3. FEJEZET: Egybevágóságok{mchap:g_ii_tukrozesek}
Az irányított szög fogalma és additivitása
Az
a,
b számok
különbségén a hétköznapi szóhasználatban általában az
|a-b| kifejezés értékét, a különbség abszolút értékét értjük. A matematikában viszont gyakran az
(a-b) kifejezés értékére van szükség, amelynek lehet negatív is. Az
|a-b|-különbség előnye, hogy független attól, hogy a két szám közül melyik
a és melyik
b, például
2 és
5 illetve
5 és
2 ilyen értelmű különbsége ugyanaz a szám. Az
(a-b)-különbség előnye az, hogy
additív: ha ismert
(a-b) és
(b-c) értéke, akkor egyértelmű és könnyen kiszámolható
(a-c) értéke, tudniillik az előző kettő összege. Ez a tulajdonsága az
|a-b| különbségnek nincs meg: ha pl
|a-b|=3 és
|b-c|=1, akkor
|a-c| értéke
2 és
4 is lehet attól függően, hogy
c az
a és
b számok között van a számegyenesen vagy nem (lásd az
1. ábrát).
1. ábra{fig:g_ii_tukrozesek_ha100825_studchaphead10}
Vizsgáljuk most egy tetszőleges egyenest és rajta az
A,
B,
C pontokat! Az
A és
B pontok távolságán, jelben
d(A,B), mindig nemnegatív számot értünk. A
d(A,C) távolság értékét
d(A,B) és
d(B,C) ismeretében még nem tudjuk egyértelműen meghatározni: a pontok elhelyezkedési sorrendjétől függően vagy
(d(A,B)+d(B,C))-vel vagy
|d(A,B)-d(B,C)|-nel egyenlő. Ezen segít, ha az egyenesen rögzítünk egy irányt és előjeles távolsággal dolgozunk. A
di
(A,B) előjeles távolságon a nemnegatív
d(A,B) mennyiséget értjük, ha
A-tól
B az irányításnak megfelelő irányban van, míg
di
(A,B)=-d(A,B), ha
A-tól
B a felvett irányítással ellenkező irányban van. A
di
mennyiség additív:
di
(A,B)+
di
(B,C)=
di
(A,C) (lásd a
2. ábrát).
2. ábra{fig:g_ii_tukrozesek_ha100825_studchaphead20}
Két metsző egyenes szögén az általános iskolában egy
0∘
és
90∘
közti szöget értünk. Ezt a szöget
ab∠-gel fogjuk jelölni. Az
ab∠,
bc∠ szögek ismeretében
ac∠ értéke még nem határozható meg egyértelműen (lásd a
3. ábrát).
3. ábra{fig:g_ii_tukrozesek_ha100825_studchaphead30}
Rögzítsünk most a síkon egy (forgási) irányítást! Közmegegyezés szerint az óra járásával ellenkező forgásirányt tekintjük pozitívnak, az azzal ellenkező forgásirányt negatívnak. Az
a és
b egyenesek irányított szögén, jelben
ab∢, értsük azt a forgási irányításnak megfelelő előjeles szöget, amellyel az
a egyenes elforgatható, hogy a
b egyenest kapjuk.
A
4. ábrán látható
a egyenes
-
15∘
-os és
165∘
-os forgatással is
b-be vihető.
Az irányított szög nem egyértelmű, ha az
a egyenes
b-be forgatható egy
ϕ szöggel, akkor
ϕ+
180∘
,
ϕ+
360∘
, stb szögű elforgatásokkal is
b-be forgatható, tehát két egyenes irányított szöge csak
(mod
180∘
) van meghatározva.
Nyilvánvaló, hogy két metsző egyenes irányított szöge nem változik, ha a két egyenest önmagukkal párhuzamos egyenesekre cseréljük. Hogy ez az egyszerű tény nem metsző egyenesekre is érvényben maradjon, a párhuzamos és az egybeeső egyenesek irányított szögét
(mod
180∘
) egyaránt
0∘
-nak tekintjük.
Az irányított szög is additív mennyiség:
ac∢≡ab∢+bc∢ (mod180). Ez az összefüggés nyilvánvaló, ha az
a,
b,
c egyenesek egy pontban metszik egymást vagy vannak köztük párhuzamosak a többi eset pedig az egyenesek eltolásával erre vezethető vissza.
4. ábra{fig:g_ii_tukrozesek_ha100825_studchaphead40}
Tegyük fel, hogy az
a,
b,
c egyeneseken adott egy-egy irányítás. Az irányított egyeneseket jelölje
a
→
,
b
→
,
c
→
. Az
a-t
b-be képező forgatások közül bizonyosak az
a-n választott irányítást a
b-n választott irányításba képezik, mások az ellenkező irányításba. Az
a
→
,
b
→
irányított egyenesek irányított szögét azt a szöget értjük, jelben
a
→
b
→
∢, amellyel az
a egyenes a
b egyenesbe forgatható úgy, hogy egyúttal
a
→
irányítása
b
→
irányításába forduljon. Az irányított egyenesek irányított szöge
(mod
360∘
)-van meghatározva.
Egy egyenest kétféleképpen irányíthatunk, két egyenesen összesen négyféleképpen adható meg az irányítás. Az így adódó négy irányított szög
(mod
360∘
) összesen kétféle,
(mod
180∘
) pedig egyféle:
a
→
b
→
∢≡
a
←
b
→
∢+
180∘
≡
a
→
b
←
∢+
180∘
≡
a
←
b
←
∢ (mod
360∘
).
|
A
4. ábra egyeneseit egyféleképpen irányítva jutottunk az
5. ábrához.
5. ábra{fig:g_ii_tukrozesek_ha100825_studchaphead50}
Az irányított egyenesek irányított szögére is teljesül az additivitás:
a
→
c
→
≡
a
→
b
→
+
b
→
c
→
(mod
360∘
).
Irányított egyenestől való előjeles távolság
Egy egyenes két zárt félsíkra osztja a síkot. Ha az egyenes irányított, akkor rajta az irányítás szerint haladva az egyik félsík jobbra esik, a másik balra, ennek megfelelően beszélhetünk az irányított egyenes jobb oldalán illetve bal oldalán elhelyezkedő félsíkról.
A továbbiakban az irányított egyenestől való távolságot előjelesen értjük. Az irányított egyenes jobb oldali félsíkjában található pontok előjeles távolsága az irányított egyenestől pozitív, a bal oldali félsík pontjaié negatív. A
P pont előjeles távolsága az
e
→
=AB egyenestől
d(P,
e
→
)=d(P,AB).
|
Ha a pozitív körüljárású
ABC háromszög
AB,
BC,
CA oldalegyeneseit a betűk sorrendje szerint irányítjuk (
A-tól
B felé,
B-től
C felé illetve
C-től
A felé), akkor az
ABC háromszög belső pontjainak távolsága mind a három oldalegyenestől pozitív. A létrejövő hét síktartományban a távolságoknak az előjelek szerint lehetséges mind a nyolc kombinációja létrejön kivéve egyet: nincs olyan pont a síkban, amelynek mind a három irányított egyenestől negatív a távolsága, tehát nincs olyan pont, amely mind a három egyenesnek a bal oldalán helyezkedik el.
Irányított mennyiségek
Feladat: 3.1. {g_ii_tukrozesek_iranyitott_100623_ha01}
Az irányított szögek összegezhetők
Ha
a1
,
a2
,
a3
, ... ,
an
tetszőleges egyenesek a síkon, akkor irányított szögeikre
a1
a2
∢+
a2
a3
∢+…+
an-1
an
∢≡
a1
an
∢ (mod
180∘
),
|
illetve, ha
a1
→
,
a2
→
,
a3
→
, ... ,
an
→
tetszőleges irányított egyenesek a síkon, akkor irányított szögeikre
a1
→
a2
→
∢+
a2
→
a3
→
∢+…+
an-1
→
an
→
∢≡
a1
→
an
→
∢ (mod
360∘
).
|
Feladat: 3.2. {g_ii_tukrozesek_iranyitott_100623_ha02}
Fordított szög tétel
A sík tetszőlegesen választott
a,
b egyeneseinek irányított szögeire
ab∢≡-ba∢ (mod
180∘
).
Feladat: 3.3. {g_ii_tukrozesek_iranyitott_100623_ha04}
Tükrözés és előjeles mérték
Ha
A,
B és
T egy
e egyenes pontjai és
A valmint
B képe a
T-re vonatkozó tükrözésnél
A' és
B', és adott
e-n egy irányítás is, akkor
di
(AT)=-
di
(A'T)=
di
(TA');
di
(AB)=-
di
(A'B')=
di
(B'A').
|
Ha
a és
b tetszőleges egyenesek a síkban és ugyanazen sík valamely
t egyenesére vonatkozó tükörképeik
a' és
b', akkor
at∢≡-a't∢≡ta'∢ (mod
180∘
); ab∢≡-a'b'∢≡b'a'∢ (mod
180∘
).
|
Ha adott
a-n és
b-n egy-egy irányítás is, akkor
a
→
b
→
∢≡-
a
→
'
b
→
'∢≡
b
→
'
a
→
'∢ (mod
360∘
).
|
Ha emellett
t tetszőlegesen irányított, akkor
a
→
t
→
∢≡-
a
→
'
t
→
∢≡
t
→
a
→
'∢ (mod
360∘
).
|
Feladat: 3.4. {g_ii_tukrozesek_iranyitott_100623_ha05}
Merőleges szárú szögek tétele
Ha az azonos síkban fekvő
a,
a⊥
,
b,
b⊥
egyenesekre
aa⊥
∢≡
90∘
(mod
180∘
) és
bb⊥
∢≡
90∘
(mod
180∘
), akkor
a⊥
b⊥
∢≡ab∢ (mod
180∘
).
Feladat: 3.5. {g_ii_tukrozesek_iranyitott_100623_ha10}
Ha adott az
a egyenes a
B pont és egy
γ∈[
0∘
,
180∘
] szög akkor pontosan egy olyan
b egyenes van
B-n át, amelyre
ab∢≡γ (mod
180∘
).
Feladat: 3.6. {g_ii_tukrozesek_iranyitott_100701haromszog_ha10}
Döntsük el külön külön az alábbi két állításról, hogy igazak-e vagy nem!
a) Ha egy háromszög egymáshoz csatlakozó oldalainak egyenesei
a,
b és
c, egy másik háromszögé
a',
b' és
c' és ezek irányított szögeire
ab∢≡a'b'∢ (mod
180∘
), bc∢≡b'c'∢ (mod
180∘
),
|
akkor a két háromszög szögei megegyeznek egymással.
b) Ha egy négyszög egymáshoz csatlakozó oldalainak egyenesei
a,
b,
c és
d, egy másik négyszögé
a',
b',
c' és
d' és ezek irányított szögeire
ab∢≡a'b'∢ (mod
180∘
), bc∢≡b'c'∢, cd∢≡c'd'∢ (mod
180∘
),
|
akkor a két négyszög szögei megegyeznek egymással.
Feladat: 3.7. {g_ii_iregy_irtav_100705ha00}
Adott az
m
→
irányított egyenes és a
μ valós szám. Keressük azoknak a
P pontoknak a mértani helyét a síkon, amelyeknek az
m
→
irányított egyenestől mért előjeles távolsága
μ.
Feladat: 3.8. {g_ii_iregy_irtav_100705ha01}
Adottak az egymást metsző
m
→
,
n
→
irányított egyenesek és a
μ,
ν valós számok. Keressük azoknak a
P pontoknak a mértani helyét a síkon, amelyekre
d(P,
m
→
)=μ,
és
d(P,
n
→
)=ν,
|
ahol
d(P,
e
→
) a
P pont és az
e
→
irányított egyenes előjeles távolságát jelöli.
Feladat: 3.9. {g_ii_iregy_irtav_100705ha02}
Mutassuk meg, hogy ha
O az
m
→
irányított egyenes tetszőleges pontja és az
O középpontú
λ arányú középpontos nagyítás a
P pontot a
P' pontba képezi, akkor
λd(P,
m
→
)=d(P',
m
→
)
Feladat: 3.10. {g_ii_iregy_irtav_100705ha03}
Legyenek adva az egymást metsző
m
→
,
n
→
irányított egyenesek és a
μ,
ν valós számok. Keressük azoknak a
P pontoknak a mértani helyét a síkon, amelyekre
d(P,
m
→
)
d(P,
n
→
)
=
μ
ν
.
|
Előzetes vizsgálatok
Feladat: 3.11. {g_ii_bevezetes_dingeo_100712ha_00}
Adott egy
a szakasz és egy azzal párhuzamos és egyenlő hosszúságú
a' szakasz, valamint egy tetszőleges
e egyenes és azon egy
E pontot.
Vegyük fel annak a
a) tengelyes tükrözésnek a tengelyét,
b) annak a középpontos tükrözésnek a középpontját,
c) annak az eltolásnak a vektorát,
amely
a-t
a'-be képezi.
a', b', c') Határozzuk meg ennél a transzformációnál az
E pont képét,
E'-t! Mi a képek mértani helye, ha
E befutja az
e egyenest?
a", b", c") Vizsgáljuk az
EE' egyenesek rendszerét, amint
E befutja az
e egyenest!
Feladat: 3.12. {g_ii_tengtuk_090708_HA_01}
Adott a
d egyenes valamint a rá nem illeszkedő
A pont. Hogyan verődnek vissza az
A-ból induló fénysugarak a
d tükörről?
(Ennek a feladatnak a megoldásához alkalmazhatunk dinamikus geometriai szerkesztőprogramot is.)
a) Szerkesszünk meg öt különböző visszaverődés után képződő sugarat!
b) Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg állítást ezen sugarak egyeneseiről!
c) Ha valaki rajzol egy egyenest, hogyan lehet róla gyorsan eldönteni, hogy az egy
A-ból induló fénysugár
d egyenes tükrön való tükrözőséséből keletkezett?
d) Igazoljuk a b), c) pontokban megfogalmazott állításokat!
Feladat: 3.13. {g_ii_bev_epe_090708_HA_01}
Adott az
a kör és az
F pont. Fussa be az
A pont az
a kört és minden helyzetében tekintsük a síknak azt a
B pontját, amelyre az
AB szakasz felezőpontja
F. Határozzuk meg az így kapható
B pontok mértani helyét a síkon!
a) Vegyünk fel öt különböző pontot az
a körön -
A1
,
A2
, ... ,
A5
-, és mindegyikhez szerkesszük meg a megfelelő pontot -
B1
,
B2
, ... ,
B5
.
b) Alkalmazzunk dinamikus geometriai szerkesztőprogramot a mértani hely előállításához!
c) Fogalmazzunk meg mi lesz a keresett mértani hely!
d) Bizonyítsuk be a c) pontban megfogalmazott állítást!
Feladat: 3.14. {g_ii_bev_epe_090708_HA_02}
Adott a
b egyenes és az
A pont. Fussa be a
B pont a
b egyenest és minden helyzetében tekintsük a síknak azt a
C pontját, amelyre az
ABC háromszög szabályos. Határozzuk meg az így kapható
C pontok mértani helyét a síkon!
a) Vegyünk fel öt különböző pontot
b-n -
B1
,
B2
, ... ,
B5
-, és mindegyikhez szerkesszük meg a megfelelő pontot abban az esetben is, amikor a háromszög pozitv körüljárású -
C1
,
C2
, ... ,
C5
-, és akkor is, amikor negatív körüljárású -
C
'1
,
C
'2
, ... ,
C
'5
.
b) Alkalmazzunk dinamikus geometriai szerkesztőprogramot a mértani hely előállításához!
c) Fogalmazzunk meg mi lesz a keresett mértani hely!
d) Bizonyítsuk be a c) pontban megfogalmazott állítást!
Feladat: 3.15. {g_ii_bev_epe_090708_HA_03}
Adott a
c kör és az
A,
B pontok. Fussa be a
C pont a
c kört és minden helyzetében tekintsük a síknak azt a
D pontját, amelyre az
ABCD négyszög olyan trapéz, melynek
CD alapja
3 cm. Határozzuk meg az így kapható
D pontok mértani helyét a síkon!
a) Vegyünk fel öt különböző pontot a
c körön -
C1
,
C2
, ... ,
C5
-, és mindegyikhez szerkesszük meg a megfelelő pontot -
D1
,
D2
, ... ,
D5
.
b) Alkalmazzunk dinamikus geometriai szerkesztőprogramot a mértani hely előállításához!
c) Fogalmazzunk meg mi lesz a keresett mértani hely!
d) Bizonyítsuk be a c) pontban megfogalmazott állítást!
Feladat: 3.16. {g_ii_bev_kut_100706ha_01}
Vegyük fel az
O pontot, rajta át az
a és a
b egyenest valamint a síkban tetszőlegesen a
P pontot.
Legyen a
P pont az
a illetve a
b egyenesre vonatkozó tükörképe
Pa
illetve
Pb
. Vizsgáljuk a
Pa
OPb
háromszöget, ha
a) az
a,
b szögszárak rögzítettek és
P mozog!
b)
P,
O,
b rögzítettek és
a forog!
Feladat: 3.17. {g_ii_bev_geoI424_100713ha}[
50]
Adott paralelogramma középpontján és egyik oldalának végpontjain át szerkesszünk kört és vegyük fel a középponton és a paralelogramma előzővel szemközti oldalának végpontjain átmenő kört is. Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg sejtést, próbáljuk meg bizonyítani!
Feladat: 3.18. {g_ii_bev_geoI425_100713ha}[
50]
Tűzzünk ki egy körön két pontot,
A-t és
B-t. Fussa be az
X pont a kört, és szerkesszük meg minden helyzetében azt az
Y pontot, amellyel
Y az
a)
AXBY paralelogrammában az
X-szel szemközti csúcs lesz;
b)
ABXY paralelogrammában a
B-vel szemközti csúcs lesz.
Mi az
Y pontok mértani helye?
Számolás
Feladat: 3.19. {g_ii_tuktukszamolas_100706_HA01}
A
P pont az
O csúcsú
a)
78∘
-os
b)
110∘
-os
szög
a,
b szárai között helyezkedik el. Jelölje
A illetve
B a
P pontnak az
a illetve a
b szár egyenesére vonatkozó tükörképét. Határozzuk meg az
ABO háromszög szögeit!
Változik-e az eredmény, ha
P a szögtartományon kívül helyezkedik el?
Feladat: 3.20. {g_ii_kpszamolas_100713ha01}
A számegyenesen dolgozunk. Először a
0-ra tükrözünk.
Mi lesz a
a)
10;
b)
-2
képe?
c) fejezzük ki az
x képét
x-szel!
d-f) Most tükrözzünk a
7-re! Mi lesz a
10,
-2 és
x képe?
g-i) Határozzuk meg
10,
-2 és
x képét az
a-ra való tükrözésnél is!
Feladat: 3.21. {g_ii_kpszamolas_100713ha02}
A számegyenesen dolgozunk. Milyen geometriai transzformációt ad meg az alábbi képlet?
a)
x→2-x;
b)
x→2+x
c)
x→2x
Feladat: 3.22. {g_ii_kpszamolas_100713ha10}
A koordinátasíkon dolgozunk, pontokat tükrözünk középpontosan. Az első középpont az origó.
Mi lesz a
a)
(9;-3);
b)
(2;2);
c)
(p;q)
pont képe?
d-f) Most tükrözzünk a
(7,-1) pontra!
Mi lesz az a)-c) pontok képe?
g-i) És ha az
(a;b) pontra tükrözünk, akkor hová képződnek az a)-c) pontok?
Feladat: 3.23. {g_ii_tgszamolas_100713ha11}
A koordinátasíkon dolgozunk, pontokat tükrözünk tengelyesen. Az első tengely az
x-tengely.
Mi lesz a
a)
(9;-3);
b)
(2;2);
c)
(p;q)
pont képe?
d)-f)
Most tükrözzünk az
y=3 egyenletű egyenesre!
Mi lesz a fenti pontok képe?
g)-i) És az
x=a egyenletű egyenesre való tükrözésnél hová kerülnek az a)-c) pontok?
j)-l) És az
x=y egyenletű egyenesre való tükrözésnél mi az a)-c) pontok képe?
m)-o) Végül tükrözzünk a fenti pontokat az
x+y=4 egyenletű egyenesre!
Feladat: 3.24. {g_ii_csusztukszamolas_100713ha14}
A koordinátasíkon dolgozunk, olyan csúsztatva tükrözést (lásd a
4.19. feladatot) alkalmazunk a megadott pontokra, amelynek tengelye az
AB egyenes, vekrora pedig az
AB
→
vektor.
Legyen először
A(0;0),
B(0;4). Mi lesz a
a)
(9;-3);
b)
(2;2);
c)
(p;q)
pont képe?
d)-f) És
A(1;0),
B(1;4) esetén mi lesz a a fenti pontok képe?
g)-i) Most
A(0;0),
B(3;3).
Mi lesz az a)-c) pontok képe?
j)-l) Végül
A(1;0),
B(3;-2).
Határozzuk meg a amegadott pontok képét!
Feladat: 3.25. {g_ii_tgszamolas_100713ha15}
A koordinátasíkon dolgozunk, pontokat forgatunk el
90∘
-kal. Az első középpont az origó.
Mi lesz a
a)
(9;-3);
b)
(2;2);
c)
(p;q)
pont képe?
d)-f) Forgassunk
(3,0) körül! Mi lesz a fenti pontok képe?
g-l) Oldjuk meg az előző feladatokat a megadott pont körüli
-
90∘
-os forgatás esetén is!
Feladat: 3.26. {g_ii_kpszamolas_100713ha30}
A koordinátasíkon dolgozunk. Milyen geometriai transzformációt ad meg az alábbi képlet?
a)
(x;y)→(2-x;5-y);
b)
x→(2+x;5+y)
c)
(x,y)→(2-x,5+y)
d)
(x,y)→(2-y,5+x)
e)
(x,y)→(2+y,5-x)
f)
(x,y)→(2x,y)
g)
(x,y)→(-2x,-2y)
Feladat: 3.27. {g_ii_tgszamolas_100713ha14}
Adjuk meg azokat az egybevágósági transzformációkat (eltolást, középpontos tükrözést, tengelyes tükrözést, forgatást, csúsztatva tükrözést), amely az alább megadott
A pontot
A'-be és egyúttal
B-t a
B'-be képezi.
a)
A(2;1),B(3;1),A'(2;4),B'(3;4)
b)
A(2;1),B(3;1),A'(3;4),B'(4;4)
c)
A(2;1),B(3;1),A'(-1;4),B'(-1;5)
d)
A(2;1),B(3;1),A'(0;5),B'(0;6)
Feladat: 3.28. {g_ii_tgszamolas_100826ha01}
Az
N1
négyzet csúcsai a koordinátarendszer alábbi pontjai:
A(0;0),
B(1;0),
C(1;1),
D(0;1).
a) Hányféleképpen betűzhetők meg az
(1;3),
(2;3),
(2;4),
(1;4)
csúcsok az
A',
B',
C',
D' betűkkel úgy, hogy az így kapott
A'B'C'D' négyszög egybevágó legyen az
ABCD négyzettel?
b) Adjuk meg mindegyik esetben azt az egybevágósági transzformációt is (tengelyével, középpontjával, szögével, vektorával stb), amely az
ABCD négyzetet az
A'B'C'D' négyzetbe képezi!
Szerkesztések
Feladat: 3.29. {g_ii_epe_090708_HA_01}
Adott az
a kör, az
F pont és a
b egyenes. Szerkesztendő az
AB szakasz úgy, hogy
A illeszkedjék
a-ra,
B a
b-re és
F az
AB felezőpontja legyen.
Diszkutáljuk a megoldások számát!
Feladat: 3.30. {g_ii_epe_090708_HA_02}
Adott a
b és a
c egyenes valamint az
A pont. Szerkesszünk olyan
ABC szabályos háromszöget, amelynek
B csúcsa a
b egyenesre,
C csúcsa
c-re illeszkedik!
Diszkutáljuk a megoldások számát!
Feladat: 3.31. {g_ii_epe_090708_HA_03}
Szerkesztendő az
ABCD trapéz, melynek
AB és
CD alapja rendre
7 cm és
4 cm,
BC és
DA szára pedig rendre
3 és
2 cm.
Hány ilyen trapéz van?
Feladat: 3.32. {g_ii_epe_090708_HA_04}
Adott az
a és a
b egyenes valamint az
F pont.
Szerkesztendő az
AB szakasz úgy, hogy az
A pont illeszkedjék az
a egyenesre,
B pedig a
b-re és az
F pont felezze az
AB szakaszt.
Feladat: 3.33. {g_ii_epe_100718ha_metszokor01_geoI529}[
50]
Adott két metsző kör. Szerkesszünk paralelogrammát, amelynek két csúcsa a két kör két közös pontja, harmadik csúcsa az egyik, negyedik csúcsa a másik körön van.
Középpontos tükrözés
Feladat: 3.34. {g_ii_traf_kptuk_100713ha_geoI_398_01}[
50]
Mutassuk meg, hogy középpontos tükrözésnél
a) bármely szakasz és képe párhuzamosak vagy egy egyenesbe esnek;
b) egy egyenes pontosan akkor fix, ha átmegy a középponton.
Feladat: 3.35. {g_ii_traf_kptuk_fixir_100713ha_02}
Középpontos tükrözésnél milyen helyzetű az eredetihez képest egy
a) irányított egyenes
b) vektor
képe? Van-e a középpontos tükrözésnek fix
c) irányított egyenese
d) vektora?
Feladat: 3.36. {g_ii_traf_kptuk_100713ha_02}
a) Van-e olyan háromszög, amely középpontosan szimmetrikus?
b) Melyek a középpontosan szimmetrikus négyszögek?
c) És az ötszögek közül melyekeknek van középpontos szimmetriája?
Feladat: 3.37. {g_ii_traf_kptuk_paraegy_100713ha_82}
Adott egy paralelogramma.
a) Melyek azok az egyenesek, amelyek a paralelogrammát két egybevágó négyszögre vágják?
b) Milyen egybevágósági transzformáció viszi az egyik részt a másikba?
Feladat: 3.38. {g_ii_traf_kptuk_csakkorzo_100713ha_50}
Adott a síkon két pont. Tükrözzük az egyiket középpontosan a másikra csak körzővel, tehát vonalzó alkalmazása nélkül!
Feladat: 3.39. {g_ii_traf_kptuk_100713ha_geoI_394_10}[
50]
Tükrözzük a szabályos háromszöget a középpontjára.
Mi lesz az eredeti és a tükrözött háromszög közös része?
Feladat: 3.40. {g_ii_traf_kptuk_100713ha_geoI_402_50}
Adott két párhuzamos egyenes.
Mi azon pontok mértani helye, amelyekre való tükrözés egymásba viszi a két egyenest?
Feladat: 3.41. {g_ii_traf_kptuk_egytav_100713ha_402_70}
Adott két pont.
a) Adjuk meg az összes olyan egyenest, amelytől a két pont egyenlő távolságra van!
b) Melyek azok az (irányított) egyenesek, amelyektől a két pont előjeles távolsága egyenlő?
c) Melyek azok az (irányított) egyenesek, amelyektől a két pont előjeles távolsága egymás ellentettje?
Feladat: 3.42. {g_ii_traf_kptuk_egytav_100713ha_406_71}
Szerkesszünk egyenest, amely egy háromszög három csúcsától egyenlő távolságban halad.
Feladat: 3.43. {g_ii_traf_kptuk_szerk_100713ha_44}
Adott két kör. Egyik metszéspontjukon át szerkesszünk olyan egyenest, amelyből a két kör egyenlő hosszú húrt metsz le!
Feladat: 3.44. {g_ii_traf_kptukestrap_geoI_439min_100713ha}
Milyen alakzatot alkot
a) egy háromszög az oldalfelezőpontjára tükrözött képével együtt?
b) egy trapéz egyik szárának felezőpontjával együtt?
Feladat: 3.45. {g_ii_traf_kptukestrap_geoI_439_100713ha}[
50]
Szerkesszünk trapézt, ha ismerjük két átlóját, az átlók szögét és az egyik alapot.
Tengelyes tükrözés
Korábban volt:
G.I.5.1.-G.I.5.4., G.I.5.20.-G.I.5.23., G.I.5.31., G.I.5.32.
Javasolt feladatok a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetből[
50]: 346-348., 355., 356., 358., 359., 360., 362., 363., 364., 368., 372., 373., 374., 377., 380., 383., 384.*
Feladat: 3.46. {g_ii_tuk_izogkonj_100624sl_01}
Tekintsük az
ABC háromszöget és a
P pontot. Tegyük fel, hogy a
P pontnak a háromszög
AB,
BC illetve
CA oldalegyeneseire vonatkozó
PC
,
PA
,
PB
tükörképei valódi háromszöget alkotnak és jelölje e háromszög körülírt körének középpontját
Q.
a) Mutassuk meg, hogy a
PA és
QA, a
PB és
QB, illetve a
PC és
QC egyenespárok szögfelezői megegyeznek az
ABC háromszög (külső és belső) szögfelezőivel (lásd az
1. ábrát)!
b) Mutassuk meg, hogy a
Q pontnak az
ABC háromszög oldalegyeneseire vonatkozó
QC
,
QA
,
QB
tükörképei alkotta
QA
QB
QC
háromszög körülírt körének középpontja
P!
Eltolás
A témában korábban volt: G.I.5.26., G.I.5.27., 1.13., 3.18. b).
Javasoljuk még a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet[
50] 501., 503., 505. 507. feladatait.
Feladat: 3.47. {g_ii_traf_elt_100710ha_01praszolovI6fej02fel}[
34]
Két
R sugarú kör a
T pontban érinti egymást. Az egyikre illetve a másikra illeszkedő
A,
B pontokra
ATB∠=
90∘
. Milyen hosszú az
AB szakasz?
Feladat: 3.48. {g_ii_traf_elt_100711ha_01praszolovI6fej04fel}[
34]
Adott az
ABCD téglalap és a belsejében az
M pont. Mutassuk meg, hogy van olyan konvex négyszög, amelynek oldalai az
MA,
MB,
MC,
MD szakaszokkal egyenlők, átlói merőlegesek és hosszuk a téglalap
AB,
CD oldalaival egyenlő.
Feladat: 3.49. {g_ii_traf_elt_100711ha_03}
Szerkesztendő
ABCD négyszög, melynek oldalai
AB=6 cm,
BC=10 cm,
CD=9 cm,
DA=4 cm hosszúságúak és a szemköztes
AD,
BC egyenesek szöge
45∘
.
Feladat: 3.50. {g_ii_traf_elt_100711ha_ketkor01}[
6]
Adott két kör és egy egyenes. Szerkesztendő az adott egyenessel párhuzamos egyenes, amelyből a körök által kimetszett húrok
a) egyenlő hosszúak;
b) hosszának összege egy előre adott szakasszal egyenlő.
Feladat: 3.51. {g_ii_traf_elt_100711ha_lsuranyijav}
Adott az
ea
egyenes, a rá nem illeszkedő
B1
és
C1
pont valamint az
a szakasz. Szerkesztendő az
ABC egyenlő szárú háromszög, melynek
AC,
AB száraira illeszkedik a két adott pont, míg
a hosszúságú
BC alapja az
ea
egyenesre illeszkedik.
Feladat: 3.52. {g_ii_traf_elt_100710ha_02vigassy12old}[
6]
Adott az
ABCD négyszög négy oldalának hossza, továbbá az
AB oldal
FAB
felezési pontját a
CD oldal
FCD
felezési pontjával összekötő szakasz. Szerkesszük meg a négyszöget!
Feladat: 3.53. {g_ii_traf_elt_100710ha_02vigassy12old_vari}
Mutassuk meg, hogy ha egy négyszög oldalai
a,
b,
c,
d, a szemköztes
a,
c oldalak felezőpontját összekötő szakasz
eac
, a másik két oldal felezőpontját összekötő szakasz
ebd
akkor
a)
eab
≤c+d;
b) ha
eab
=
c+d
2
, akkor a négyszög trapéz;
c) ha
eab
+
ecd
=
a+b+c+d
2
, akkor a négyszög paralelogramma.
Legrövidebb utak
Feladat: 3.54. {g_ii_minut_090708_HA_00}
Adott a
d egyenes valamint
d egyik oldalán a
P és a
Q
pont. A
d egyenesen értelmezett
f függvény a
D∈d ponthoz a
PD,
DQ szakaszok hosszának összegét rendeli.
Legyen pl.
d az
x-tengely és
P(0;1),
Q(4;3).
a) Ábrázoljuk az
f függvény grafikonját!
b) Sejtsük meg mely
D pontban veszi fel
f a minimumát!
c) Hol lesz a minimum abban az esetben, amikor
P(0;-1),
Q(4;3) és
d továbbra is az
x-tengely?
Feladat: 3.55. {g_ii_minut_060120_HA_01}
Adott a
d egyenes valamint
d egyik oldalán a
P és a
Q
pont. Határozzuk meg a
d egyenesen azt a
D pontot, amelyre a
PD,
DQ szakaszok hosszának összege a lehető legkisebb!
Feladat: 3.56. {g_ii_minut_060120_HA_02}
Egy szögtartomány belsejében adott a
P pont. Határozzuk meg az
a,
b szögszárak azon
A,
B pontjait, amelyre a
PA,
AB szakaszok hosszának összege a lehető legkisebb!
Feladat: 3.57. {g_ii_minut_060120_HA_03}
Adott egy szög, csúcsa
O, szárai az
a,
b félegyenesek,
adott továbbá a szög szárai között a
P pont. Határozzuk meg az
a,
b félegyenesek azon
A,
B pontjait, amelyre a
PA,
AB,
BP szakaszok hosszának összege a lehető
legkisebb!
Feladat: 3.58. {g_ii_minut_060120_HA_04}
Adott az
ABC háromszög. Határozzuk meg a háromszög
BC,
CA,
AB oldalaira illeszkedő
PA
,
PB
,
PC
pontokat úgy, hogy a
PA
PB
PC
háromszög kerülete a lehető legkisebb legyen!
Feladat: 3.59. {g_ii_minut_060120_HA_05}
Adottak az egymással párhuzamos
e,
f egyenesek és az
P,
Q
pontok úgy, hogy a
PQ szakasz mindkét adott egyenest metszi.
Keressük meg az
e,
f egyeneseken az
E és
F pontot úgy,
hogy
EF merőleges legyen
e-re és
f-re és emellett a
PEFQ
töröttvonal a lehető legrövidebb legyen!
Feladat: 3.60. {g_ii_minut_060120_HA_06}
Az adott
ABC belsejében határozzuk meg azt a
P pontot, amelyre
a
PA,
PB,
PC szakaszok hosszának összege a lehető legkisebb.
Forgatás
A témában korábban szereplő feladatok:
G.I.5.7.,
G.I.5.8.,
G.I.5.10.,
G.I.5.13.,
G.I.5.14.,
G.I.5.19.,
G.I.5.33.,
G.I.5.34.,
G.I.5.35.,
G.I.5.40.-
G.I.5.44.,
G.I.18.21.,
3.14.;
3.16.,
3.28,
3.30.
Feladat: 3.61. {g_ii_tuk_forg_kutatas_100908ha_01}
Dolgozzunk dinamikus geometriai szerkesztőprogrammal. Vegyünk fel két egyenlő oldalhosszú szabályos hatszöget. Csúcsaik
a) azonos
b) ellenkező
körüljárásban legyenek
A1
,
A2
,
A3
,
A4
,
A5
,
A6
illetve
B1
,
B2
,
B3
,
B4
,
B5
,
B6
és szerkesszük meg az
A1
B1
,
A2
B2
,
A3
B3
,
A4
B4
,
A5
B5
,
A6
B6
szakaszok
I. felezőpontját
II. felezőmerőlegesét
Vizsgáljuk az így adódó egyenesek illetve pontok rendszerét! Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg sejtést!
Feladat: 3.62. {g_ii_tuk_forg_100904ha_01}
Mekkora szöget zár be egy
a) egyenes
b) irányított egyenes
valamely
O pont körül
γ szöggel elforgatott képével?
Feladat: 3.63. {g_ii_tuk_forg_geoI450}[
50]
Mutassuk meg, hogy ha két alakzat egymásba forgatható, akkor bármely két megfelelő pont meghatározta szakasz felezőmerőlegese átmegy a középponton!
Feladat: 3.64. {g_ii_tuk_forg_100825ha_01}
Vegyünk fel a síkon két egységnyi oldalú szabályos háromszöget úgy, hogy az
egyik háromszög oldalai ne legyenek párhuzamosak a másik háromszög oldalaival.
a) Hány olyan forgatás van, amely az egyik háromszöget a másikba viszi?
b) Szerkesszük meg ezen forgatások centrumát!
Feladat: 3.65. {g_ii_tuk_forg_100623ha_01}
Adott szögű elforgatás egyértelműsége
Ha adott az egymástól különböző
A és
B pont, valamint egy
γ∈(
0∘
,
360∘
) szög akkor pontosan egy olyan
Oγ
pont van, amely körüli
γ szögű elforgatás
A-t
B-be képezi.
Megjegyzés
A
γ=
0∘
kimaradó értékhez tartozó transzformáció az
AB
→
vektorral való eltolás.
Feladat: 3.66. {g_ii_tuk_forg_geoI455}[
115]
Összehajtható téglalap alakú alakú asztalt akarunk készíteni oly módon, hogy az asztallap összehajtva az
ABCD, derékszöggel elforgatva az
A'B'C'D' és szétnyitva a
B1
B'C'
C1
helyzetet foglalja el (lásd az
1. ábrát).
Hová kell elhelyeznünk a forgástengelyül szolgáló csapszeget?
1. ábra{fig:g_ii_tuk_forg_geoI455_fel01}
További feladatok a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetből[50]:
462-467., 469., 473., 476.*, 479-481., 486.
Vegyes feladatok
Feladat: 3.67. {g_ii_traf_kptukestrap_geoI_436_100713ha}[
50]
Szerkesszünk háromszöget, ha adott
a) egy oldalhoz tartozó súlyvonal, az oldallal szemközti szög és egy másik oldal;
b) egy oldal, a hozzá tartozó magasság és egy másik oldalhoz tartozó súlyvonal;
c) egy oldal, a másikhoz tartozó súlyvonal és a harmadikhoz tartozó magasság;
d) három súlyvonal.
Feladat: 3.68. {g_ii_traf_kptukestrap_geoI_437_100713ha}[
50]
Szerkesszünk trapézt, ha adott a két párhuzamos oldal összege, továbbá
a) a szárak hossza és a trapéz magassága;
b) az alapon fekvő két szög és a trapéz magassága;
c) az átlók hossza és egyik szára.
Feladat: 3.69. {g_ii_traf_kpesmas_negyzet_100713ha_76}
Adott két metsző egyenes és egy pont. Szerkesztendő négyzet, amelynek
a) középpontja;
b) egyik csúcsa
az adott pont még egy-egy (további) csúcsa az adott egyeneseken helyezkedik el.
Feladat: 3.70. {m1169kv198911_100718ha}[
81]
Az
M pont a
t területű
ABCD téglalap
belsejében helyezkedik el. Mutassuk meg, hogy
Feladat: 3.71. {m1121kv198902_100718ha}[
81]
Adott az
ABC háromszög. Az
AC
egyenesnek az
AB,
BC egyenesekre vonatkozó tengelyes
tükörképei egymást a
K pontban metszik. Mutassuk meg, hogy a
BK egyenes átmegy az
ABC háromszög körülírt körének
középpontján.