4. FEJEZET: Komplex számok a geometriában{mchap:g_iii_komplex}
A komplex számok bevezetésével kapcsolatban lásd az A.III.1. fejezetet!
Komplex számok, mint vektorok
Feladat: 4.1. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg01}
Az
a,b,c,d csúcsokkal megadott húrnégyszöget átlói
két-két háromszögre bontják. Bizonyítsuk be, hogy az így keletkezett
(abc),(bcd),(cda) és
(dab) háromszögek magasságpontjai az
eredetivel egybevágó négyszög csúcsai.
Feladat: 4.2. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg13}
Bizonyítsuk be, hogy a Feuerbach-kör valamely
oldalfelező pontot tartalmazó átmérője párhuzamos és egyenlő a
körülírt körnek azzal a sugarával, amely a szemköztes csúcshoz
tartozik.
Feladat: 4.3. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg27}
A húrnégyszög csúcsaiból négy háromszög alkotható.
Szerkesszük meg e négy háromszög Feuerbach-köreit. Igazoljuk, hogy
a) a körök középpontjai ismét egy körön vannak; (Ezt hívják a
húrnégyszög Feuerbach-körének.)
b) a szóbanforgó háromszögek Feuerbach-körei egy ponton mennek át; (Lásd még a
4.41. feladatot!)
c) a húrnégyszög köré írt kör
O középpontja,
S súlypontja és
Feuerbach-körének
O' középpontja egy egyenesen vannak és az
S
pont felezi az
OO' szakaszt.
Feladat: 4.4. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg28}
A
4.3. feladat eredményét felhasználva bizonyítsuk
be, hogy a körbe írt ötszög csúcsaiból képzett húrnégyszögek
Feuerbach-köreinek középpontjai egy körön vannak. (Ez a húrötszög
Feuerbach-köre.) Általánosan is fogalamzzuk meg az állítást körbe
írható
n-szögekre.
Komplex osztópont és egyenes
Feladat: 4.5. {a_iii_komplexgeo_osztopont_ha_01}
,,Osztópont"
A komplex számsíkon adott
A,
B pontokhoz (komplex számokhoz) képest a
C komplex szám úgy helyezkedik el, hogy az oldalak
aránya is adott (itt
x és
y is komplex számok). Mutassuk meg, hogy
Feladat: 4.6. {a_iii_komplexgeo_osztopont_ha_05}
Adjuk meg az
a0
,
a1
,
a2
,
b0
,
b1
,
b2
változók olyan polinomiális kifejezését, amelynek értéke pontosan akkor
0, ha a komplex változók értékeinek megfelelő pontok alkotta
a0
a1
a2
,
b0
b1
b2
háromszögek (ponthármasok) hasonlóak és azonos körüljárásúak!
Feladat: 4.7. {a_iii_komplexgeo_ha_egyenesmorley01}
Alább az egyenes egyenletét írjuk fel komplex számokkal. Az
ε komplex szám játssza az
irányvektor szerepét.
a) Mutassuk meg, hogy a
z komplex számnak megfelelő pont akkor és csakis akkor illeszkedik a komplex számsík origóját az
ε≠0 komplex számnak megfelelő ponttal összekötő egyenesre, ha
ε
z
‾
-
ε
‾
z=0.
|
b) Igazoljuk, hogy az előző egyenessel párhuzamos, a
z0
komplex számnak megfelelő ponton áthaladó egyenes egyenlete
ε
z
‾
-
ε
‾
z=ε
z0
‾
-
ε
‾
z0
.
|
Feladat: 4.8. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg38}
Adjuk meg az
a,
b,
c változók olyan polinomiális kifejezését, amelynek értéke pontosan akkor zérus, ha a komplex számsíkon az
a,
b,
c komplex számoknak megfelelő pontok egy szabályos háromszög csúcsai!
Feladat: 4.9. {a_iii_komplexgeo_ha_071015_01}
Mutassuk meg, hogy a
z0
z1
z2
háromszög pontosan akkor pozitív körüljárású szabályos háromszög, ha
ahol
ω=cos
2π
3
+isin
2π
3
az első harmadik egységgyök.
Feladat: 4.10. {a_iii_reimankompgeo_31old_ha_61}[
22]
Tekintsük a komplex számsíkon az
0 középpontú
k
kört és jelölje
a és
b e kör egy-egy pontját,
illetve a pontnak megfelelő komplex számot. Írjuk fel a
k kör
a-beli és
b-beli érintőinek
x metszéspontját az
a és
b komplex számok algebrai kifejezéseként.
Feladat: 4.11. {a_iii_komplexgeo_kozepek_ha10}
Adott a komplex számsík
O origója és egy
O középpontú kör
a,
b komplex számoknak megfelelő pontjai. Szerkesszük meg az
a,
b számtani, harmonikus és mértani közepeit, tehát az
A=
a+b
2
, H=
2ab
a+b
,
G1,2
=±ab
|
komplex számoknak megfelelő pontokat!
Forgatás, forgatva nyújtás, mint szorzás
Feladat: 4.12. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg02}[
142]
Az
ABCD paralelogramma
AC és
BD átlójára az
egymáshoz hasonló
ACE és
BDF egyenlő szárú háromszögeket
rajzoltunk. (
E és
F a szárak metszéspontjai.) Mutassuk meg, hogy
EF merőleges a paralelogramma egyik oldalpárjára.
Feladat: 4.13. {a_iii_komplexgeo_ha_26}
Egy négyzet két szomszédos csúcsa a
z0
és a
z1
komplex szám. Fejezzük ki algebrai m?veletekkel a négyzet további
két csúcsának megfelelő komplex számot!
Feladat: 4.14. {a_iii_komplexgeo_ha_27}
Egy szabályos háromszög két csúcsa a
z0
és a
z1
komplex szám. Fejezzük ki algebrai m?veletekkel a szabályos
háromszög harmadik csúcsának megfelelő komplex számot!
Feladat: 4.15. {a_iii_reimankompgeo_63oldfeliii46fel_ha_69}[
22]
Az
ABCD és
AB'C'D' négyzeteknek
A közös csúcsa; a két négyzetre még azt kötjük ki, hogy körüljárási irányuk különböző legyen. Bizonyítsuk be, hogy a négyzetek középpontjai, valamint a
BB' és
DD' szakaszok felezőpontjai egy négyzetnek a csúcsai.
Feladat: 4.16. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg44}
Tetszőleges négyszög oldalaira szerkesszünk
négyzeteket. (Vagy mind kifelé, vagy mind befelé.) Bizonyítsuk be,
hogy a szemköztes négyzetek középpontjait összekötő szakaszok
egyenlők és merőlegesek.
Feladat: 4.17. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg07}[
142]
Bizonyítsuk be, hogy az
ABC háromszög
AC és
BC
oldalaira kifelé rajzolt azonos oldalszámú szabályos sokszögek
középpontjait összekötő szakasz felezőpontja egybeesik az
AC és
BC oldalak felezőpontjait összekötő szakaszra (a
C irányában)
emelt ugyanakkora oldalszámú szabályos sokszög középpontjával.
Feladat: 4.18. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg08}[
143]
A nem egyenlő szárú
ABC háromszög
BC,CA és
AB
oldalaira kifelé szabályos
n-szögeket írunk, ezek középpontjai
A1
,
B1
és
C1
. Mely
n esetén lesz az
A1
B1
C1
háromszög mindig szabályos?
Feladat: 4.19. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg09}[
142]
Az
ABC háromszög oldalaira kifelé megszerkesztjük az
ABD,
BCE és
CAF szabályos háromszögeket. Legyen ezek középpontja rendre
J,
K és
L. Jelölje továbbá
a
DE,
EF,
FD szakaszok felezőpontjait rendre
G,
H és
I, az
AD,
DB,
BE,
EC,
CF,
FA szakaszok felezőpontját pedig rendre
FAD
,
FDB
,
FBE
,
FEC
,
FCF
és
FFA
(lásd az
1. ábrát).
a) Mutassuk meg, hogy
JKL szabályos háromszög!
b) Igaz-e, hogy a
JKL,
ABC háromszögek súlypontja egybeesik?
c) Igazoljuk, hogy
BG=CH=IA.
d) Bizonyítsuk be, hogy
CD merőleges
KL-re!
e) Mutassuk meg, hogy az
FAD
FEC
,
FDB
FCF
,
FBE
FFA
szakaszok páronként
60∘
-os szöget zárnak be egymással! Igaz-e, hogy ezek a szakaszok egyenlő hosszúak is?
1. ábra{fig:a_iii_komplexgeo_2013okt29kg09fel}
f) Igazoljuk, hogy az
AFBE
,
CFDB
,
BL egyenesek egy ponton mennek át!
g) Mutassuk meg, hogy az
FDB
,
FBE
pontok az
AC oldal
FAC
felezőpontjával szabályos háromszöget alkotnak.
Feladat: 4.20. {a_iii_reimankompgeo_63oldfeliii48fel_ha_70}[
22]
Az
OAB és
OA'B' ellentétes körüljárású szabályos háromszögek
O csúcsa közös. Bizonyítsuk be, hogy egyrészt az
AA',
OB,
OB'; másrészt a
BB',
OA,
OA' szakaszok felezőpontjai szabályos háromszögek csúcsai.
Feladat: 4.21. {a_iii_komplexgeo_ha_31}
Az
r sugarú körbe írt
A1
A2
A3
A4
A5
A6
hatszög
A1
A2
,
A3
A4
,
A5
A6
oldalainak hossza
r. Mutassuk meg,
hogy az
A2
A3
,
A4
A5
,
A6
A1
oldalak felezőpontjai egy
szabályos háromszög csúcsai.
Feladat: 4.22. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg42}
Adva van a
C1
C2
szakasz és ennek
A belső
pontja. Állítsuk elő a
C1
C2
egyenes által határolt egyik
félsíkban a
C1
AB1
és
C2
AB2
szabályos háromszögeket.
Legyen a
C1
B2
szakasz felezőpontja
X, a
B1
C2
szakaszé
Y, továbbá a két szabályos háromszög és az
AXY
háromszög körülírt körének középpontja
O1
,
O2
, illetve
O (lásd az
1. ábrát).
Bizonyítsuk be, hogy
a) az
AXY háromszög szabályos,
b) az
O1
,
O2
,O pontok egy egyenesen vannak,
c)
O felezi az
O1
O2
szakaszt.
1. ábra{fig:a_iii_komplexgeo_2013okt29kg42fel}
Feladat: 4.23. {a_iii_komplexgeo_ha_31szabszab}[
22]
a) Az
AB0
B1
,
AC0
C1
,
AD0
D1
háromszögek szabályosak, pozitív körüljárásúak és közös csúcsuk az
A pont. Mutassuk meg, hogy a
B1
C0
,
C1
D0
,
D1
B0
szakaszok
D,
B,
C felezőpontjai is egy pozitív körüljárású szabályos háromszög csúcsai (lásd az
1. ábrát).
1. ábra{fig:a_iii_komplexgeo_ha_31szabszabfela}
b) Mutassuk meg, hogy ha az
AB
B0
B1
,
AC
C0
C1
,
AD
D0
D1
háromszögek szabályosak, pozitív körüljárásúak és az
AB
AC
AD
háromszög is szabályos és pozitív körüljárású, akkor a
B1
C0
,
C1
D0
,
D1
B0
szakaszok
D,
B,
C felezőpontjai is egy pozitív körüljárású szabályos háromszög csúcsai.
c) Mutassuk meg, hogy ha b)-ben az
AB
AC
AD
háromszög nem szabályos és pozitív körüljárású, (de a többi feltétel ugyanúgy teljesül) akkor a
DBC háromszög sem az.
Körök és húrjaik
Feladat: 4.24. {a_iii_reimankompgeo_27old_ha_43}[
22]
Tekintsük a komplex számsíkon az
0 középpontú
k
kört és jelölje
a1
,
a2
,
b1
,
b2
e kör egy-egy pontját,
illetve a pontnak megfelelő komplex számot. Írjuk fel annak algebrai
feltételét, hogy az
a1
a2
,
b1
b2
húrok
a) párhuzamosak,
b) merőlegesek.
Feladat: 4.25. {a_iii_reimankompgeo_29old_ha_60}[
22]
Hosszabbítsuk meg az
ABC háromszög
magasságvonalait a körülírt körig, és az így kapott pontokat
jelölje
A',
B' és
C'. Mutassuk meg, hogy az
ABC háromszög
magasságvonalai felezik az
A'B'C' háromszög szögeit!
Feladat: 4.26. {a_iii_reimankompgeo_29old_ha_62}[
22]
Tekintsük a komplex számsíkon az
0 középpontú
k
kört és jelölje
a,
b és
c kör egy-egy pontját,
illetve a pontnak megfelelő komplex számot. Írjuk fel az
abc háromszög
a) magasságpontját
b) a magasságvonalak talppontjait
c) a magasságpontnak az oldalegyenesekre vonatkozó tükörképeit
d) a csúcsoknak az oldalegyenesekre vonatkozó tükörképeit
az
a,
b,
c komplex számok algebrai kifejezéseként!
Feladat: 4.27. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg33}
Igazoljuk, hogy a háromszög talpponti háromszögének
oldalai merőlegesek a háromszög köré írt kör csúcsokhoz tartozó
sugaraira.
Feladat: 4.28. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg34}[
142]
Az
ABC háromszög
A-ból induló magasságvonalának
felezőpontja
D, hasonlóan a
B-ből induó magasságvonal
felezőpontja
E, továbbá a
C-ből induló magasság talppontja
T.
Igazoljuk, hogy
DTE∠=ACB∠.
Feladat: 4.29. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg14}
Legyen az
O középpontú kör egy húrjának két
végpontja
a és
b. Mutassuk meg, hogy a húr felezőmerőlegesének a
körrel való metszéspontjai a
±ab komplex
számoknak megfelelő pontok.
Feladat: 4.30. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg06}
Mi az algebrai feltétele (lásd pld a
4.24. feladatot), hogy a kör két húrja
α
szöget zárjon be?
Feladat: 4.31. {a_iii_kompgeo_hurmetszet10}[
206]
Tekintsük a komplex számsík origó középpontú
k körén az
a1
,
a2
,
b1
,
b2
pontokat. Fejezzük ki az
a1
,
a2
,
b1
,
b2
komplex számokkal az
a1
a2
,
b1
b2
húregyenesek metszéspontját
a) ha ezek a húrok merőlegesek egymásra;
b) az általános esetben.
Feladat: 4.32. {a_iii_kompgeo_hurmetszet13}
Mutassuk meg, hogy ha
a1
,
a2
,
b1
,
b2
az origó középpontú egységsugarú kör pontjai, akkor az
a1
,
a2
pontokat összekötő szelőegyenes a
b1
,
b2
pontokat összekötő szelőegyenest abban a
z pontban metszi, amelyre
z
‾
=
a1
+
a2
-
b1
-
b2
a1
a2
-
b1
b2
.
|
Feladat: 4.33. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg31}
Mutassuk meg, hogy a háromszög magasságpontjának
oldalakra vonatkozó tükörképei a köré írt körön vannak.
Feladat: 4.34. {a_iii_reimankompgeo_36oldfelii23fel_ha_67}[
22]
Mutassuk meg, hogy ha a háromszög körülírt körének bármely
P pontját
a) merőlegesen vetítjük;
b) tükrözzük
a háromszög oldalaira, akkor a három képpont egy egyenesen van és ez az egyenes a b) esetben átmegy az eredeti háromszög magasságponján!
Az a) esetben a kapott egyenest az
ABC háromszög
P ponthoz tartozó Simson (Wallace) egyenesének nevezzük.
Feladat: 4.35. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg24}
Mutassuk meg, hogy tetszőleges háromszögben
a) az átellenes köri pontokhoz tartozó Simson-egyenesek merőlegesek
egymásra.
b) az egymásra merőleges Simson-egyenesek a Feuerbach-körön metszik egymást.
Feladat: 4.36. {a_iii_reimankompgeo_37oldfelii36fel_ha_69}[
22]
Az
ABC háromszög minden csúcsából szerkesszünk olyan egyenest, amely a szemközti oldalt
α szögben metszi úgy, hogy minden oldalegyenest ugyanolyan irányú
α forgással lehessen a metszőkbe vinnni. A metsző egyenesek a háromszög köré írt kört
A*
,
B*
,
C*
pontokban metszik ismét. Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan is választjuk
α-t, az
A*
B*
C*
háromszögek mindig egybevágók.
Feladat: 4.37. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg37}
Ajunk meg a síkon
n tetszőleges egyenesből álló
E
egyeneshalmazt és egy
O pontot.
O-ból az egyenesekre állított
merőlegesek talppontjai legyenek
A1
,
A2
, ...,
An
.
Forgassuk el az
OA1
,
OA2
, ...,
OAn
egyeneseket
O
körül egy tetszőleges
ϕ szöggel; az elforgatott egyenesek az
adott egyeneseket most az
Ai
pontok helyett rendre
B1
,
B2
,…,
Bn
pontokban metszik. Ezt a ponthalmazt az
E
egyeneshalmaz egyik talpponti alakzatának nevezzük. Mutassuk meg,
hogy az
E egyeneshalmaz
O pontra vonatkozó mindegyik talpponti
alakzata hasonló.
Komplex kettősviszony alkalmazása
Feladat: 4.38. {a_iii_reimankompgeo_36oldfelii30fel_ha_64}[
22]
Igazoljuk a komplex számsíkon felvett
abcd négyszög oldal- és átlóvektoraira, mint komplex számokra vonatkozó alábbi azonosságot!
(a-c)·(b-d)=(a-d)·(b-c)+(d-c)·(b-a).
|
Feladat: 4.39. {a_iii_reimankompgeo_36oldfelii31fel_ha_65}[
22]
Igazoljuk a Ptolemaiosz tételt (lásd a
G.II.12.14. feladatot) a komplex számok segítségével!
Feladat: 4.40. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg19}[
142]
Az
ABC háromszög
AB és
AC oldalára kifelé
rajzolt négyzetek középpontja
K és
L, az
A-ból induló
magasságvonal talppontja
T, a
BC oldal felezőpontja
F.
Mutassuk meg, hogy
KTFL húrnégyszög.
Feladat: 4.41. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg29}
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges négyszög csúcsaiból
képzett háromszögek Feuerbach-körei egy ponton mennek át.
Feladat: 4.42. {a_iii_reimankompgeo_31old3pelda_ha_66}[
22]
(
Newton tétele)
Mutassuk meg, hogy bármely érintőnégyszögben a beírt kör középpontja és a két átló felezőpontja egy egyenesen helyezkedik el.
Diszkrét Fourier transzformáció
Feladat: 4.43. {a_iii_sarkomp_137old13fel_ha_38}[
21]
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! A
z0
,
z1
,
z2
-re kapott kifejezéseket vonjuk össze és egyszer?sítsük!
z0
+
z1
+
z2
=
A0
z0
+ω
z1
+
ω2
z2
=
A1
z0
+
ω2
z1
+ω
z2
=
A2
}
|
Feladat: 4.44. {a_iii_komplexgeo_ha_071015_02}
Vessük össze a
4.43.,
4.9. feladatokat!
a) Írjunk fel a
4.43. feladat megfelelőjét négy ismeretlennel, tehát oldjuk meg a
z0
+
z1
+
z2
+
z3
=
A0
z0
+i
z1
+
i2
z2
+
i3
z3
=
A1
z0
+
i2
z1
+
i4
z2
+
i6
z3
=
A2
z0
+
i3
z1
+
i6
z2
+
i9
z3
=
A3
}
|
egyenletrendszert!
b) Mit mond a
z0
z1
z2
z3
négyszög geometriájáról az
A0
=0 feltétel? Milyen négyszögekre lesz
A1
=0? És
A2
=0;
A3
=0?
Vegyes feladatok
Feladat: 4.45. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg39}
Tetszőleges háromszög oldalai fölé szerkesszünk
hasonló egyenlő szárú háromszögeket. Mutassuk meg, hogy ezek
csúcsait a szemközti háromszögcsúcsokkal összekötő egyenesek egy
ponton mennek át.
Feladat: 4.46. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg46}
Az
(
ab1
c1
),(
ab2
c2
),(
ab3
c3
) egy
közös csúccsal rendelkező, egyező körüljárású hasonló háromszögek.
Tudjuk, hogy a
b1
,
b2
,
b3
pontok egy egyenesen vannak.
Igazoljuk, hogy akkor a
c1
,
c2
,
c3
pontok is
kollineárisak.
Feladat: 4.47. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg47}
Szerkesszünk egy körbe két egybevágó, azonos
körüljárású háromszöget. Mutassuk meg, hogy
a) az egymáshoz tartozó oldalegyenesek metszéspontjai az eredetihez
hasonló háromszög csúcsai;
b) ennek a háromszögnek a magasságpontja a kör középpontja.
Feladat: 4.48. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg48}
Forgassuk el az
ABCD húrnégyszöget a köré írt kör
középpontja körül. Bizonyítsuk be, hogy az eredeti négyszög
oldalegyenesei az elforgatott négyszög megfelelő oldalegyeneseit egy
paralelogramma csúcsaiban metszik.
Feladat: 4.49. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg49}
Egy
60∘
-os szög egyik szárán elhelyezkedő
A, illetve
A1
pontnak a szög csúcsától mért távolsága
p,
illetve
2q; a másik száron elhelyezkedő
B, illetve
B1
pontnak a csúcstól mért távolsága pedig
q, illetve
2p. Az
A1
B1
szakasz felezőpontja
C. Bizonyítsuk be, hogy az
ABC
háromszög szabályos.
Feladat: 4.50. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg50}
Milyennek kell lennie az
ABC háromszögnek ahhoz,
hogy az oldalai fölé szerkesztett négyzetek középpontjai szabályos
háromszöget alkossanak?
Feladat: 4.51. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg51}
Három hasonló és azonos körüljárású háromszög egy-egy
csúcsát összekapcsoljuk egy negyedik - az előző háromhoz hasonló és
azonos körüljárású - háromszög megfelelő csúcsaival. A szabadon
maradt csúcsok közül a szomszédo-sakat (,az azonos szöggel
rendelkezőket,) összekötjük. Bizonyítsuk be, hogy az összekötő
szakaszok felezőpontjai az eredeti háromszögekhez hasonló és
megegyző körüljárású háromszöget határoznak meg.
Feladat: 4.52. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg52}[
207]
Igazoljuk a háromszögek területére vonatkozó
Heron-képletet a komplex számok felhasználásávál.
Feladat: 4.53. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg53}
Adott négy kör
C1
,
C2
,
C3
,
C4
a komplex
síkon úgy, hogy
C1
és
C2
metszéspontjai
z1
,
w1
;
C2
és
C3
metszéspontjai
z2
,
w2
;
C3
és
C4
metszéspontjai
z3
,
w3
és végül
C4
és
C1
metszéspontjai
z4
,
w4
. Mutassuk meg, hogy a
z1
,
z2
,
z3
és
z4
pontok akkor és csak akkor helyezkednek el egy
körön, ha
w1
,
w2
,
w3
és
w4
pontok is egy körön
vannak.
Feladat: 4.54. {a_iii_komplexgeo_2013okt29kg54}
A síkon n darab egyenest általános helyzet?nek
nevezünk, ha semelyik kettő nem párhuzamos és semelyik három közülük
nem metszi egymást egy pontban. Két általános helyzet? egyenes
metszéspontját nevezhetjük a két egyenes Clifford-féle pontjának.
Három általános helyzet? egyenesnek három Clifford-féle pontja van
és ezek körülírt köre, a három egyenes Clifford-köre.
a) Vegyünk négy általános helyzet? egyenest a síkon. Ezek
közül bármely háromnak van Clifford-köre. Igazoljuk, hogy a négy kör
egy pontban metszi egymást.
Ez a négy egyenes Clifford-féle
pontja.
b) Most vegyünk öt általános helyzet? egyenest. Bármelyik
négynek van Clifford-féle pontja. Lássuk be, hogy az így nyerhető öt
Clifford-féle pont egy körön van. Sőt! Hat általános helyzet?
egyenesnek hat Clifford-féle köre van. Ezek úgy keletkeznek, hogy
egy-egy pontot elhagyunk és a maradék öt pontnak vesszük a
Clifford-körét. Belátható, hogy ez a hat kör egy pontban metszi
egymást, stb... Kapunk egy végtelen tételláncolatot, az ún.
Clifford-féle tételláncot.