3. FEJEZET: Speciális síkidomok{mchap:g_i_specsikidom}
Egyenlő szárú háromszög
Feladat: 3.1. {g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_20}
Az
1. ábrán az
AB,
BC,
CD,
BE és
EC szakaszok mind egyenlő hosszúak. Mekkora az
AED∠?
1. ábra{fig:g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_20fel}
Feladat: 3.2. {g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_21}
Egy
10∘
-os szög szárai közé, a szög
A csúcsából indulva berajzoltuk az
ABCDEF töröttvonalat, amelynek mindegyik oldala
1 cm
(lásd az
1. ábrát).
1. ábra{fig:g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_21fel}
a) Mekkora az
AEF∠?
b) Meddig lehet folytatni a töröttvonalat?
c) És ha nem
1 cm-rel lépkedünk?
Feladat: 3.3. {g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_22}
Mekkorák a szabályos hurkolt ötszög szögei (
1. ábra)?
1. ábra{fig:g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_22fel}
Feladat: 3.4. {g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_23}
Adott a síkon az
ABC szabályos háromszög. Keressük meg a sík összes olyan
M pontját, amelyre az
ABM és az
ACM háromszög is egyenlő szárú!
Feladat: 3.5. {g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_24}
Az
1. ábrán látható egyenlő szárú háromszögben a vastagon rajzolt szakaszok is egyenlőek. Mekkorák a háromszög szögei?
1. ábra{fig:g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_24fel}
Feladat: 3.6. {g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_25}
Az
ABC egyenlő szárú háromszög
BC szárán adott az
M, az
MC szakaszon pedig az
N pont úgy, hogy
MN=AN. Tudjuk, hogy a
BAM és az
NAC szögek egyenlőek. Határozzuk meg az
MAC∠ szög nagyságát!
Feladat: 3.7. {g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_26}
Egy paralelogrammát az
1. ábrán látható módon lehet egyenlő szárú háromszögekre bontani. Mekkorák a paralelogramma szögei?
1. ábra{fig:g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_26fel}
Feladat: 3.8. {g_i_specsikidom_egyenloszaru_01ha_27}
Mely háromszögek oszthatók fel egy egyenessel két egyenlő szárú háromszögre?
Feladat: 3.9. {g_i_specsikidom_felszab_01ha_02}
Egy téglalap egyik oldala
2 cm hosszú, egyik átlója pedig
4 cm-es. Mekkora szöget zárnak be az átlók az oldalakkal?
Feladat: 3.10. {g_i_specsikidom_felszab_01ha_03}
Az
ABC derékszögű háromszög
AB átfogójához tartozó magasságvonala
30∘
-os szögben hajlik a
CA befogóhoz. Az átfogó felezőpontja
F. Mekkora szögben hajlik a
CF súlyvonal a
CB befogóhoz?
Félszabályos háromszög
Feladat: 3.11. {g_i_specsikidom_felszab_01ha_04}
Egy
3 cm sugarú körtől
3 cm-re lévő pontból érintőket húztunk a körhöz. Melyik a hosszabb: az érintő vagy a két érintési pontot egymással összekötő szakasz?
Feladat: 3.12. {g_i_specsikidom_felszab_01ha_05}
Egy
60∘
-os szög szárai közé egy
6 cm sugarú kört írtunk, úgy hogy a kör érintse a szárakat. Szeretnénk egy újabb kört írni a szárak közé, úgy, hogy az érintse a már megszerkesztett kört is. Mekkora lesz ennek az új körnek a sugara?
Feladat: 3.13. {g_i_specsikidom_felszab_01ha_06}
Egy sík terepen szeretnénk megmérni az
1. ábrán látható
DC távolságot, de a
C pont hozzáférhetetlen. Meg tudtuk mérni az alábbi adatokat:
AB=240
m
, ABC∠=DAC∠=
90∘
, BAC∠=
60∘
, ADC∠=
30∘
.
|
Mekkora a
CD távolság?
1. ábra{fig:g_i_specsikidom_felszab_01ha_06_fel}
Feladat: 3.14. {g_i_nevpont_080420_01ha_01}
Egy háromszög egyik belső szöge
20,
04∘
. Mekkora szöget zár be egymással a másik két csúcsból kiinduló
a) magasságvonal?
b) szögfelező?
c) a körülírt kör középpontjához húzott szakasz (sugár)?
Feladat: 3.15. {g_i_kalmar_1982_080420_01ha}[
118]
KMBK versenyfeladat 1982.
Az
AB szakaszt az
X és
Y pontokkal három egyenlő részre osztottuk, és az
XY fölé egyenlő oldalú háromszöget szerkesztettünk, melynek harmadik csúcsa
Z. A
Z körül
AZ=BZ sugárral kört rajzoltunk, ezt
XZ meghosszabbítása
C-ben metszi. Mekkorák az
ABC háromszög szögei?
Feladat: 3.16. {g_i_specsikidom_080420_01ha_02}
Az
ABC háromszög
A csúcsánál tompaszög van és az
AB,AC egyenesekre
A-ban állított merőlegesek a
a)
BAC szöget
b)
BC oldalt
három egyenlő részre osztják. Határozzuk meg az
ABC háromszög szögeit!
Az érintőszakaszok egyenlősége
Feladat: 3.17. {g_i_specsikidom_erintonegyszog_080420_01ha_01}
Egy érintőnégyszög (azaz olyan négyszög, amelynek van beírt köre) három oldalának hossza, az oldalak elhelyezkedés szerinti sorrendjében: 20 cm, 25 cm, 31 cm (lásd az
1. ábrát). Milyen hosszú a negyedik oldal?
1. ábra{fig:g_i_specsikidom_erintonegyszog_080420_01ha_01fel}
Feladat: 3.18. {g_i_specsikidom_erintonegyszog_080420_01ha_03}
Milyen összefüggés áll fenn minden érintőhatszög oldalainak hossza között?
Feladat: 3.19. {g_i_specsikidom_erintonegyszog_080420_01ha_05}
A háromszög beírt köre a háromszög
a,
b,
c oldalait két-két részre osztja. Határozzuk meg ezen részek hosszát
a)
a=8,
b=7,
c=5 esetén!
b) az általános esetben!
Feladat: 3.20. {g_i_specsikidom_erintonegyszog_080420_01ha_07}
Az érintőötszög beírt köre az ötszög
a,
b,
c,
d,
e oldalait két-két részre osztja. Határozzuk meg ezen részek hosszát
a)
a=8,
b=7,
c=5,
d=6,
e=5 esetén!
b) az általános esetben!
Feladat: 3.21. {g_i_specsikidom_erintonegyszog_080420_01ha_09}
Az
ABC háromszög oldalainak hossza:
BC=a,
CA=b,
BA=c.
a) Szerkesszük meg a háromszöget és beírt körét
a=7,
b=5,
c=8 esetén!
A beírt kör az
AB,
BC,
CA oldalakat rendre a
TC
,
TA
,
TB
pontokban érinti.
Határozzuk meg az
ATC
,
ATB
,
CTB
,
CTA
,
BTA
,
BTC
|
szakaszok hosszát
b) az a) feladatrészben adott oldalhosszak esetén!
c) az általános esetben!
Feladat: 3.22. {g_i_specsikidom_beirteshozzairtkor_091126_01ha_50}
Az
ABC háromszög oldalainak hossza:
BC=a,
CA=b,
BA=c. Az
AC oldalhoz
hozzáírt kör egy olyan kör, amely érinti a háromszög mindhárom oldalegyenesét: az
AC oldalegyenest az
AC szakaszon.
a) Szerkesszük meg a háromszöget és a hozzáírt kört
a=7,
b=5,
c=8 esetén!
Érintse a hozzáírt kör az
AC szakaszt az
UB
, az
AB,
BC oldalegyeneseket az
UC
illetve
UA
pontban.
Határozzuk meg az
AUC
,
AUB
,
CUB
,
CUA
,
BUA
,
BUC
|
szakaszok hosszát
b) az a) feladatrészben adott oldalhosszak esetén!
c) az általános esetben!
Feladat: 3.23. {g_i_specsikidom_erintonegyszog_080420_01ha_11}
Az
ABC derékszögű háromszög átfogója
c=AB, befogói
a=BC és
b=AC.
Határozzuk meg a háromszög beírt körének sugarát
a)
a=5 cm,
b=12 cm,
c=13 cm esetén!
b) az általános esetben!
Határozzuk meg az
a oldalhoz hozzáírt kör sugarát
c) az a) eset adataival!
d) az általános esetben!
Feladat: 3.24. {g_i_specsikidom_erintonegyszog_091126_01ha_30}
A
c egyenesen az
A,
U,
B,
V pontok ebben a sorrendben helyezkednek el és
AU=4
cm
, UB=6
cm
, BV=1
cm
.
|
Mekkorák a háromszög oldalai?