15. FEJEZET: Nevezetes azonosságok{mchap:a_i_nevazon}
További gyakorlásra ajánljuk még a [70] könyv III.
fejezetének 48-134. példáit (esetleg még 135-143f.) vagy a
[71] kötet IV. fejezetének 653-697. feladatait (esetleg
kiegészítésül a 698-706. gyakorlatokat).
Feladat: 15.1. {a_i_nevazon_HAFT_060520_01}
a) Egy szám kétszereséből kivontuk az ugyanezen számnál
3-mal kisebb szám kétszeresét. A kapott különbség négyzete 36. Mi
lehetet a gondolt szám?
b) Gondoltam egy számot, levontam belőle 3-at, az
eredményt megszoroztam 2-vel, majd az így nyert számhoz hozzáadtam
hatot, így az eredeti szám kétszeresét kaptam. Mi lehetett a
gondolt szám?
c) Gondoltam egy számot és a felénél 1-gyel kisebb számot
megszoroztam 2-vel. Így a gondolt számnál
…
Ki lehet-e egészíteni az előző mondatot úgy, hogy bármely gondolt
számra teljesüljön?
Feladat: 15.2. {algI_GHP_386}[
65]
Egy gépbe algebrai mondatokat tápláltunk be. A gép kétféle jelet
dob ki:
jelentése: a változó (vagy változók) minden olyan értékére igaz,
melyekre a bennük szereplő kifejezéseknek értéke van.
jelentése: a változó (vagy változók) nem minden megengedett
értékére igaz.
Ahol kell pótoljuk, és minden esetben indokoljuk a gép válaszát!
be: | ki: |
| |
2ab=a·(a+1)+b·(b-1)-(a-b)·(a-b+1) |
∀ |
| |
ab
ac+ba
=
b
c+b
|
∀ |
| |
2
3
x+7=
1
5
·(x-3) |
| |
-a·(b-a)=-ab-
a2
|
| |
1
x2
> 0 |
| |
(x-1)·(x-2)·(x-3)·…·(x-n)=0 |
| |
x2
-4
x-2
=x+2 |
| |
x2
x2
-1
> 0 |
| |
2x-13
1+5x
< 0 |
| |
5x
5x+1
=
x
x+1
|
| |
(2a-5
)2
-1=4·(a-2)·(a-3) |
| |
2
x2
-3x+4 >
x2
-x+3 | |
Feladat: 15.3. {algI_GHP_387}[
65]
Egy gépbe algebrai mondatokat táplálhatunk be. Alább néhány
példában megadjuk mit ad ki a gép. Találjuk ki a gép szabályát és
határozzuk meg mit ad ki azokban az esetekben, ahol nincs megadva!
be: | ki: |
| |
(a+b
)2
=
a2
+
b2
|
a=0 és
b bármi |
| vagy |
|
b=0 és
a bármi |
| |
2ab=a·(a+1)+b·(b-1)-(a-b)·(a-b+1) |
a bármi |
| és
b bármi |
| |
ab
ac+ba
=
b
c+b
|
a =/= 0, |
|
c+b =/= 0, |
| egyébként bármi |
| |
2
3
x+7=
1
5
·(x-3) |
x = -
114
7
|
| |
-a·(b-a)=-ab-
a2
| |
| |
1
x2
> 0 | |
| |
(x-1)·(x-2)·(x-3)·......·(x-n)=0 | |
| |
x2
-4
x-2
=x+2 | |
| |
x2
x2
-1
> 0 | |
| |
2x-13
1+5x
< 0 | |
| |
5x
5x+1
=
x
x+1
| |
| |
(2a-5
)2
-1=4·(a-2)·(a-3) | |
| |
2
x2
-3x+4 >
x2
-x+3 | |
Feladat: 15.4. {algI_GHP_391}[
65]
Vajon minden
a-ra igaz-e a következő egyenlőség?
(
a2
+35)·
a2
+24=10a·(
a2
+5)
a) Próbáljuk ki
a=1,
a=2 ,
a=3 és
a=4 esetére!
b) Próbálgatás útján kiderülhet-e egy egyenlőségről, hogy
azonosság?
c) És az kiderülhet, hogy nem azonosság?
d) Tegyünk további próbát! Nézzük meg például
a=0-ra!
Feladat: 15.5. {algI_GHP_392}[
65]
Igaz-e, hogy
a minden értékére fennáll a következő egyenlőség?
a2
+15·(a+2)+1=a·(a+15)+31
|
a) Hogyan járhatunk ennek utána?
b) Próbáljuk igazolni, hogy azonosság!
c) Fogalmazzuk meg, mikor azonosság egy egyenlőség!
Feladat: 15.6. {algI_GHP_396}[
65]
,,Piaci szorzás"
Ha valaki csak 5-ig tudja az egyszeregyet, az ujjait felhasználva,
így szorozhat két 5 és 10 közötti számot egymással: két kezén
annyi ujjat nyújt fel, amennyivel több a két tényező 5-nél, a
felnyújtott ujjak együttes számát 10-szer veszi, és ehhez
hozzáadja a két kezén behajtott ujjak szorzatát. Például a
9·7 szorzást így végzi el: 4 és 2, összesen 6 ujjat nyújt fel, 1 és
3 ujjat hajlít be, tehát így számol:
a) Próbáljuk ki két 5 és 10 közé eső számmal!
b) Valóban mindig jó ez az eljárás?
Írjuk le általánosan (
a és
b az 5 és 10 közé eső számok):
ab=10·(a-5+b-5)+(10-a)·(10-b)
|
Igazoljuk az eljárás helyességét!
Feladat: 15.7. {algI_GHP_397}[
65]
10 és 15 közé eső számokat pedig úgy szorozhatunk gyorsan, hogy
két kezünkön annyi ujjat nyújtunk fel, amennyivel több a két
tényező 10-nél, azután 100-hoz hozzáadjuk a felmutatott ujjak
számának 10-szeres összegét, meg a felmutatott ujjak szorzatát.
Például:
Milyen azonosság a nyitja ennek a számolásmódnak?
Feladat: 15.8. {algI_GHP_398}[
65]
,,Diákszorzás".
Hogyan lehet gyorsan meghatározni az 5-re végződő számok
négyzetét?
52
|
152
|
252
|
… |
25 |
225 |
625 |
…
|
Folytassuk a táblázat kitöltését! Keressünk egyszerű szabályt!
Próbáljuk meg igazolni a szabály érvényességét!
Feladat: 15.9. {algI_GHP_399}[
65]
Próbáljuk igazolni a ,,diákszorzás" (lásd
a
16.8. feladatot!) következő általánosítását:
ha két szám tízesei megegyeznek, egyesei pedig 10-re egészítik ki
egymást, akkor is szorozhatjuk őket úgy egymással, hogy a tízesek
(közös) számát a természetes számsorban rákövetkező számmal
szorozzuk, és a kapott szorzat után írjuk az egyesek szorzatát.
(Ha a szorzat egyjegyű, akkor egy 0-t írunk elé.) Például:
a) Próbáljuk ki az eljárást!
b) Írjuk fel azt az azonosságot, amely ennek a számolási
módnak a helyességét igazolja!
Feladat: 15.10. {algI_GHP_400}[
65]
Keressünk módszert az 5-tel kezdődő (nem túl nagy) számok
négyzetének fejben való kiszámítására!
Feladat: 15.11. {algI_GHP_401}[
65]
Milyen azonosságokat szemléltetnek a következő ábrák?
a) 1. ábra
b)
2. ábra
c) 3. ábra
d) 4. ábra
e)
5. ábra
1. ábra{fig:a_i_al16}
2. ábra{fig:a_i_al17}
3. ábra{fig:a_i_al18}
4. ábra{fig:a_i_al15}
5. ábra{fig:a_i_al19}
f) Gondoljuk meg, hogy ezekkel az ábrákkal a felírt
azonosságokat milyen értékekre szemléltettük!
g) Bizonyítsuk be algebrai úton ezeket az azonosságokat!
Feladat: 15.12. {algI_GHP_402}[
65]
Keressünk szemléltetést a következő azonosságokhoz! Némelyik
azonosságot csak elkezdtük, azokat fejezzük is be!
a)
(a+1)·(b+1)=ab+a+b+1
b)
(a+b
)2
=
c)
(a+b)·(c+d)=ac+bc+ad+bd
d)
(a+b+c
)2
=
e)
(a-b
)2
=
f)
(a+b)·(a-b)=
a2
-
b2
g)
(a+b
)3
=
h)
(a-b
)3
=
Gondoljuk meg, hogy ábráinkkal a felírt azonosságokat milyen
értékekre szemléltettük!
Feladat: 15.13. {algI_GHP_403}[
65]
Vágjuk fel az
1. ábrán látható
a3
-
b3
térfogatú
csonka kockát részekre, írjuk fel a résztestek térfogatát és a
leolvasható azonosságot!
1. ábra{fig:a_i_al20}
Feladat: 15.14. {algI_GHP_404}[
65]
a) Az
(a+b
)4
kifejtett alakjára esélyes találni
valamilyen szemléltetést?
b) Írjunk fel azonosságot algebrai úton
(a+b
)4
-re és
kifejtett alakjára!
c) Határozzuk meg
(a-b
)4
kifejtett alakját!
Feladat: 15.15. {a_i_nevazon_HAFT_060520_binom_01}
a) Folytassuk a sorok kitöltését azonosságokkal! A
kifejtett alakot
a hatványai szerinti csökkenő sorrendben írjuk!
(a+b
)0
=1
(a+b
)1
=1·a+1·b
(a+b
)2
=1·
a2
+2·ab+1·
b2
(a+b
)3
=
(a+b
)4
=
(a+b
)5
=
(a+b
)6
=
b) Írjuk fel
(a-b) hatványait is ehhez hasonlóan!
Feladat: 15.16. {algI_GHP_461}[
65]
Bontsuk fel a zárójeleket!
a)
(2x+3y)·(2x-3y)=
b)
(
a
3
-
b
4
)·(
a
3
+
b
4
)=
c)
(-x+2)·(-x-2)=
d)
(-2x+y)·(2x+y)=
e)
(2x-
1
x
)2
=
f)
(3x+
y
2
)2
=
h)
(2
x2
-5)·(2
x2
+5)=
Feladat: 15.17. {algI_GHP_197}[
65]
Bontsuk fel a zárójelet!
a)
(2c+3
)2
=
b)
(3c+5
)2
=
c)
(3a+2b
)2
=
d)
(
a
4
+
b
2
)2
=
Feladat: 15.18. {algI_GHP_206}[
65]
Írjuk fel zárójel nélkül!
a)
(2x+3c)(2x-3c)
b)
(3x-4
)2
c)
(4x-
y
3
)(4x+
y
3
)
d)
(
x2
+3
)2
Feladat: 15.19. {algI_GHP_207}[
65]
Melyik szám nagyobb és mennyivel:
71 234 561·71 234 563 vagy
71 234
5622
.? |
Feladat: 15.20. {algI_GHP_196}[
65]
Számológép használata nélkül döntsük el, hogy melyik nagyobb és
mennyivel:
777
6662
vagy
777 663·777 669? |
Kérdezzünk tovább!
Feladat: 15.21. {algI_GHP_435}[
65]
Igaz-e hogy,
a) két egymást követő egész szám négyzetének a különbsége
a két szám összegével egyenlő? Például:
32
-
22
=3+2.
b) ha egy egész szám négyzetéből a nála kettővel kisebb
egész szám négyzetét kivonjuk, a köztük levő egész szám négyzetét
kapjuk? Például:
52
-
32
=
42
.
c) ha egy egész szám négyzetéből a nála kettővel kisebb
egész szám négyzetét kivonjuk, a köztük levő egész szám
négyszeresét kapjuk. Például:
52
-
32
=4·4.
d) minden
n egész számra
(n+30
)2
-(n-30
)2
osztható
120-szal?
Feladat: 15.22. {algI_GHP_210}[
65]
Egészítsük ki a képleteket úgy, hogy azonosságokat kapjunk!
a)
x2
-16=(x-4)( )
b)
(3x+◯)2
=9
x2
+48x+△
c)
ax+bx+cx=x( )
d)
x2
+axy=x( )
e)
2
x2
+ax+x=x( )
f)
a2
b+
ab2
=ab( )
Feladat: 15.23. {algI_GHP_388}[
65]
Egészítsük ki az egyenlőségeket úgy, hogy minden
x-re igazak
legyenek!
a)
(3x- )·(3x+ )=9
x2
-25
b)
(3x+
)2
=9
x2
+48x+_
c)
x2
+2x-35=(x+7)·( )
d)
x2
+12x+35=(x+7)·( )
e)
x4
-1=(
x2
+1)·( )
Feladat: 15.24. {algI_GHP_180}[
65]
Számoljunk fejben!
a)
(3
1
5
)2
=
b)
(6
7
12
)2
=
Feladat: 15.25. {algI_GHP_437}[
65]
Bizonyítsuk be, hogy akármilyen egész szám is
x,
osztható
1984-gyel!
Feladat: 15.26. {algI_GHP_438}[
65]
Keress olyan
a egész értékeket, hogy milyen egész
x-re
a)
(x+a
)2
-(x-a
)2
osztható legyen
1848-cal!
b)
(x+a
)2
-(x-a
)2
osztható legyen
1984-cal!
c)
(x+a
)2
-(x-a
)2
5-re végződő szám legyen!
Feladat: 15.27. {algI_GHP_439}[
65]
a) Válasszunk egy
3-nál nagyobb prímszámot! Számítsuk
ki a négyzetét, adjunk hozzá
17-et, és nézzük meg, hogy milyen
maradékot ad a kapott szám
12-vel osztva! Csináljuk végig
ugyanezt több
3-nál nagyobb prímszámmal is! Véletlen-e, hogy
mindig ugyanaz a maradék adódott?
b) Mi a helyzet, ha
24-gyel osztunk? Mi lehet a
magyarázat?
Feladat: 15.28. {algI_GHP_440}[
65]
Melyik igaz a következő két állítás közül! Az igaz állítást
bizonyítsuk be, a nem igazra mondjunk ellenpéldát!
a)Minden
3-nál nagyobb prímszám négyzetének a kisebbik
szomszédja osztható
12-vel.
b)Minden prímszám kisebbik szomszédjának a négyzete
osztható
12-vel.
Feladat: 15.29. {algI_GHP_408}[
65]
Határozzuk meg az értelmezési tartomány azon részeit, melyeken a
következő kifejezések értéke 0-val egyenlő, 0-nál kisebb, 0-nál
nagyobb! A megoldást ábrázoljuk számegyenesen!
a)
(a+2
)2
-16
b)
(x-
2
3
)2
-
25
9
c)
16
x2
-(x+1
)2
d)
x2
+2x+3
e)
2
x2
-14x+12
Feladat: 15.30. {algI_GHP_469}[
65]
Bontsuk két tényező szorzatára!
a)
x2
+2x+1-
y2
b)
a2
-
b2
-2bc-
c2
Feladat: 15.31. {algI_GHP_433}[
65]
Bontsuk tényezőkre a következő számokat! Ezt felhasználva
keressünk osztókat a számokhoz a hatványok kiszámítása nélkül!
a)
172
-1
b)
172
-
32
c)
252
-
172
Feladat: 15.32. {algI_GHP_195}[
65]
Számítsuk ki fejben!
a)
20,12
b)
(6
1
6
)2
c)
(10
1
5
)2
Feladat: 15.33. {algI_GHP_208}[
65]
Számítsuk ki fejben!
a)
3072
-
2072
b)
40,
22
c)
15032
-
15022
d)
(7
1
14
)2
e)
19872
-49
1994
f)
19,
92
Feladat: 15.34. {algI_GHP_393}[
65]
Számítsuk ki fejben!
a)
7032
-
6032
b)
7032
-
6932
c)
7032
-
6932
d)
7032
-81
694
e)
299,
92
f)
300,
12
g)
(9
1
18
)2
Írjuk le, mi segített a számításban!
Feladat: 15.35. {algI_GHP_211}[
65]
Oldjuk meg minél egyszerűbben!
a)
9x-18
x-2
=?
ha
x=223 455
b)
x2
+4x+4
x+2
=?
ha
x=1987,1987
c)
15x-10
6x-4
=?
ha
x=9876,1234
d)
x2
-9
x+3
=?
ha
x=5555,67
Feladat: 15.36. {algI_GHP_227}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a)
x2
+6x+9
x+3
=100
b)
x2
-25
x+5
=3x
Feladat: 15.37. {algI_GHP_434}[
65]
A következő állítások közül jelöljük meg az igazakat! Ezeket
bizonyítsuk is be, a nem igazakra adjunk ellenpéldát, és nézzük
meg, hogy milyen feltételekkel tehetők igazzá!
a) Minden páratlan szám négyzete
8-cal osztva
1-et ad
maradékul.
b) Egyetlen páratlan szám négyzete sem osztható
8-cal.
c) Ha
n tetszőleges pozitív egész, akkor
(2n+1
)2
osztható
8-cal.
d) Ha
a tetszőleges természetes szám,
a2
-a osztható
6-tal.
e) Ha
a tetszőleges természetes szám,
a3
-a osztható
6-tal.
f) Egy négyzetszám utolsó jegye nem lehet sem
2, sem
3, sem
7, sem
8.
Feladat: 15.38. {algI_GHP_436}[
65]
Igaz-e, hogy
a) minden prímszámnak van olyan szomszédja, amelyik
osztható
6-tal, és olyan szomszédja is van, amelyik
4-gyel
osztható. Például:
17-nek a kisebbik szomszédja
4-gyel, a
nagyobbik
6-tal osztható,
37 kisebb szomszédja
4-gyel is,
6-tal is osztható.
b) minden prímszámnak van olyan szomszédja, amelyik
3-mal osztható?
c) csak a
3-nál nagyobb prímszámokra igaz, hogy
mindegyiknek van olyan szomszédja is, amelyik osztható
6-tal, és
olyan szomszédja is, amelyik
4-gyel osztható?
d) van olyan
n egész szám, amelyre
n5
-n nem
osztható
5-tel?
Feladat: 15.39. {algI_GHP_466}[
65]
Az alábbi egyenlőségek közül melyik azonosság, és melyik nem az?
a)
(x+1)·(x+2)+(x+1)·(x-2)+(x-1)·(x+2)+(x-1)·(x-2)=4
x2
b)
4
x2
+6x
x+2
=
4
x2
x
+
4
x2
2
+
6x
x
+
6x
2
=4x+2
x2
+6+3x
c)
4
x2
+6x
x+2
=
4
x2
x
+
6x
2
=4x+3x
d)
3
x+y
=
3
x
+
3
y
e)
4
x2
+6x
x+2
=
4
x2
x+2
+
6x
x+2
f)
ab=
(
a+b
2
)2
-
(
a-b
2
)2
g)
(
a2
+35)
a2
+35=
a2
+35(
a2
+1)
h)
1
1a+1b
=
ab
a+b
i)
(x+2
)2
=
x2
+4
j)
(x-y
)2
=
x2
-2xy-
y2
k)
|x-100|+|x+100|=200
l)
(
a
b
)2
=
a2
b2
m)
a
b
+
c
d
=
a+c
b+d
n)
4x+y
2x-y
=
2x+y
x-y
o)
4x+y
2x-y
=
16
x2
-
y2
(2x-y)·(4x+y)
p)
3x+4y+2
2x-y+2
=
3x+4y
2x-y
q)
3x+4y
2x-y
=
3x+4y·2
2x-y·2
r)
(3x+4y)·2
(2x-y)·2
=
3x+4y
2x-y
s)
x2
+6x+9
x+3
=x-3
t)
3(a+b+ab)=3a+3b+(3a)·(3b)
Feladat: 15.40. {algI_GHP_411}[
65]
Számítsuk ki a kifejezések helyettesítési értékét a megadott
helyen!
a) |
x2
-9x+18
x-3
| |
x=917,518 |
b) |
3
x2
-15
x2
-5
| |
x=123,432 |
c) |
x2
-10x+25
x-5
| |
x=909,09 |
d) |
x2
-16
x+4
| |
x=191 615 |
Feladat: 15.41. {algI_GHP_405}[
65]
Milyen
x-re igazak a következő egyenlőségek?
a)
x2
+4x+4
x+2
=3x+6
b)
x2
-9
x+3
=x-3
c)
x4
-16
x2
+4
=5
d)
(x+1
)2
-(x-2
)2
2x-1
=3
Feladat: 15.42. {algI_GHP_407}[
65]
Milyen számot írhatunk
x helyébe, hogy igaz állítást kapjunk?
a)
4x ≤
x2
b)
4x =
x2
c)
4x >
x2
Feladat: 15.43. {algI_GHP_441}[
65]
Ha azonosságot akarunk igazolni, gyakran célravezető az
egyenlőségben szereplő két kifejezést polinommá alakítani.
Például itt is:
a4
-4a-1=(
a2
+1
)2
-2(a+1
)2
|
Nézzük meg, hogy azonosság-e ez az egyenlőség!
Feladat: 15.44. {algI_GHP_442}[
65]
Igazoljuk szorzattá alakítással, hogy az alábbi egyenlőség
azonosság!
(a-b)·(a+b)-3ac-3bc=(a+b)·(a-b-3c)
|
Feladat: 15.45. {algI_GHP_443}[
65]
Azonosság-e a következő egyenlőség?
(a+b-2c
)2
-(a-b
)2
=4(a-c)·(b-c)
|
Feladat: 15.46. {algI_GHP_444}[
65]
Döntsük el a két oldal polinommá, vagy (ahol az segít) szorzattá
alakításával, hogy azonosságok-e a következő egyenlőségek!
a)
25·(
a2
+
b2
)=(3a+4b
)2
+(4a-3b
)2
b)
r4
+4=(
r2
+2+2r)·(
r2
+2-2r)
c)
(a-b
)2
-(b-a
)2
=0
d)
(a-b
)3
-(b-a
)3
=0
e)
(a-b
)4
-(b-a
)4
=0
f)
a4
+4
b4
=(
a2
+2ab+2
b2
)·(
a2
-2ab+2
b2
)
g)
(a+b
)3
=
a3
+
b3
+3ab·(a+b)
h)
(a+b+c
)2
-(a+b-c
)2
+(a-b+c
)2
-(a-b-c
)2
=8ac
i)
a3
-
b3
=(a-b
)3
-3ab·(a+b)
j)
a3
·(b-c)+
b3
·(c-a)+
c3
·(a-b)+(b-c)·(c-a)·(a-b)·(a+b+c)=0
k)
(
a2
-
b2
)·(
c2
-
d2
)=(ac+bd
)2
-(ad+bc
)2
l)
(
a2
-
b2
)·(
a2
+
b2
)=
a4
+
a2
·
b2
-
b4
Feladat: 15.47. {algI_GHP_449}[
65]
Láttuk, hogy
a2
-
b2
és
a3
-
b3
is szorzattá alakítható:
a3
-
b3
=(a-b)·(
a2
+ab+
b2
)
|
a) Alakítsuk szorzattá az
a4
-
b4
kifejezést! Mutassuk
meg, hogy kiemelhető belőle:
a-b. Nézzük meg, mivel kell
megszorozni, hogy
(
a4
-
b4
)-t kapjunk!
b) Mutassuk meg, hogy az
a6
-
b6
kifejezésből is
kiemelhető
a-b.
c) Vajon szorzattá alakítható-e, és ha igen, hogyan az
a5
-
b5
kifejezés?
d) Látjuk-e már, hogy
a7
-
b7
és
a8
-
b8
milyen
szorzattá alakítható?
Feladat: 15.48. {algI_GHP_451}[
65]
Igazoljuk, hogy a következő kifejezésekből kiemelhető
a+b.
a)
a3
+
b3
=(a+b)·......
b)
a4
-
b4
=(a+b)·......
c)
a5
+
b5
=(a+b)·......
d) Keressünk további hasonló azonosságokat!
Feladat: 15.49. {algI_GHP_452}[
65]
a) Igazoljuk, hogy ha
a és
b tetszőleges egész
számok, akkor az
a12
-
b12
szám osztható
(
a4
-
b4
)-nel és
(
a3
-
b3
)-nal is!
a) Mivel osztható még
a12
-
b12
? Igazoljuk is az
állításokat!
c) Bontsuk fel minél több tényező szorzatára
a12
-
b12
-t!
Feladat: 15.50. {algI_GHP_453}[
65]
Bizonyítsuk be, hogy
a)
312
-1 osztható
4-gyel!
b)
312
-1 osztható 13-mal!
c) Keressük meg
(
1312
-1) néhány további osztóját!
Feladat: 15.51. {algI_GHP_454}[
65]
Keressük meg az alábbi számok néhány osztóját!
a)
(
784
-1)
b)
(
785
-1)
c)
(
785
+1)
Feladat: 15.52. {algI_GHP_468}[
65]
Hozzuk egyszerűbb alakra!
a)
4-2x+
x2
x+2
-x-2
b)
a4
-
b4
a2
-
b2
c)
1
(a-b)·(a-c)
+
1
(b-a)·(b-c)
+
1
(c-a)·(c-b)
d)
a2
-4ab+4
b2
a2
-4
b2
Feladat: 15.53. {algI_GHP_470}[
65]
Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a)
x2
-5x+6
x-2
=4
b)
(
x2
-4)·(2
x2
+3)+2(
x2
-4)=7
x2
-28
c)
4
x4
-9
2
x2
-3
=11
d)
x2
-25
x-5
=10
Feladat: 15.54. {algI_GHP_467}[
65]
Határozzuk meg minél egyszerűbben a következő számok egészre
kerekített értékét (lefelé kerekíts)! Ha lehet, számoljunk fejben!
a)
(4
1
7
)2
b)
(6
7
12
)2
c)
19832
1979
d)
19832
1989
Feladat: 15.55. {algI_GHP_222}[
65]
Állapítsuk meg fejben, hogy
1
999
-
1
1001
értékéhez az alábbi számok közül melyik esik a legközelebb!
Feladat: 15.56. {algI_GHP_223}[
65]
Becsüljük meg (számológép használata nélkül), hogy körülbelül
mekkora lehet az eltérés
1
6
és
1
6,001
között
(harmadik tizedes jegyük különbözik először)!