22. FEJEZET: Grafikus megoldás{mchap:f_i_grafmeg}
Feladat: 22.1. {f_i_grafmeg_ogy_071031_01}
Határozzuk meg az alábbi egyenletek megoldásainak a számát, a megoldások konkrét előállítása nélkül!
a)
|x|=2x+1;
b)
|x+2|=-3x-6;
c)
-2x+6=23x-1;
d)
-2x+6=x-3;
e)
-2x+6=|x-2|;
f)
x2
-6=100x;
g)
x2
=111x+222;
h)
(x-2
)2
=|x+1|-1;
i)
3
x-1
=-23x+34;
j)
|
1
x
|=-x+2;
Feladat: 22.2. {f_i_grafmeg_ogy_071031_02}
Rajzoljuk meg a jobb ill.a bal oldalon látható függvény grafikonját és olvassuk le az egyenlőtlenség megoldását az ábráról!
a)
|2x-4|≥2x+4;
b)
1
x
≤x;
c)
1
x
≥
x
4
;
d)
|
1
x
|>-x;
e)
1
x
>|-4x|;
f)
-2x+4<x+2;
g)
-x+3≥-|x|+3;
h)
-x+3≥|-x+3|.
Feladat: 22.3. {f_i_grafmeg_ogy_071031_03}
Az
ax2
+bx+c=0 (
a≠0) egyenlet két gyöke
u és
v.
Hogyan látható ez a tény az
f(x)=
ax2
+bx+c függvény grafikonján?
Milyen kapcsolat van a gyökök és a függvény szélsőérték helye között?
Feladat: 22.4. {f_i_grafmeg_ogy_071031_04}
Ábrázoljuk az
f(x)=3
x2
-2x-5 függvényt, s a grafikon alapján állapítsuk meg az
a)
f(x)>0;
b)
f(x)≤0
egyenlőtlenség megoldáshalmazát!
Feladat: 22.5. {f_i_grafmeg_ogy_071031_05}
Adott az
f(x)=2
x2
+3x-5 és a
g(x)=-
x2
+2x-9 függvény. Oldjuk meg az
f(x)≤g(x) egyenlőtlenséget!
Feladat: 22.6. {f_i_grafmeg_ogy_071031_06}
Hogyan függ a
p valós paraméter értékétől az alábbi
f(x)=p egyenlet megoldásainak száma az alábbi esetekben?
a)
f(x)=|x-1|;
b)
f(x)= ||x-1|-2 |;
c)
f(x)=
x2
-6x+8;
d)
f(x)=|
x2
-6x+8|;
e)
f(x)=
x2
-6|x|+8;
f)
f(x)= |x2-6|x|+8 |;
g)
f(x)=-2x+4;
h)
f(x)=|-2x+4-3|;
i)
f(x)=||-2x+4|-3|;
j)
f(x)=
2x-1
x-1
;
k)
f(x)=|
2x-1
x-1
|-3;
l)
f(x)=
1
x2
-2x+8
;
m)
f(x)=
1
x-4
+
1
2-x
;
Feladat: 22.7. {f_i_grafmeg_ogy_071031_07}
Határozzuk meg a
22.6. feladatbeli a) - m) egyenletek megoldásainak számát akkor is, ha
a)
f(x)=px;
b)
f(x)=x+p;
c)
f(x)=-2x+p!
Feladat: 22.8. {f_i_grafmeg_ogy_071031_08}
Határozzuk meg az összes
a,
b valós számpárt, amelyre az
||x|+x-4 |=ax+b egyenletnek végtelen sok megoldása van!
Feladat: 22.9. {f_i_grafmeg_ogy_071031_09}
Határozzuk meg az alábbi
a -
d kifejezések értékkészletét (
4<n∈
Z+
)!
a(x)=|x-1|;
b(x)=|x-1|+|x-2|;
c(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|;
d(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-n|.
Feladat: 22.10. {f_i_grafmeg_ogy_071031_10}
Határozzuk meg a derékszögű koordináta-rendszerben azon
P(x;y) pontok halmazát, amelyek koordinátáira teljesülnek az alábbiak:
a)
|x|·|y|≥0;
b)
|xy|>0;
c)
|x-1|·|y|=1;
d)
x2
+2x+
y2
-4y+1=0;
e)
4
x2
-4xy+
y2
-9=0.
Feladat: 22.11. {f_i_grafmeg_ogy_071031_11}
Hány megoldása van az alábbi egyenletrendszereknek? (Válaszoljunk a megoldások konkrét előállítása nélkül!)
a) |
2x+y=3, |
y=-2x+4; |
b) |
3x+2y=4, |
2x-y=5; |
c) |
x-2y=4, |
2x-8=4y.
|
Feladat: 22.12. {f_i_grafmeg_ogy_071031_12}
Hogyan függ a
p valós paraméter értékétől az alábbi a) - c) egyenletrendszerek megoldásainak száma?
a) |
3x+y=5, |
y=-3x+p; |
b) |
3x+y=5, |
y=px+5; |
c) |
3x+y=5, |
y=2px-4p-1.
|
Feladat: 22.13. {f_i_grafmeg_ogy_071031_13}
Hogyan függ a
p valós paraméter értékétől az alábbi a) - d) egyenletrendszerek megoldásainak száma?
a) |
x2
+
y2
=4, |
x+y=p; |
b) |
x2
+
y2
=
p2
, |
x2
+
y2
+2xy-1=0; |
c) |
xy=1, |
x+y=p; |
d) |
|x|+|y|=4, |
y=x+p.
|
Feladat: 22.14. {f_i_grafmeg_ogy_071031_14}
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! (
x,
y valós számok.)
a)
x-9+x-5=2;
b)
9-x+x-5=2;
c)
x-10+x-9+x-5=3;
d)
x2
-4=x+4;
e)
2x-8+x-3+3x-11=2-
y2
;
f)
x2
+1=2x-3-y;
g)
x+2x-1+x-2x-1=2-
y2
;
h)
x+
1
x
=2-
y2
, ha
x>0.
Feladat: 22.15. {f_i_grafmeg_ogy_071031_15}
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenség-rendszert az egész számok halmazán!
x+3y<15, x+2y>14, 2x-y<5.
|
Feladat: 22.16. {f_i_grafmeg_ogy_071031_16}
a) Mi az
A=2x+3y kifejezés értékkészlete, ha az
x≥0, y≥0, x+2y≤10, x+y≤6, x-4≤0
|
feltételek teljesülnek?
b) Mi a
2x-y=3 feltétel mellett a
B=
x2
+2
y2
kifejezés értékkészlete?
c) Mi az
x2
+4
y2
=16 feltétel mellett a
3x+y kifejezés értékkészlete?
Feladat: 22.17. {f_i_grafmeg_ogy_071031_17}
Egy összejövetelre üdítőt és szendvicset vásárolunk, mindkettőből legalább nyolcat. Az üdítő 80 Ft-ba, a szendvics 60 Ft-ba kerül. Legfeljebb mennyit vásárolhatunk az egyes termékekből, ha 1800 Ft-unk van ezekre a költségekre?
Feladat: 22.18. {f_i_grafmeg_ogy_071031_18}
Egy édességbolt tulajdonosa kétféle húsvéti csomagot akar összeállítani. 120 darab csoki tojás, 60 darab csoki nyuszi és 40 darab csoki bárány van a raktárban. Mindkét csomagba 5 darab csoki tojást, az egyikbe 3 csoki nyuszit és 1 bárányt (
A csomag), a másikba 1 csoki nyuszit és 2 csoki bárányt (
B csomag) tesz a tojások mellé.
a) Legfeljebb hány csomagot tud készíteni?
b) Ha az
A csomagon 300 forint a haszna, a
B csomagon 250 forint, akkor mekkora a legnagyobb haszon, amit el tud érni? Mennyit kell ehhez az egyes csomagokból készítenie?
Feladat: 22.19. {f_i_grafmeg_ogy_071031_19}
Egy iskolai bulira kétféle szendvicset készítenek, sajtosat és sonkásat. Az elsőhöz darabonként 2 dkg sajtot, 3 dkg paprikát, 4 dkg kenyeret és 1 dkg vajat használnak fel. A sonkáshoz darabonként ugyanannyi kenyér és vaj kell, valamint 2 dkg sonka és 1 dkg sajt. Rendelkezésre áll 3 kg kenyér, öt darab 10 dkg-os vaj, 60 dkg sajt, 90 dkg sonka és 3 kg paprika.
a) Legfeljebb hány szendvics készíthető?
b) A sajtos szendvicset 160, a sonkásat 140 Ft-ért árulják. Melyikből mennyit készítenek, ha a tervezett bevétel a lehető legnagyobb?
c) Mennyibe kerüljön a sajtos szendvics (a sonkás ára marad 140 Ft), hogy csak az egyik fajtát legyen érdemes készíteni?
Feladat: 22.20. {f_i_grafmeg_ogy_071031_20}
Egy gazdaságban az etetési program szerint egy-egy állatnak naponta az
A tápanyagból legalább 45, a
B tápanyagból legalább 60, a
C tápanyagból legalább 5 dkg-ot kell kapnia. A vízfogyasztás közömbös. A gazdaságnak kétféle takarmánya van. Az első takarmány 10 dkg
A, 10 dkg
B tápanyagot és 80 dkg vizet, a második takarmány 10 dkg
A, 20 dkg
B, 5 dkg
C tápanyagot és 65 dkg vizet tartalmaz kilogrammonként.
a) Milyen etetési program mellett lesz a költség minimális, ha az első takarmány ára 60 Ft/kg, a második takarmány ára pedig 240 Ft/kg?
b) Milyen program mellett lesz az etetési veszteség minimális, ha az első takarmánynál 10 %, a másodiknál 20 % a veszteség?
c) Van-e olyan program, amely mellett mind a két követelmény egyszerre érhető el, és mit kap ekkor egy állat?
Feladat: 22.21. {f_i_grafmeg_ogy_071031_21}
Legyen
0<a<b. Mit állíthatunk az alábbi
A,
B kifejezések nagyságrendi viszonyáról?
a) |
A=
|a|+|b|
2
, |
B=|
a+b
2
|; |
b) |
A=
a2
+
b2
2
, |
B=
(
a+b
2
)2
; |
c) |
A=
a+b
2
, |
B=
a+b
2
; |
d) |
A=
1
a
+
1
b
2
, |
B=
2
a+b
.
|