5. FEJEZET: Szimmetriák, transzformációk{mchap:g_i_szim}
Transzformációk értelmezése, végrehajtása
Feladat: 5.1. {g_i_szim_trafszerk_haromszog_090715_ha_01}
Vegyük fel az
ABC háromszöget az alábbi adatokkal:
AB=8
cm
, AB=10
cm
, CA=4
cm
.
|
a) Szerkesszük meg a háromszög képét - az
A1
B1
C1
háromszöget - a
C-nél fekvő belső szög szögfelezőjére való tükrözésnél!
b) Határozzuk meg az
A1
B és az
AB1
szakaszok hosszát!
c) Fejezzük ki a b)-ben kérdezett szakaszok hosszát az általános esetben az
ABC háromszög oldalaival!
Feladat: 5.2. {g_i_szim_trafszerk_haromszog_090715_ha_02}
Vegyünk fel egy
ABC háromszöget az alábbi adatokkal:
BAC∠=
75∘
, CBA∠=
60∘
, BAC∠=
45∘
.
|
a) Szerkesszük meg a háromszög képét - az
A2
B2
C2
háromszöget, az
AB szakasz felezőmerőlegesére való tükrözésnél!
b) Határozzuk meg a
CAC2
∠ és
CBC2
∠ szögek nagyságát!
c) Fejezzük ki a b)-ben kérdezett szögeket az általános esetben az
ABC háromszög szögeivel!
Feladat: 5.3. {g_i_szim_trafszerk_haromszog_090715_ha_03}
Adottak az
A,
B,
C pontok. Szerkesztendő az
A pont
BC egyenesre vonatkozó tükörképe csak körzővel (tehát vonalzót az
AB egyenes meghúzásához sem használhatunk).
Feladat: 5.4. {g_i_szim_trafszerk_haromszog_090713_ha_01}
Szerkesszünk olyan
ABC háromszöget, melynek szögei:
CAB∠=
90∘
, BCA∠=
60∘
, ABC∠=
30∘
.
|
Tükrözzük a háromszöget egy-egy oldalára és vizsgáljuk az eredeti háromszög és képe egyesítéseként létrejött sokszöget.
Hány oldalú az így kapott sokszög és mekkorák a szögei? Válaszoljunk a kérdésre mind a három esetben (mind a három oldalra való tükrözés esetén)!
Feladat: 5.5. {g_i_szim_trafszerk_haromszog_090715_ha_10}
Vegyük fel az
ABC háromszöget az alábbi adatokkal:
AB=8
cm
, AB=10
cm
, CA=4
cm
.
|
a) Szerkesszük meg a háromszög képét az
AB szakasz
FC
felezőpontjára vonatkozó középpontos tükrözésnél!
b) Milyen alakzatot alkot a háromszög és képének egyesítése? Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg állítást és bizonyítsuk is be!
c) Tükrözzük középpontosan az eredeti háromszöget a
BC oldal
FA
és a
CA oldal
FB
felezőpontjára is!
d) Milyen alakzatot alkot az eredeti háromszög és három képének egyesítése? Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg állítást és bizonyítsuk is be!
Feladat: 5.6. {g_i_szim_trafszerkeltol_haromszog_090715_ha_12}
Vegyük fel az
ABC háromszöget az alábbi adatokkal:
AB=8
cm
, AB=10
cm
, CA=4
cm
.
|
a) Szerkesszük meg a háromszög képét - az
A3
B3
C3
háromszöget - az
AB
→
vektorral való eltoláskor!
b) Milyen kapcsolat van az eredeti és a
CBC3
háromszög között?
Feladat: 5.7. {g_i_szim_trafszerk_090713_ha_01}
Vegyük fel (két példányban) az
ABC szabályos háromszöget, annak
O középpontját, az
OB szakaszt és annak
F felezőpontját (a szerkesztést érdemes egy
O középpontú körrel kezdeni és azon megkeresni az
A,
B,
C pontokat).
Az alábbi szerkesztéseket az ábra egy-egy külön példányán végezzük el!
a) Forgassunk az
O középpont körül
60∘
-kal!
b) Forgassunk az
A csúcs körül
60∘
-kal!
Feladat: 5.8. {g_i_szim_trafszerk_090713_ha_02}
Vegyük fel (három példányban) az
ABCD négyzetet, annak
O középpontját, az
OB szakaszt és annak
F felezőpontját (a szerkesztést érdemes egy
O középpontú körrel kezdeni és azon megkeresni az
A,
B,
C,
D pontokat).
Az alábbi szerkesztéseket az ábra egy-egy külön példányán végezzük el!
a) Forgassunk az
O középpont körül
45∘
-kal!
b) Forgassunk az
A csúcs körül
90∘
-kal!
Szimmetriák felismerése
Feladat: 5.9. {g_i_szim_abc_090715_ha_01}
Válasszuk ki a nagy nyomtatott magyar ABC betűiből a
a) tengelyesen szimmetrikusokat;
b) középpontosan szimmetrikusokat!
Feladat: 5.10. {g_i_szim_sokszog_090713_ha_03}
Szerkesszünk olyan hatszöget, amelynek nincs
60∘
-os forgási szimmetriája, de
120∘
-os forgási szimmetriája van!
Feladat: 5.11. {g_i_szim_jatek_090715_ha_01}
Ketten játszanak - Kezdő és Második - felváltva helyeznek el pontokat a síkon, két menetben összesen négyet, minden menetben egyet-egyet.
Miután valamelyikük lerak egy pontot, a másik menetenként egyszer-egyszer mondhatja, hogy ,,ne oda tegyél" és akkor a pontot tevőnek másik helyet kell választania.
Második akkor nyer, ha a legvégül kapott pontrendszer
a) tengelyesen;
b) középpontosan
szimmetrikus lesz, egyébként veszít. Kinek van nyerő stratégiája?
Feladat: 5.12. {g_i_szim_parketta_sakk_0907_ha_03}
Ebben a feladatban a végtelen sakktábla (lásd az
1. ábrát) szimmetriáit keressük.
Válasszuk ki, hogy az alábbi forgási szimmetriák közül melyekkel rendelkezik a végtelen sakktábla és jelöljük az ábrán a megadott színnel a megfelelő forgási szimmetriaközéppontokat!
a)
30∘
-os (sárga)
b)
45∘
-os (narancssárga)
c)
60∘
-os (zöld)
d)
90∘
-os (kék)
e)
120∘
-os (piros)
f)
180∘
-os (fekete).
g) Van-e a parkettázásnak szimmetriatengelye? Ha van jelöljük a tengelyeket!
h) Van-e olyan eltolás, amely minden parkettalapot egy másikba képez? Ha van jelöljük a megfelelő eltolásvektorokat!
1. ábra{fig:g_i_szim_parketta_sakk_0907_ha_03fel}
Feladat: 5.13. {g_i_szim_parketta_haromszogracs_0907_ha_04}
Most a végtelen szabályos háromszögrács (lásd az
1. ábrát) szimmetriáit keressük.
Válasszuk ki, hogy az alábbi forgási szimmetriák közül melyekkel rendelkezik a végtelen sakktábla és jelöljük az ábrán a megadott színnel a megfelelő forgási szimmetriaközéppontokat!
a)
30∘
-os (sárga)
b)
45∘
-os (narancssárga)
c)
60∘
-os (zöld)
d)
90∘
-os (kék)
e)
120∘
-os (piros)
f)
180∘
-os (fekete).
g) Van-e a parkettázásnak szimmetriatengelye? Ha van jelöljük a tengelyeket!
h) Van-e olyan eltolás, amely minden parkettalapot egy másikba képez? Ha van jelöljük a megfelelő eltolásvektorokat!
1. ábra{fig:g_i_szim_parketta_haromszogracs_0907_ha_04fel}
Feladat: 5.14. {g_i_szim_parketta01_090712_ha_02}
Ebben a feladatban a sík
1. ábrán látható parkettázásának szimmetriáit keressük.
Válasszuk ki, hogy az alábbi forgási szimmetriák közül melyekkel rendelkezik a parkettázás és jelöljük a megadott színnel a megfelelő forgási szimmetriaközéppontokat!
a)
30∘
-os (sárga)
b)
45∘
-os (narancssárga)
c)
60∘
-os (zöld)
d)
90∘
-os (kék)
e)
120∘
-os (piros)
f)
180∘
-os (fekete).
g) Van-e a parkettázásnak szimmetriatengelye? Ha van jelöljük a tengelyeket!
h) Van-e olyan eltolás, amely minden parkettalapot egy másikba képez? Ha van jelöljük a megfelelő eltolásvektorokat!
1. ábra{fig:g_i_szim_parketta01_0907_ha_02fel}
Feladat: 5.15. {g_i_szim_parketta01_090712_ha_01}
Ebben a feladatban a sík
1. ábrán látható parkettázásának szimmetriáit keressük.
Válasszuk ki, hogy az alábbi forgási szimmetriák közül melyekkel rendelkezik a parkettázás és jelöljük a megadott színnel a megfelelő forgási szimmetriaközéppontokat!
a)
30∘
-os (sárga)
b)
45∘
-os (narancssárga)
c)
60∘
-os (zöld)
d)
90∘
-os (kék)
e)
120∘
-os (piros)
f)
180∘
-os (fekete).
g) Van-e a parkettázásnak szimmetriatengelye? Ha van jelöljük a tengelyeket!
h) Van-e olyan eltolás, amely minden parkettalapot egy másikba képez? Ha van jelöljük a megfelelő eltolásvektorokat!
1. ábra{fig:g_i_szim_parketta01_0907_ha_01fel}
Feladat: 5.16. {g_i_szim_eschernet_090712_ha_05}
Válasszuk ki M. C.Escher mester egyik parkettázását (lásd pl. a [
172][gallery/symmetry] weboldalt) és elemezzük szimmetriáit az
5.14-
5.15. feladatok mintájára!
Feladat: 5.17. {g_i_szim_kordarab_080504_ha_02}
Soroljuk fel az
1. ábra szimmetriáit!
1. ábra{fig:g_i_szim_kordarab_080504_ha_02fel}
Feladat: 5.18. {g_i_szim_parkettakeszites_090713_ha_06}
a) Parkettázzuk szabályos hatszögekkel a síkot!
b) Helyettesítsük az egyik szabályos hatszög egyik oldalát a hatszög körülírt körének megfelelő ívével és módosítsuk ennek és a többi parkettalapnak a többi oldalait úgy, hogy megmaradjanak a csúcspontok körüli
120∘
-os szimmetriák!
Transzformációs szerkesztések
Feladat: 5.19. {g_i_szim_trafszerkalk_haromszog_090715_ha_02}
Adottak az
A pont, a
b egyenes, a
c kör és az
α szög. Szerkesztendő egyenlő szárú háromszög, amelynek az alappal szemközti csúcsa
A, míg a
B csúcs a
b egyenesen, a
C csúcs a
c körön van és a
BAC∠
a)
30∘
-os;
b) egy előre adott
α szöggel egyenlő.
Hány megoldása lehet a feladatnak?
c) Hány megoldás lehet, ha a
b egyenes helyett is egy kör adott, és azon kell elhelyezkednie a
B csúcsnak?
Feladat: 5.20. {g_i_szim_trafszerkalk_rombusz_090713_ha_03}
Szerkesztendő rombusz, ha adott két átlójának egyenese és két
a) szomszédos;
b) átellenes
oldalának egy-egy pontja!
Feladat: 5.21. {g_i_szim_trafszerkalk_trapez_090713_ha_05}
a) Szerkesztendő szimmetrikus trapéz (más szóval húrtrapéz), ha adott a szimmetriatengelye és mind a négy oldalának egy-egy pontja!
b) Határozzuk meg a trapéz csúcsainak koordinátáit, ha szimmetriatengelye az
y-tengely, míg a pontok az oldalain:
P(-2;3),
Q(3;2),
R(2;-4),
S(-3;-1)!
Feladat: 5.22. {g_i_szim_trafszerkalk_deltoid_090713_ha_04}
a) Szerkesztendő deltoid, ha adott két átlójának egyenese és három oldalának egy-egy pontja!
Határozzuk meg a deltoid csúcsainak koordinátáit, ha átlóinak egyenese a két koordinátatengely, míg három oldalának egy-egy pontja:
b)
P(-6;9)
Q(9;6)
R(6;-12);
c)
P(-6;9)
Q(9;6)
R(6;-3)
Hány ilyen deltoid van?
Feladat: 5.23. {g_i_szim_trafszerkalk_haromszog_090715_ha_01}
Adottak az
e,
b egyenesek, a
c kör és az
α szög. Szerkesztendő egyenlő szárú háromszög, amelynek
e a szimmetriatengelye,
B csúcsa a
b egyenesen,
C csúcsa a
c körön van és
BAC∠=α.
Hány megoldása lehet a feladatnak?
Feladat: 5.24. {g_i_szim_trafszerkalk_negyzet_090715_ha_03}
Szerkesztendő négyzet, ha adott egy
b kör és egy
d egyenes, amelyre rendre a
B illetve a
D csúcs illeszkedik valamint
a) az
AC átló egyenese;
b) az
A csúcs.
Feladat: 5.25. {g_i_szim_trafszerkalk_paralelo_090715_ha_07}
a) Adott az
O pont valamint az
a,
b,
c,
d egyenesek a síkon.
Szerkesztendő
ABCD paralelogramma, melynek
O a középpontja míg az
A,
B,
C,
D csúcsok rendre a megadott egyenesekre illeszkednek.
b) Adottak az
O,
P,
Q,
R,
S pontok a síkon.
Szerkesztendő
ABCD paralelogramma, melynek
O a középpontja a többi adott pont pedig a felsorolás szerint rendre az
AB,
BC,
CD,
DA oldal egyenesére illeszkedik.
Feladat: 5.26. {g_i_szim_trafszerkalk_trapez_090715_ha_11}
Adott az
A és a
B pont valamint a
c és a
d kör a síkon.
Szerkesztendő olyan
ABCD trapéz, amelynek
CD alapja fele olyan hosszú, mint az
AB alap és
C,
D csúcsai rendre a
c,
d alakzatokra illeszkednek.
Feladat: 5.27. {g_i_szim_trafszerkalk_eltol_090715_ha_12}
Adottak a
k1
,
k2
körök és az
e egyenes. Szerkesztendő olyan
e-vel párhuzamos
f egyenes, amelynek a két kör közé eső darabja
3 cm hosszú.
Feladat: 5.28. {g_i_szim_trafszerkalk_forghar_090715_ha_20}
a) Adott az
O pont az
a egyenes és a
b kör. Szerkesztendő szabályos háromszög, melynek középpontja
O és
A,
B csúcsai rendre az
a,
b alakzatokra illeszkednek.
b) Adottak az
O,
Pa
,
Pb
pontok. Szerkesztendő az
ABC szabályos háromszög, melynek középpontja
O, míg
Pa
és
Pb
illeszkednek a háromszög
BC illetve
CA oldalegyenesére.
Feladat: 5.29. {g_i_szim_trafszerkalk_haromszogesparalelo_090715_ha_08}
Szerkesztendő háromszög, ha adott két oldala és a harmadikhoz tartozó súlyvonala.
Feladat: 5.30. {g_i_szim_trafszerkalk_haromsztuk_090715_ha_09}
Szerkesztendő háromszög, ha adott
c oldala
α szöge valamint
a és
b oldalának különbsége.
Transzformációk alkalmazása
Feladat: 5.31. {g_i_snooker_090714ha_01}
Az
1. ábrán egy snooker (a billiárdhoz hasonló játék) asztal kicsinyített mása látható.
Az igazi tábla
3,6
m
×1,8
m
-es. Vegyük fel az asztal lapjának
10-szeresen kicsinyített képét és helyezzünk el egy-egy pontot a két golyónak megfelelően: a fehér golyó az asztal széltében és hosszában is a negyedelőpontban van az ábra szerint, míg a fekete golyó az asztal hosszának felénél, szélességének negyedénél helyezkedik el. Szerkesszük meg a fehér golyó útját, ha tudjuk, hogy
a) az
a oldalon való ütközés után;
b) a
b majd az
a oldalon való ütközés után;
c) a
c majd az
a oldalon való ütközés után
telibe találja a fekete golyót!
d) Számítsuk ki, hogy az
a oldalon a sarkoktól milyen messze pattan vissza a fehér golyó az egyes esetekben!
1. ábra{fig:g_i_snooker_090714ha_01fel}
Feladat: 5.32. {g_i_snooker_090715ha_02}
Adott egy téglalap (billiárd, snooker vagy pool asztal lapja) és benne két kör (a golyók). Szerkesszük meg az egyik falon azt a pontot, ahol az egyik golyónak ütődnie kell ahhoz, hogy visszapattanás után úgy lökje meg a másik golyót, hogy az az egyik sarok irányába menjen tovább!
Feladat: 5.33. {g_i_forg_pit_080422_ha_01}
Egy háromszög két oldalára kifelé négyzeteket rajzoltunk. Mutassuk meg, hogy az
1. ábrán a
DB,
AH szakaszok hossza egyenlő egymással!
1. ábra{fig:g_i_forg_pit_080422_ha_01fel}
Feladat: 5.34. {g_i_szimforg_szerk_090713ha_10}
Adott egy négyzet. Mutassuk meg, hogy bármelyik egyenesnek a négyzet két párhuzamos oldalegyenese közé eső része és a rá merőleges egyenesnek a négyzet másik két oldalegyenese közé eső része azonos hosszúságú!
Feladat: 5.35. {g_i_szimforg_szerk_080422_01ha_01}
Adott a síkon az
A, a
B és a
C pont. Szerkesztendő olyan
C középpontú kör, amelynek (egyik)
A-t tartalmazó érintője merőleges az (egyik)
B-t tartalmazó érintőjére!
Transzformációk egymás után
Feladat: 5.36. {g_i_szimtuk_01ha_10}
Adjunk meg olyan 10 pontból álló halmazt, amelynek pontosan
k darab szimmetriatengelye van. Mely
k nemnegatív egész szám esetén oldható meg a feladat? Adjunk mindegyik esetre példát! (Nem kell őket megszerkeszteni.)
Feladat: 5.37. {g_i_szimforg_01ha_01}
Az
1. ábrán látható
75∘
-os körcikket elforgatjuk
75∘
-kal az óra járásával ellenkező forgásirányban. A kapott körcikket újból elforgatjuk
75∘
-kal, stb. Hányszor kell a forgatást elvégezni, hogy visszajussunk az eredeti körcikkhez?
1. ábra{fig:g_i_szimforg_01ha_01fel}
Feladat: 5.38. {g_i_szimtuk_01ha_02}
Az
ABC háromszög
AC oldalán adott a
P1
pont. Az
A pontba szúrt körzővel,
AP1
sugárral kört rajzolunk, ami a
P2
pontban metszi az
AB oldalt. Most a
B pontba szúrjuk a körzőt és
P2
-n keresztül húzunk egy kört (
BP2
sugárral), ami a
P3
pontban metszi az
CB oldalt. Így haladunk tovább, legközelebb a
C, majd újból az
A stb. ... pont körül körívezve.
Mit tapasztalunk? Fogalmazzunk meg állítást és próbáljuk meg igazolni!
Feladat: 5.39. {g_i_centtukkomp_090714ha_01}
Adott az
A és a
B pont. Tekintsünk egy
B-n átmenő
b egyenest és legyen az
A pont
b egyenesre vonatkozó tükörképe
A'.
a) Határozzuk meg az
A' pont mértani helyét a síkon, ha
b felveszi összes lehetséges helyzetét (azaz forgassuk
b-t
B körül és minden helyzetében tükrözzük rá
A-t)!
b) Mi lesz az
AA' szakasz
F felezőpontjának mértani helye?
Szabályos sokszögek
Feladat: 5.40. {g_i_szim_szab_100823ha_01}
Igaz-e, hogy ha egy háromszög
a) mindhárom oldala egyenlő;
b) mindhárom szöge egyenlő;
c) két különböző tengelyre is szimmetrikus,
akkor szabályos?
Feladat: 5.41. {g_i_szim_szab_100823ha_02}
Igaz-e, hogy ha egy négyszög
a) mind a négy oldala egyenlő;
b) mind a négy szöge egyenlő;
c) két különböző tengelyre is szimmetrikus,
akkor szabályos?
Feladat: 5.42. {g_i_szim_szab_100823ha_05}
Igaz-e, hogy ha egy
a) négyszög
b) ötszög
c) hatszög
egy átlójára és egy oldalfelező merőlegesére is szimmetrikus, akkor szabályos?
Feladat: 5.43. {g_i_szim_szab_100823ha_10}
Az
ABC szabályos háromszög
AB oldalának
A felőli harmadolópontja
C1
, míg a
BC,
CA oldalak
B illetve
C felőli harmadolópontjai
A1
illetve
B1
. Igaz-e, hogy az
A1
B1
C1
háromszög is szabályos?
Feladat: 5.44. {g_i_szim_szab_100823ha_11}
Igaz-e, hogy ha egy szabályos háromszög oldalain úgy veszünk fel egy-egy pontot, hogy azok is szabályos háromszöget alkossanak, akkor ezek a pontok egyenlő arányban osztják fel az eredeti szabályos háromszög oldalait?
Vegyes feladatok
Feladat: 5.45. {g_i_szim_teronimo3szin_090715ha_01}
Piros kék és sárga négyzetlapjaink vannak, mindegyikből sok. Ezeket a négyzetlapokat a egymáshoz ragaszthatjuk úgy, hogy az egyik négyzet egyik teljes oldala egy másik négyzet teljes oldalával ragadjon össze. Hányféle
a) három;
b) négy
négyzetlapból álló alakzat rakható így össze, ha a
síkban egymásba mozgathatóakat nem különböztetjük meg egymástól?
c) Hogyan módosul az a), b) feladatok eredménye ha a
térben egymásba mozgatható idomokat sem különböztetjük meg egymástól?
Feladat: 5.46. {g_i_szim_vegyes_fff_090715ha_01}[
98]
Kössük össze a szabályos háromszög tetszőleges belső pontját a csúcsokkal. Igazoljuk, hogy a kapott három szakaszból háromszög szerkeszthető!
Feladat: 5.47. {g_i_szim_kordarab_090713_ha_02}
Szerkesszük meg és osszuk fel egyetlen vonallal az
1. ábrán látható körívekkel határolt alakzatot két egybevágó részre!
1. ábra{fig:g_i_szim_kordarab_090713_ha_02fel}
Feladat: 5.48. {g_i_szim_kordarab_080504_ha_01}
Feldarabolható-e a kör véges sok egymással egybevágó részre úgy, hogy legyen olyan rész, amely sem a belsejében sem a határán nem tartalmazza a kör középpontját?
Feladat: 5.49. {g_i_szim_parkettaivekbol_090713_ha_05fel}
Parkettákat készítünk a négyzetrácsból kiindulva, amelyet a koordinátarendszer rácsvonalai alkotnak.
Cseréljük ki az
0 origó és az
A(0;1) rácspont közti szakaszt egy
F(
1
2
;
1
2
) pont körüli negyedkörívvel.
A többi rácsvonaldarab módosításával készítsük el a sík egybevágó idomokkal történő olyan parkettázását, amely
szimmetrikus
a) a minden rácspont körüli
90∘
-os forgatásra;
b) az origó körüli
90∘
-os forgatásra és az
AF egyenesre való tükrözésre!
c) Milyen egyéb szimmetriái vannak ezeknek a parkettázásoknak?
Feladat: 5.50. {g_i_szim_parkettaivekbol_090713_ha_03fel}
Szerkesszük meg az
1. ábrán látható körívekkel határolt alakzatot! Kiparkettázható-e vele és egybevágó példányaival a sík? Csak egyféleképpen végezhető el a parkettázás vagy több lehetőség is van?
1. ábra{fig:g_i_szim_parkettaivekbol_090713_ha_03fel}
Feladat: 5.51. {g_i_szim_trafszerk_negyszogpark_090713_ha_10}
Vegyünk fel egy négyszöget, amelynek mindegyik oldala különböző hosszúságú (lehet a négyszög konkáv is) és szerkesszük meg a felezőpontjait!
Tükrözzük középpontosan a négyszöget mindegyik felezőpontjára, majd az így kapott négyszögeket is tükrözzük a felezőpontjaikra végül az így kapott négyszögeket is tükrözzük a felezőpontjaikra. Így összesen hány négyszöget kaptunk?