7. FEJEZET: A terület{mchap:g_ii_terulet}
Beírt kör, hozzáírt körök
Feladat: 7.1. {g_ii_terulet_060120_HA_01}
Mutassuk meg, hogy a háromszögbe írt kör
r sugarára, a háromszög
s félkerületére (,,semiperimeter"), valamint a háromszög
T
területére teljesül az
s·r=T összefüggés!
Feladat: 7.2. {g_ii_terulet_060120_HA_02}
Keressünk a
7.1. feladatéhoz hasonló formulát, amely a háromszög területét a háromszög oldalaival és a háromszöghöz hozzáírt, az
a oldalt kívülről érintő kör
ra
sugarával hozza összefüggésbe!
Feladat: 7.3. {g_ii_terulet_060223_HA_02a}
Jelölje az
ABC háromszög beírt, illetve a
BC oldalhoz hozzáírt
körének középpontját
I, illetve
Ia
, sugaraikat
r, illetve
ra
, az
AB oldalegyenesen található érintési pontjukat
U,
illetve
Ua
.
a) Mutassuk meg, hogy az
IUB,
BUa
Ia
háromszögek
hasonlóak!
b) fejezzük ki az
ABC háromszög területét az
s,
s-a,
s-b,
s-c mennyiségek segítségével!
Feladat: 7.4. {g_ii_terulet_060120_HA_03}
Mutassuk meg, hogy a háromszög
ma
,
mb
,
mc
magasságaira és
a beírt kör
r sugarára
1
ma
+
1
mb
+
1
mc
=
1
r
.
|
Feladat: 7.5. {g_ii_terulet_060120_HA_04}
Fejezzük ki a háromszög hozzáírt, az
a oldalt kívülről érintő
kör
ra
sugarának hosszát a háromszög
ma
,
mb
,
mc
magasságainak függvényeként!
Ceva szakaszok
Feladat: 7.6. {g_ii_terulet_cevaele_100927_HA_00}
Adott háromszög egyik csúcsa és a szemközti oldal valamely pontja közti szakaszt a háromszög
Ceva-szakaszának nevezzük. Sok feladat szól három olyan Ceva-szakaszról, amelyek három különböző csúcsból indulnak. Most csak egyet vizsgálunk.
Mutassuk meg, hogy a háromszög Ceva-szakasza ugyanolyan arányban osztja fel azt az oldalt, amelyen a háromszög csúcsától különböző végpontja van, mint a háromszög területét!
Feladat: 7.7. {g_ii_terulet_cevaele_100927_HA_01}
Jelölje az
ABC háromszög
AC oldalának
A felőli harmadolópontját
B1
, míg a
BC oldal felezőpontját
A1
, az
AA1
,
BB1
szakaszok metszéspontját
P, a
CP egyenes és az
AB oldal metszéspontját
C1
.
a) Szerkesszük meg az ábrát dinamikus geometriai szoftverrel!
b) Sejtsük meg az alábbi arányok értékét!
T
BA1
P
TABC
T
A1
CP
TABC
T
CB1
P
TABC
T
B1
AP
TABC
T
AC1
P
TABC
T
C1
BP
TABC
BP
PB1
AP
PA1
CP
PC1
AC1
C1
B
c) Bizonyítsuk be a sejtéseket!
Feladat: 7.8. {g_ii_terulet_cevaele_100927_HA_02}
Jelölje az
ABC háromszög
AC oldalának
A felőli harmadolópontját
B1
, míg a
BC oldal
C felőli harmadolópontját
A1
, az
AA1
,
BB1
szakaszok metszéspontját
P, a
CP egyenes és az
AB oldal metszéspontját
C1
.
a) Szerkesszük meg az ábrát dinamikus geometriai szoftverrel!
b) Sejtsük meg az alábbi arányok értékét!
T
BA1
P
TABC
T
A1
CP
TABC
T
CB1
P
TABC
T
B1
AP
TABC
T
AC1
P
TABC
T
C1
BP
TABC
BP
PB1
AP
PA1
CP
PC1
AC1
C1
B
c) Bizonyítsuk be a sejtéseket!
Feladat: 7.9. {g_ii_terulet_060120_HA_05}
Az
ABC háromszög
AB,
BC,
CA oldalain a
C1
,
A1
,
B1
pontok úgy helyezkednek el, hogy az
AA1
,
BB1
,
CC1
szakaszok egy közös
P ponton haladnak át.
Mutassuk meg, hogy
Feladat: 7.10. {g_ii_terulet_060120_HA_06}
Ceva
tétele
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög
AB,
BC,
CA
oldalain adott
C1
,
A1
,
B1
pontokra az
AA1
,
BB1
,
CC1
szakaszok pontosan akkor mennek át egy közös ponton, ha
AC1
C1
B
·
BA1
A1
C
·
CB1
B1
A
=1.
|
Feladat: 7.11. {g_ii_terulet_100809SL04}
Igazoljuk a Ceva-tétel gyakorlásaként, hogy a háromszög súlyvonalai egy ponton mennek át!
Feladat: 7.12. {g_ii_terulet_100809SL05}
,,Ellenőrizzük" Ceva-tételét a (belső) szögfelezőkre!
Feladat: 7.13. {g_ii_terulet_100809SL06}
,,Ellenőrizzük" Ceva-tételét (
7.10. feladat) hegyesszögű háromszögben a magasságvonalakra!
Feladat: 7.14. {g_ii_terulet_100809SL02}
Kössük össze az
ABC háromszög minden csúcsát azzal a ponttal, ahol a beírt kör érinti a szemközti oldalt. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott szakaszok egy ponton mennek át.
Megjegyzés. Ezt a pontot a háromszög
Gergonne-pontjának nevezik.
Feladat: 7.15. {g_ii_terulet_100809SL03}
Kössük össze az
ABC háromszög minden csúcsát azzal a ponttal, ahol a szemközti oldalhoz írt kör érinti a szemközti oldalt. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott szakaszok egy ponton mennek át.
Megjegyzés. Ezt a pontot a háromszög
Nagel-pontjának nevezik.
Feladat: 7.16. {g_ii_terulet_100809SL01}
Az
ABC háromszög
AB,
BC,
CA oldalain adott
C1
,
A1
,
B1
pontokról tudjuk, hogy az
AA1
,
BB1
,
CC1
szakaszok egy közös ponton mennek át. Tükrözzük e három pontot a megfelelő oldal felezőpontjára. Igazoljuk, hogy az így kapott
C2
,
A2
,
B2
pontokra is igaz, hogy az
AA1
,
BB1
,
CC1
szakaszok egy közös ponton mennek át.
Feladat: 7.17. {g_ii_terulet_140420ha01}
Ceva
tétele, trigonometrikus alak
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög
AB,
BC,
CA
oldalain adott
C1
,
A1
,
B1
pontokra az
AA1
,
BB1
,
CC1
szakaszok pontosan akkor mennek át egy közös ponton, ha
sin
ACC1
∢
sin
C1
CB∢
·
sin
BAA1
∢
sin
A1
AB∢
·
sin
CBB1
∢
sin
B1
BA∢
=1.
|
Feladat: 7.18. {g_ii_terulet_100809SL07}
Igazoljuk Ceva tétele (
7.10. feladat) segítségével, hogy a háromszög három szimediánja egy ponton megy keresztül.
Feladat: 7.19. {g_ii_terulet_cevaele_100927_HA_20}
Jelölje az
ABC háromszög
AC oldalának
A felőli harmadolópontját
B1
, a
CB oldal
C felőli harmadolópontját
A1
, míg a
BA oldal
B felőli harmadolópontját
C1
(lásd az
1. ábrát).
Hogyan aránylik az
ABC háromszög területéhez az
AA1
,
BB1
,
CC1
Ceva szakaszok által határolt háromszög területe?
1. ábra{fig:g_ii_terulet_cevaele_100927_HA_20fela}
Feladat: 7.20. {g_ii_terulet_meneleoszterulet_100927_HA_24}
Adott az
ABC háromszög és
AB,
BC,
CA oldalegyenesén a
C1
, az
A1
illetve a
B1
pont. Legyen
AC1
C1
B
=
λc
,
BA1
A1
C
=
λa
,
CB1
B1
A
=
λb
,
|
ahol ezek az arányok előjelesen értendők, tehát pl ha az
AC1
→
,
C1
B
→
vektorok azonos irányúak - azaz
C1
az
AB szakaszon belül van -, akkor
λc
pozitív, ha pedig ellenkező irányúak - tehát
C1
az
AB egyenesen az
AB szakaszon kívül van -, akkor
λc
negatív.
Írjuk fel az
A1
B1
C1
,
ABC háromszögek területének arányát a
λa
,
λb
,
λc
mennyiségek függvényeként!
Feladat: 7.21. {g_ii_terulet_meneleoszterulet_100927_HA_30}
Menelaosz-tétel
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög
AB,
BC,
CA
oldalain adott
C1
,
A1
,
B1
pontok akkor és csakis akkor illeszkednek egy egyenesre, ha - előjeles arányokkal számolva -
AC1
C1
B
·
BA1
A1
C
·
CB1
B1
A
=-1.
|