos számokat kapunk. Mi volt a négy szám?
Feladat: 12.89. {algI_GHP_088}[
65]
A természetes számsorban két egymás utáni szám szorzata 326-tal
kevesebb, mint az utánuk következő két szám szorzata. Melyik két
számról van szó? Mi a helyzet, ha a feladatban 326 helyett 328
szerepel?
Feladat: 12.90. {algI_GHP_169}[
65]
Mekkora annak a négyzetnek egy oldala, amelynek a területe
ugyanannyi cm
2
, mint ahány cm a kerülete?
Feladat: 12.91. {algI_GHP_170}[
65]
Egy kiránduló útjának a felét 2,5 km/h átlagsebességgel tette meg
a tervezett 5 km/h átlagsebesség helyett. Legalább mekkora
sebességgel haladjon az út hátralevő részén, hogy az út végéig
behozza a lemaradását?
Feladat: 12.92. {algI_GHP_186}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a)
4(x-3)-x=x+100
b)
3(x+1)-
x
4
=x+10
Feladat: 12.93. {algI_GHP_189}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
4x-
2x+7
3
=100;
b)
x
2
-
3x-1
5
=4
Feladat: 12.94. {algI_GHP_213}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a)
x-
2x+1
5
=-1
b)
x
2
-2(3x-1)=7,5
c)
2(x+1)
3
-3
1-2x
4
=x+0,5
d)
3x+5
1-2x
=2
Feladat: 12.95. {algI_GHP_220}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
(x+2
)2
=9
b)
(x-1)·(2x+1)=0
c)
5x-2(x+3)=3x-6
d)
7x-4(x-2)=3x-8
e)
2x+1
3
-
2x-1
4
=1
f)
1
2+
1
3+x
=5
g)
6x+5
5x+4
=3
h)
x
x-1
+
2
x+1
=1+
x+5
x2
-1
i)
(
x+1
x-1
)2
=4
Feladat: 12.96. {algI_GHP_191}[
65]
Oldjuk meg az alábbi egyenletet!
(x+2)(x+4)-
x2
=
200
x=
?
|
Feladat: 12.97. {algI_GHP_192}[
65]
Megkapjuk
(2x+3)(5x+2)-10
x2
értékét. Hogyan tudjuk ebből a
lehető leggyorsabban megmondani
x értékét?
Feladat: 12.98. {algI_GHP_205}[
65]
a) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 4-gyel, és az
eredményből levontam a gondolt számnál 5-tel nagyobb szám
kétszeresét. Ehhez a gondolt számot hozzáadva azt kaptam, hogy
... .
Gondoljuk végig, hogy a kipontozott rész ismeretében hogyan
lehetne a lehető leggyorsabban meghatározni a gondolt számot!
b) Most a gondolt számnál kettővel nagyobb szám
négyzetéből levonom a gondolt szám négyzetét, és az így kapott
értéket fogom közölni.
A kérdés ugyanaz.
Feladat: 12.99. {algI_GHP_162}[
65]
Milyen
x-re igazak a következő egyenletek?
a)
x-499
501
=
x-501
499
b)
x-54
23
-
x+53
163
=
x-37
63
c)
x·(x-2)=0
d)
(x+8)·(x-3)·2x=0
e)
(x+2)·(x-2)=x+2
f)
x+2
x+3
=0
g)
x+2
x+3
=x+2
h)
x+2
x+4
=x+2
i)
(x-1)·(x+2)
2+x
=0
j)
(x-1)·(x-2)
2-x
=1-x
k)
x-949
51
+
x-828
43
=
x-926
37
+
x-931
23
l)
(95x+96)·(97x+98)·(99x+100)=0
m)
(x-1
)4
=1
n)
(x+2
)2
-1=8
o)
x3
+
x4
=0
p)
x3
+
x4
=x+1
q)
x101
=x
Feladat: 12.100. {algI_GHP_031}[
65]
A következő egyenletek megoldását vissza lehet vezetni elsőfokú
egyenletek megoldására. Hogyan?
Milyen
x-re igaz?
a)
x2
+121=(x+11)·x
b)
x2
-2·x=0 (Óvakodjunk, nehogy gyököt
veszítsünk!)
c)
2
x2
-3x
x
=23
d)
2
x2
-3x
2x-3
=0
Feladat: 12.101. {algI_GHP_462}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
(x-1
)2
-(x+3)·(x-2)=70
b)
2+6
x2
-
x2
-1
3
=1-6·(
x2
-8)
c)
x2
+5x=0
d)
(x-3)·(2x+1)=0
e)
(x+1
)2
-(x-2
)2
2x-1
=6
f)
(
2x+3
3x-2
)2
=25
g)
(x+2
)2
+(x-2
)2
4
=(x+1
)2
+(x-1
)2
h)
(x+1)·(x+5)-(3x-1)=8x-(2-x)·(x-3)
Feladat: 12.102. {algI_valthely_HAFT_060510_01}
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
2(
x2
-1)+5=3
x2
-6
b)
2(|x|-1)+5=3|x|-6
c)
2(
1
x
-1)+5=
3
x
-6
d)
2[(x-1
)2
-1]+5=3(x-1
)2
-6
e)
2
x3
+5=3(
x3
+1)-6
Feladat: 12.103. {a_i_blg_05}
Készítsünk algoritmust, ami eldönti az
ax+b=0 típusú
egyenletről, hogy van-e megoldása (bemenő érték:
a és
b)!
Feladat: 12.104. {a_i_blg_06}
Készítsünk algoritmust, ami megoldja az
ax+b=0 típusú egyenletet
(bemenő érték:
a és
b, kimenő érték(ek):
x)!