17. FEJEZET: Vegyes feladatok{mchap:g_ii_vegyes}
Feladat: 17.1. {g_ii_vegyes_060120_HA_01}
A Nagy Szerkesztő egy adott pontból merőlegest szeretne állítani
egy adott egyenesre egy hozzá közeli adott pontból, de kedvenc
macskája, Kormos, épp a körző dobozán alszik. Hogyan tudja
megszerkeszteni a Nagy Szerkesztő a merőlegest egyetlen egyélű
vonalzóval és a zsebében talált húszforintossal?
Feladat: 17.2. {g_ii_vegyes_060120_HA_02}
Fejezzük ki a háromszög
α,
β,
γ szögeivel a
háromszög
AB oldalának a Feuerbach körrel bezárt szögét!
Feladat: 17.3. {g_ii_vegyes_060120_HA_03}
a) Mutassuk meg, hogy a paralelogramma átlói hosszának
négyzetösszege megegyezik a négy oldal hosszának
négyzetösszegével!
b) Írjunk fel analóg összefüggést a paralelepipedon
oldaléleinek és testátlóinak hossza között!
Feladat: 17.4. {g_ii_vegyes_060201_HA_Komal_06}
Adott a
k kör és rajta két pont. Képezzük az ebbe a körbe írt
olyan húrtrapézokat, melyeknek két csúcsa a két adott pont.
Határozzuk meg e trapézok átlói metszéspontjának mértani
helyét!
Feladat: 17.5. {m1126kv198903_100718ha}[
81]
Mutassuk meg, hogy ha az
ABCD trapéz
AB,
CD szárain elhelyezkedő
K,
M pontokra
BAM∠=CDK∠, akkor
BMA∠=CKD∠!
Feladat: 17.6. {m1126kv198902_100718hab}[
81]
Egy trapéz szárai, átlói és alapjainak
meghosszabbításai egy
l egyenest hat pontban metszenek, így öt
szakaszt vágnak ki belőle.
a) Mutassuk meg, hogy ha a szélső szakaszok (az 1. és az
5.) egyenlők egymással, akkor azok szomszédai (a 2. és a 4.) is
egyenlők egymással!
b) Hogyan aránylanak egymáshoz a trapéz alapjai, ha van
olyan
l egyenes, amelyen mind az öt szakasz egyenlő hosszú?
Feladat: 17.7. {g_ii_vegyes_060201_HA_07}
Jelölje
mc
,
sc
,
fc
rendre a háromszög
C csúcsából
kiinduló magasságvonal, súlyvonal és szögfelező hosszát. Mutassuk
meg, hogy
a)
mc
≤min(a,b)
b)
sc
≤
a+b
2
c)
fc
≤
2ab
a+b
!
Feladat: 17.8. {g_ii_vegyes_100809SL01}
Van-e olyan háromszög, amelyben
a,
fc
és
b - ilyen sorrendben - mértani sorozatot alkot? (
fc
a
C csúcsból induló belső szögfelező hosszát jelöli.)
Feladat: 17.9. {g_ii_vegyes_060201_HA_08}
Mutassuk meg, hogy az
A,B pontpár Apollóniusz körei merőlegesek
az
AB szakasz látóköreire!
Feladat: 17.10. {g_ii_vegyes_ha_060307}
Adott a síkon az
A és a
B pont határozzuk meg azon pontok
mértani helyét a síkon, amelyeknek a két adott ponttól mért
távolságai négyzetének
a) különbsége
b) összege
előre adott állandó.
Feladat: 17.11. {g_ii_vegyes_komal_kurschak_1938_3}
,,Ceva-szakasz"-nak nevezzük a háromszög csúcsát a szemköztes
oldal tetszőleges pontjával összekötő vonaldarabot. Mutassuk meg,
hogy bármely hegyesszögű háromszöghöz van olyan pont a térben,
ahonnan a háromszög minden Ceva-szakasza derékszögben látszik.
Feladat: 17.12. {g_ii_vegyes_komal_kurschak_1927_3}
Tekintsük az
ABC háromszög oldalegyeneseit érintő körök közül
azt a kettőt, amelyik az
AB egyenest
A és
B között érinti.
Bizonyítsuk be, hogy e két kör sugarának mértani közepe nem lehet
nagyobb
AB felénél!
Feladat: 17.13. {g_ii_vegyes_komal_kurschak_1961_3}
Tekintsünk két egymáson kívül elhelyezkedő kört, egyik közös belső
és egyik közös külső érintőjüket. Érintési pontjaik mindkétkörben
egy-egy húrt határoznak meg. Bizonyítsuk be, hogy-e húrok
egyenesei a középpontokat összekötő egyenesen metszik
egymást!
Feladat: 17.14. {g_ii_vegyes_komal_kurschak_1989_1}
Adottak az egymást metsző
e és
f egyenesek, továbbá a
k kör,
amelynek nincsen közös pontja az adott egyenesekkel. Szerkesszük
meg azt az
f-fel párhuzamos egyenest, amelyen a körből kimetszett
húr aránya az
e egyenestől a körig tartó szakasszal a
legnagyobb!
Feladat: 17.15. {g_ii_vegyes_komal_oktv_1966_2ford_2fel}
Bizonyítsuk be, hogy ha egy húrnégyszög átlóinak
M metszéspontja
felezi valamely egyenesnek a húrnégyszögön belüli szakaszát, akkor
felezi ugyanezen egyenesnek a négyszög körülírt körébe eső húrját
is.
Feladat: 17.16. {g_ii_vegyes_komal587fel_1899_3}
Legyen az
ABC háromszög köré írható kör középpontja
O, sugara
r. Mutassuk meg, hogy
1
AA'
+
1
BB'
+
1
CC'
=
1
r
,
|
ha
AO,
BO és
CO meghosszabbításai a
B,
O és
C, a
C,
O és
A, illetve az
A,
O és
B pontokon átmenő köröket az
A',
B',
C' pontokban metszik.
Feladat: 17.17. {g_ii_vegyes_komal541fel_1899_1}
Adva van három kör:
kA
,
kB
és
kC
. Keressünk olyan kört,
amely
kA
-t annak két átellenes pontjában,
kB
-t annak két
átellenes pontjában és
kC
-t is annak két átellenes pontjában
metszi.
Feladat: 17.18. {g_ii_vegyes_euk_ha_060307_01}
Vizsgáljuk az
ABCD húrnégyszöget, benne az
ABC,
BCD,
CDA,
DAB háromszögeket és azok beírt körei középpontjait! Tegyünk
megfigyelést, fogalmazzunk meg állítást!
Feladat: 17.19. {g_ii_vegyes_euk_ha_060307_02}
Rögzítsük az
A pontot és az egymást
A-ban merőlegesen metsző
b,
c egyeneseket! Vizsgáljuk mindazon
c egyeneseket, amelyek
b-vel és
c-vel előre rögzített területű háromszöget fognak
közre!
Feladat: 17.20. {g_ii_vegyes_temazaro_ha_060329_01}
Határozzuk meg az
y=
x2
+2x-3 egyenletű parabola
a) szimmetriatengelyének
b)
vezéregyenesének
c)
(1;0) pontbeli érintőjének
egyenletét
d) valamint fókuszpontjának koordinátáit!
Feladat: 17.21. {g_ii_vegyes_temazaro_ha_060329_02}
Az
ABC háromszög oldalainak hossza:
AB=28,
BC=30,
CA=26 egység. Határozzuk meg a
C csúcsból kiinduló
a) magasságvonal
b) súlyvonal
c) belső szögfelező
hosszát!
Feladat: 17.22. {g_ii_vegyes_temazaro_ha_060329_04}
Legyen
M és
N az
AB szakasz Thálesz körének két,
A-tól és
B-től különböző pontja. Jelölje
C az
NA,
D pedig az
NB
szakasz felezőpontját! A kört az
MC egyenes másodszor az
E,
MD pedig az
F pontban metszi. Mekkora az
kifejezés értéke, ha
AB=2 egység?
Feladat: 17.23. {g_ii_vegyes_temazaro_ha_060329_05}
Bizonyítsuk be, hogy egyenlő szárú háromszög beírt körének sugara
(
ρ), körülírt körének sugara (
r) és a két középpont
távolsága
d között fennáll a
összefüggés!
Feladat: 17.24. {g_ii_vegyes_temazaro_ha_060329_06}
Három, páronként egymáson kívül elhelyezkedő körhöz szerkesszünk
olyan pontot, amelyből mindhárom kör ugyanakkora szögben látszik.
Feladat: 17.25. {g_ii_apollonius_kphasfelism_szerk_091030ha_50}
Apollóniuszi körszerkesztési feladat
Adottak az
e,
f egyenesek, valamint a
G pont. Szerkesztendő kör, amely érinti
e-t és
f-et és átmegy
P-n,
ha
e és
f metszik egymást és
G nem illeszkedik egyikükre sem.
Feladat: 17.26. {g_ii_apollonius_kphasfelism_szerk_091030ha_60}
Apollóniuszi körszerkesztési feladat
Adottak az
e,
f egyenesek, valamint a
g kör. Szerkesztendő kör, amely érinti
e-t,
f-et és
g-t is.
Feladat: 17.27. {vegyes_100712SL02}
* Jelölje az
ABC háromszög
A csúcsánál levő szög külső szögfelezőjének a köréírt körrel való második metszéspontját
G - ha a külső szögfelező érinti a kört, akkor
G=A -, és jelölje
FBC
a
BC oldal felezőpontját. Igazoljuk, hogy a
GFBC
egyenlő a két hozzáírt kör sugarának átlagával.
Feladat: 17.28. {vegyes_100712SL03}
* Jelölje az
ABC háromszög
A-ból induló belső szögfelezőjének a köréírt körrel való második metszéspontját
H.
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög
a oldalához írt körének sugarából levonva a beírt kör sugarát éppen
2
HFBC
-t kapunk. (
FBC
a
BC oldal felezőpontja.)
Feladat: 17.29. {vegyes_100712SL04}
* Igazoljuk, hogy a háromszög három oldalához írt kör sugarának összege
4R+r, ahol
R a köréírt kör sugara,
r a beírt köré. Vagyis a szokásos jelöléssel:
rA
+
rB
+
rC
=4R+r.
Feladat: 17.30. {vegyes_100712SL01}
Jelölje
K a háromszög köréírt körének középpontját. Bizonyítsuk be, hogy
K-nak a három oldaltól vett - előjeles - távolsága egyenlő a köréírt kör és a beírt kör sugarának összegével.
Feladat: 17.31. {vegyes_100712SL06}
Igazoljuk, hogy a háromszög aszerint hegyes-, derék- vagy tompaszögű, hogy oldalainak négyzetösszege nagyobb, mint
8
R2
, egyenlő vele, vagy kisebb nála. Itt
R a köréírt kör sugarát jelöli.
Megjegyzés. A derék- és tompaszögű esethez vö. a
9.24. feladatot.
Feladat: 17.32. {vegyes_100722SL01}
Az
ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja
M. Vetítsük merőlegesen
M-et a négyszög négy oldalára. Igazoljuk, hogy ha
ABCD húrnégyszög, akkor e négy pont érintőnégyszöget alkot.
Feladat: 17.33. {vegyes_100722SL02}
Adott a
PQRS konvex négyszög. Tekintsük azt az
ABCD négyszöget, amelynek csúcsai a
PQRS négyszög szomszédos csúcsain átmenő külső szögfelezők metszéspontjai. Igazoljuk, hogy ha
PQRS érintőnégyszög, akkor
ABCD húrnégyszög.
Feladat: 17.34. {vegyes_100722SL03}
Az
ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja
M. Vetítsük merőlegesen
M-et a négyszög négy oldalára. Igazoljuk, hogy e négy pont pontosan akkor alkot érintőnégyszöget, ha
ABCD húrnégyszög.
Feladat: 17.35. {vegyes_100722SL04}
Adott a
PQRS konvex négyszög. Tekintsük azt négyszöget, amelynek csúcsai az
ABCD négyszög szomszédos csúcsain átmenő külső szögfelezők metszéspontja. Igazoljuk, hogy ha
ABCD pontosan akkor húrnégyszög, ha
PQRS érintőnégyszög.
Feladat: 17.36. {vegyes_100722SL05}
* Az
ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja
M. Adott az
M pont merőleges vetülete a négyszög négy oldalán. Szerkesztendő az
ABCD négyszög. (Természetesen maga
M nincs megadva).
Feladat: 17.37. {vegyes_100729SL01}
Az
ABCD konvex deltoidnak az
AC átló a szimmetriatengelye. Az
ABC∠ szög felezője az
F pontban metszi az
AC átlót.
F merőleges vetülete a
BC oldalon
P, az
AD oldalon
R (lásd az
1. ábrát). Mely deltoidokra igaz, hogy a
PR szakasz átmegy az átlók
M metszéspontján?
1. ábra{fig:vegyes_100729SL01_fela}
Feladat: 17.38. {vegyes_100731SL02}
Az
ABCD trapézba kör írható. Igazoljuk, hogy az átlók metszéspontja rajta van azon a szakaszon, amely a beírt kör és az alapok érintési pontjait köti össze.
Feladat: 17.39. {vegyes_100731SL01}
* Adott egy konvex érintőnégyszög. Tekintjük azt a konvex négyszöget, amelyet a beírt körének az oldalakkal vett négy érintési pontja alkot. Bizonyítsuk be, hogy e két négyszög átlóinak metszéspontja egybeesik.
Feladat: 17.40. {izogkonj_100724SL04}
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög három oldalához írt kör középpontját a megfelelő oldal felezőpontjával összekötő három egyenes egy ponton megy át.
Feladat: 17.41. {izogkonj_100724SL06}
Az
ABC háromszögben
A-nál derékszög van. Az
A-ból induló magasság felezőpontjának a
B-ből induló szögfelezőre való metszéspontját összekötjük
B-vel. Igazoljuk, hogy a kapott
e egyenes felezi az
AC szakaszt!
Feladat: 17.43. {vegyes_100726SL01}
Adott
ABC háromszög
AB oldalán szerkesztendő olyan
P és
AC oldalán olyan
Q pont, amelyre
BP=PQ=QC.
Feladat: 17.44. {vegyes_100726SL02}
* Adott egy
ABC háromszög. Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan
P pont van a háromszögben, amelyre igaz, hogy ha
P-n keresztül párhuzamost húzunk mindhárom oldallal, akkor ezeknek a (többi) oldallal vett, összesen hat metszépontja húrhatszöget határoz meg.
Feladat: 17.45. {vegyes_100726SL03}
Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük a beírt körének sugarát, az egyik csúcsából induló magasság hosszát és a másik két szög különbségét.
Feladat: 17.46. {vegyes_100726SL04}
A
k körön rögzítünk két pontot, ezek
X és
Y. Az
l és
l' kör érinti a
k kört az
X, illetve az
Y pontban. Az
l és az
l' kör egymást is érinti az
E pontban. Mi az
E pont mértani helye, ha
l és
l' kör minden lehetséges helyzetet felvesz?
Feladat: 17.47. {vegyes_100726SL05}
Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük két súlyvonalának hosszát és a harmadik csúcsból induló magasságvonal hosszát.
Feladat: 17.48. {vegyes_100726SL06}
Jelölje az
ABC háromszög
A,
B,
C csúcsából induló magasságvonalak talppontját rendre
A',
B',
C'. Igazoljuk, hogy
AB'·BC'·CA'=AC'·BA'·CB'=A'B'·B'C'·C'A'.
Feladat: 17.49. {vegyes_100726SL07}
Szerkesztendő a háromszög, ha adott egyik csúcsból induló belső szögfelezője, a másik két csúcsban fekvő szög különbsége és e két csúccsal szemközti oldalak aránya. (Tehát a szokásos jelölésekkel: adott
fα
,
β-γ és
b:c.
Feladat: 17.50. {vegyes_100726SL07a}
Szerkesztendő a háromszög, ha adott egyik csúcsból induló súlyvonala, a másik két csúcsban fekvő szög különbsége és e két csúccsal szemközti oldalak aránya. (Tehát a szokásos jelölésekkel: adott
sa
,
β-γ és
b:c.
Feladat: 17.51. {vegyes_100726SL08}
Egy pontszerű fényforrást kell gömbökkel eltakarnunk. A gömbök nem tartalmazhatják a fényforrást, nem nyúlhatnak egymásba, a fényforrásból a gömbhöz húzott érintők mentén már kijut a fény. Az a cél, hogy a fényforrástól száz méterre már ne jusson ki fény. Legkevesebb hány gömbre van szükségünk ehhez?
Feladat: 17.52. {vegyes_100726SL09}
* Münchhausen báró azt állítja, hogy a kertjében minden nyírfától pontosan 10 méterre legalább 100 nyárfa áll, mégis több nyírfája van, mint nyárfája. Lehetséges-e, hogy a báró ez alkalommal nem lódít? A fákat pontszerűnek tekinthetjük.
Feladat: 17.53. {vegyes_100726SL10}
A kör egy
M pontjából kiinduló
MA,
MB,
MC húrok mint átmérők fölé köröket rajzolunk. Ezek a körök másodszor az
X,
Y,
Z pontokban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy e három pont egy egyenesen van.
Feladat: 17.54. {vegyes_100726SL11}
* Adott egy
k kör és rajta kívül két pont,
A és
B. Szerkesztendő a
K körnek az az
AB-vel párhuzamos
CD húrja, amelyre igaz, hogy az
AC és a
BD egyenes a
k körön metszi egymást.
Feladat: 17.55. {vegyes_100726SL12}
Egy konvex négyszög húrnégyszög és érintőnégyszög is. Bizonyítsuk be, hogy ekkor területének négyzete az oldalak szorzatával egyenlő.
Feladat: 17.56. {vegyes_100726SL13}
Adott
ABC háromszögben szerkesszük meg az
AB oldal
D pontját és az
AC oldal
E pontját úgy, hogy a
DE szakasz párhuzamos legyen a
BC oldallal és fennáljon a
BD+EC=DE egyenlőség.
Feladat: 17.57. {vegyes_100726SL14}
Az egységsugarú gömb felszínén adott
n pont. Bizonyítandó, hogy a gömb felszínén van olyan
P pont, amelynek az
n ponttól vett távolságai összege nagyobb
n-nél.
Feladat: 17.58. {vegyes_100806SL01}
* Adott a síkon két pont,
A és
B. Mi azoknak a
C pontoknak a mértani helye, amelyekre az
ABC háromszög
B csúcshoz tartozó magassága ugyanolyan hosszú, mint az
A csúcshoz tartozó súlyvonala?
Feladat: 17.59. {vegyes_100806SL02}
Adott a síkon egy
O és egy
R pont, továbbá egy
α irányított szög. Szerkesztendő azon
P pontok mértani helye, amelyekre igaz, hogy ha
P-t
α szöggel elforgatjuk
O körül, akkor a kapott
P' pontra
RP=PP'.
Feladat: 17.60. {vegyes_100806SL03}
Egy háromszög beírt köre a háromszög egyik súlyvonalát három olyan szakaszra osztja, amelyekre igaz, hogy a körön kívüli szakaszok egyenlő hosszúak. Bizonyítandó, hogy a háromszögnek van két oldala, amelyek aránya 1:2.
Igaz-e az állítás megfordítása is?
Feladat: 17.61. {vegyes_100810SL01}
* Az
ABC háromszög legrövidebb oldala
BC. A
P pont az
AB oldalnak az a pontja, amelyre
PCA∠=BAC∠ és az
R pont az
AC oldalnak az a pontja, amelyre
RBA∠=BAC∠. Bizonyítsuk be, hogy az
ABC és az
APR háromszögek köré írt körének középpontjait összekötő szakasz merőleges a
BC oldalra.
Feladat: 17.62. {vegyes_100804SL01}
* Adott egy kör és benne az egymást nem metsző
AB és
CD húr. Az utóbbit nem tartalmazó
AB köríven fut a
P pont,
CP és
AB metszéspontja
X,
DP és
AB metszéspontja
Y. Szerkesszük meg
P-nek azt a helyzetét, ahol az
XY szakasz hossza maximális.