2. FEJEZET: Tömegközéppont{mchap:g_iii_tomegkp}
A témában alapvető a [
202] könyv, amelynek számos példáját felhasználtuk ebben a fejezetben. Az elméleti alapok tisztázásában segíthet [
203] megfelelő fejezete.
ALAPELVEK
A fizikában gyakran érdemes helyettesíteni egy tömegpontrendszert a tömegpontok tömegközéppontjába helyezett egyetlen, a tagok tömegének összegével megegyező tömeggel. Ezzel kapcsolatban érdemes megjegyezni az alábbi alapelveket:
I. alapelv A tömegközéppont megkaphatjuk úgy is, hogy a tömegpontrendszert részekre osztjuk, kiszámoljuk a részek tömegközéppontját és helyettesítő tömegét, majd meghatározzuk az így kapott rendszer tömegközéppontját. Bármely részekre osztásnál végül ugyanahhoz a tömegközépponthoz jutunk.
II. alapelv Ha a
C pontban
γ kg, a
B pontban
β kg tömeg van, akkor tömegközéppontjuk a
CB szakasznak az az
A1
pontja, amelyre
CA1
/
A1
B=β/γ (másképp: az
γ
CA1
,
β
BA1
forgatónyomatékok kiegyenlítik egymást).
Megjegyzés
Vegyük észre, hogy a pontrendszer tömegközéppontja nem változik, ha benne minden egyes súly nagyságát megszorozzuk ugyanazzal a nullától különböző számmal.
Megfogalmazhatjuk az I., II. alapelvek egy olyan következményét, amelyet később széleskörűen alkalmazunk:
ha a rendszert két részre osztjuk, az egyik tömegközéppontja
S1
,
a másiké
S2
,
míg a teljes rendszer tömegközéppontja
S,
akkor
S1
,
S és
S2
egy egyenesen vannak.
A II. alapelv vektorgeometriai analogonja az osztópont helyvektorára vonatkozó nevezetes tétel:
Osztópont helyvektora
Ha a
C pont helyvektora
C
→
, a
B ponté
B
→
és
A1
a
BC egyenesen úgy helyezkedik el, hogy
CA1
/
A1
B=β/γ, akkor
A helyvektora:
A1
→
=
β
B
→
+γ
C
→
β+γ
.
|
Itt tehát az
B
→
,
C
→
vektorok ,,súlyozásával" kapjuk az
A1
→
vektort. Fontos, hogy itt az
CA1
/
A1
B arányt és vele együtt
β/γ arányt is előjelesen értelmezzük, tehát
CA1
/
A1
B pozitív ha
C-től
A1
ugyanabban az irányban van, mint
A1
-től
B - azaz
A1
a
BC szakaszon van -, míg arány negatív ez a két irány különböző.
Az
I. alapelv az alábbi vektoralgebrai azonossággal analóg:
(
∑i=1
I
βi
B
→
i
)+(
∑j=1
J
γj
C
→
j
)
(
∑i=1
I
βi
)+(
∑j=1
J
γj
)
=
|
=
(
∑i=1
I
βi
)·
∑i=1
I
βi
B
→
i
∑i=1
I
βi
+(
∑j=1
J
γj
)·
∑j=1
J
γj
C
→
j
∑j=1
J
γj
(
∑i=1
I
βi
)+(
∑j=1
J
γj
)
,
|
ahol tehát
S
→
a bal oldalon feltüntetett vektor, míg
S
→
1
=
∑i=1
I
βi
B
→
i
∑i=1
I
βi
S
→
2
=
∑j=1
J
γj
C
→
j
∑j=1
J
γj
.
|
Negatív tömeget nem szokás értelmezni, de a vektorok együtthatói nyugodtan lehetnek negatív számok. Mivel az I., II. alapelvek vektorokkal is értelmezhetők így a későbbiekban negatív tömegekkel is számolni fogunk.
Ekkor előfordulhat az is, hogy néhány tömeg összege zérus. Ha például fent
β+γ=0, akkor nem létezik olyan
A1
pont a
BC egyenesen, amelyre
CA1
/
A1
B=β/γ=-1, de a
CA1
/
A1
B arány határértéke épp
(-1), ha
A1
tart a végtelenbe az egyenesen bármelyik irányban. A vektoros megközelítésben is hasonlót látunk: a
B
→
-
C
→
vektor párhuzamos a
BC egyenessel, tehát annak ,,végtelen távoli pontja" felé mutat.
III. alapelv A tömegpontrendszernek a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozó forgatónyomatéka zérus.
IV. alapelv A tömegpontrendszernek a
t tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka
{eq:tehnyomdef2011termtudtomeg111120ha10}
Θt
=
m1
d1
2
+
m2
d2
2
+…+
mn
dn
2
,
|
| (1) |
ahol
n a tömegpontok számát,
mi
az
i-edik tömegpont tömegét,
di
pedig a tengelytől való távolságát jelöli.
V. alapelv Steiner tétel
Ha a
t tengely átmegy a tömegpontrendszer súlypontján, az
u tengely pedig párhuzamos
t-vel és tőle
d távolságban van, akkor
ahol
m=
m1
+
m2
+…+
mn
a pontrendszer teljes tömegét jelöli.
Síkbeli pontrendszer esetén beszélhetünk a pontrendszernek egy adott pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékáról. Ezen a nyomatékon az adott pontban az adott síkra merőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékot értjük.
VI. alapelv
A síkbeli pontrendszernek a súlypontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka így is számítható:
ΘS
=
1
m
·
∑1≤i<j≤n
mi
mj
rij
2
,
|
ahol
n a tömegpontok számát,
mi
az
i-edik pont tömegét,
m az össztömeget,
rij
az
i-edik és
j-edik tömegpont távolságát jelöli.
Megjegyezzük, hogy a síkbeli pontrendszer pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka az átlagos négyzetes eltéréshez rendkívül hasonló mennyiség. a súlypontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték a szórásnégyzettel rokon mennyiség. A fenti V., VI. alapelvek bizonyítása analóg a statisztika hasonló összefüggéseinek bizonyításával.
Feladat: 2.1. {tomegkp_20130815ha10}
Legyen az
ABC háromszög
AC oldalának felezőpontja
D, továbbá messe a
C-n és
BD szakasz
F felezőpontján átmenő egyenes az
AB oldalt az
E pontban (lásd az
1. ábrát)! Milyen arányban osztja ketté
E az
AB oldalt?
1. ábra{fig:tomegkp_20130815ha10fel}
Feladat: 2.2. {tomegkp_20130815ha20}
Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 2007
Az
ABC háromszög belsejében felveszünk egy
P pontot, majd összekötjük a három csúccsal. Az
AP egyenes messe a szemközti (
BC) oldalt az
A1
pontban. Hasonlóan legyenek
B1
,
C1
a
BM,
CM egyenesek és a megfelelő csúcsokkal szemközti oldalak metszéspontjai. Tudjuk, hogy
P felezi az
AA1
szakaszt. Bizonyítsuk be, hogy
Feladat: 2.3. {tomegkp_20130815ha30}
Az
ABCD paralelogramma
BC oldalának felezőpontja
F, a
CD oldal
D-hez közelebbi harmadolópontja
E, az
EF egyenes az
AC átlót a
P, a
BD átló meghosszabbítását a
Q pontban metszi. Határozzuk meg az
EP/PF, AP/PC, EQ/QF, DQ/QB
|
arányok értékét!
Feladat: 2.4. {tomegkp_20130815ha40}
Adott az
ABC háromszög és a
P pont. Az
AP,
BC egyenesek metszéspontja
A1
és ehhez hasonlóan
B1
=BP∩CA,
C1
=CP∩AB. Ismeretes, hogy
AB1
B1
C
=
b1
b2
,
CA1
A1
B
=
a1
a2
.
|
Határozzuk meg a
BC1
C1
A
arányt!
Feladat: 2.5. {tomegkp_20130815ha50}
Adott az
ABC háromszög. Egy
AC-vel párhuzamos egyenes az
AB oldalt
P-ben, az
AFA
súlyvonalat
T-ben, a
BC oldalt
K-ban metszi. Határozzuk meg az
AC oldal hosszát, ha tudjuk, hogy
PT=3,
TK=5!
Feladat: 2.6. {tomegkp_20130815ha60}
(
Kömal)
Adott az
ABC háromszög. A háromszög belsejében elhelyezkedő tetszőleges
P pont esetén képezhetjük az
AP∩BC=
A1
, BP∩CA=
B1
, CP∩BA=
C1
|
pontokat. Mely
P pontra lesz az
A1
P
A1
A
+
B1
P
B1
B
+
C1
P
C1
C
|
összeg értéke maximális?
1. ábra{fig:tomegkp_20130815ha60fel}
Feladat: 2.7. {tomegkp_20130815ha70}
Mutassuk meg, hogy a súlyozás területekkel is megadható! Nevezetesen, ha
Aα
Bβ
Cγ
=
Pα+β+γ
, akkor
α:β:γ=
TBPC
:
TCPA
:
TAPB
.
|
(Ahogy a súlyok is kaphatnak különböző előjelet, úgy a háromszögek területe is a háromszög körüljárásának megfelelő előjellel értendő.)
Feladat: 2.8. {tomegkp_20130815ha80}
A háromszög
AB,
BC,
CA oldalain úgy helyezkednek el a
C1
,
A1
,
B1
pontok, hogy az
AA1
,
BB1
,
CC1
szakaszok egy közös
P ponton mennek át. Adott az
AB1
C1
,
BC1
A1
,
CA1
B1
háromszögek területe:
TA
,
TB
,
TC
. Határozzuk meg az
A1
B1
C1
háromszög
t területét!
Feladat: 2.9. {tomegkp_20130815ha90}
Adott egy háromszög és egy egyenes. Hogyan súlyozzuk a háromszög csúcsait, hogy tömegközéppontjuk az egyenesre essen?
Feladat: 2.10. {tomegkp_20130815ha100}
Menelaosz tétel
Az
ABC háromszög
AB,
BC,
CA oildalegyenesein adott egy-egy pont:
C1
,
A1
és
B1
. Fejezzük ki az
AB1
,
B1
C,
CA1
,
A1
B,
BC1
,
C1
A,
|
hosszakkal annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az
A1
,
B1
,
C1
pontok egy egyenesre esnek.
Feladat: 2.11. {tomegkp_20130815ha110}
Az
ABCDE szabályos négyoldalú gúla alapja az
ABCD négyzet. Egy sík az
A1
,
B1
,
C1
,
D1
pontokban metszi el a gúla
EA,
EB,
EC,
ED oldaléleit. Határozzuk meg az
ED1
/
D1
D arányt, ha
EA1
A1
A
=1,
EB1
B1
B
=
3
2
,
EC1
C1
C
=
2
1
.
|
Feladat: 2.12. {tomegkp_20130815ha120}
[
202]
Jelölje az
ABC háromszög
BC oldalához hozzáírt körnek az
AB oldal meghosszabbítására, a
BC oldalra illetve az
AC oldal meghosszabbítására eső érintési pontját rendre
TB
,
T és
TC
. Mutassuk meg, hogy a
BTC
,
CTB
egyenesek
D metszéspontja illeszkedik az
AT egyenesre!
Feladat: 2.13. {tomegkp_20130815ha130}
Mutassuk meg, hogy ha az
ABCD négyszög
AB,
CD oldalegyenesei a
P, a
BC,
DA oldalegyenesei a
Q pontban metszik egymást, akkor a
PQ szakasz felezőpontja illeszkedik az
AC,
BD átlók felezőpontjait összekötő egyenesre (lásd az
1. ábrát)!
1. ábra{fig:tomegkp_20130815ha130fel}
Feladat: 2.14. {tomegkp_20130815ha140}
Fejezzük ki a háromszög körülírt és beírt köreinek sugaraival (
R és
r) a két kör középpontjának távolságát (
d-t)!
Feladat: 2.15. {tomegkp_20130815ha150}
Fejezzük ki a háromszög súlyvonalának hosszát az oldalakkal!
Feladat: 2.16. {tomegkp_20130815ha160}
(
Stewart tétel)
Jelölje a háromszög
AB oldalát
p
q
arányban osztó pontját
F - azaz
Fejezzük ki az
FC szakasz hosszát a háromszög oldalaival és a
p,
q mennyiségekkel!
Feladat: 2.17. {tomegkp_20130815ha170}
(
Németh Gergely diák javaslata)
Messe az
ABC nem egyenlő szárú háromszög
A-nál illetve
B-nél fekvő belső szögének szögfelező egyenese a szemköztes -
BC, ill
AC - oldalt az
A1
, ill.
B1
pontban.
a) Mutassuk meg, hogy az
ABC háromszög
C csúcshoz tartozó külső szögfelezője és az
A1
B1
egyenes az
AB oldalegyenesen metszik egymást!
b) Messe az
A,
B,
C csúcshoz tartozó külső szögfelező a háromszög szemköztes oldalegyenesét - tehát rendre a
BC,
CA,
AB egyenest - az
A2
,
B2
,
C2
pontban. Mutassuk meg, hogy az
A2
,
B2
,
C2
pontok egy egyenesen vannak!
Feladat: 2.18. {tomegkp_20130815ha180}
Az
ABC háromszög oldalainak hossza:
AB=c,
BC=a,
CA=b.
A háromszöghöz rögzített
(
xA
;
xB
;
xC
) baricentrikus koordinátarendszerben az
ℓ egyenes egyenlete
{eq:termtudtomeg20121015_komal2012szepta568bha_beirterinto10fel}
ξA
xA
+
ξB
xB
+
ξC
xC
=0.
|
| (1) |
Honnan ismerhető fel, hogy ez az egyenes érinti a háromszög beírt körét? Írjunk fel egy olyan
{eq:termtudtomeg20121015_komal2012szepta568bha_beirterinto20fel}P(
ξA
;
ξB
;
ξC
)=0
|
| (2) |
összefüggést, amely pontosan akkor teljesül, ha az (
1) egyenes érinti a beírt kört!
Feladat: 2.19. {tomegkp_20130815ha190}
[
115][A. 568., 2012. szept.]
Adott az
ABC háromszög, és a beírt körének középpontján átmenő
ℓ egyenes. Jelölje
A1
,
B1
, illetve
C1
az
A, a
B, illetve a
C pont
ℓ-re vonatkozó tükörképét. Legyen az
A1
,
B1
és
C1
pontokon át
ℓ-lel húzott párhuzamosok metszéspontja a
BC,
CA és
AB egyenesekkel rendre
A2
,
B2
, illetve
C2
. Bizonyítsuk be, hogy
a) az
A2
,
B2
,
C2
pontok egy egyenesen vannak, és
b) ez az egyenes érinti a beírt kört!
Feladat: 2.20. {tomegkp_20130815ha200}
[kvant][M1062. feladat, 1988/1., 25-26.o]
a) Az
ABC háromszög
AB,
AC oldalain adottak a
B1
,
C1
pontok. A
BC1
,
CB1
egyenesek az
M pontban metszik egymást, míg az
AM egyenes a
BC,
B1
C1
szakaszokat rendre a
P,
P1
pontokban metszi. Igazoljuk, hogy
b) Az
ABCD tetraéder
AB,
AC,
AD élein vettük fel a
B1
,
C1
,
D1
pontokat. A
BCD1
,
CDB1
,
CAB1
síkok az
M pontban metszik egymást, míg az
AM egyenes a
BCD,
B1
C1
D1
síkokat rendre a
P,
P1
pontokban metszi. Igazoljuk, hogy
Feladat: 2.21. {tomegkp_20130815ha210}
[
201]
a) Mutassuk meg, hogy ha az
ABC háromszög oldalai
AB=c,
BC=a,
CA=b, körülírt körének középpontja
O, sugara
r, akkor a sík tetszőleges
P pontjára teljesül az
r2
-
OP2
=
ta
tb
c2
+
tb
tc
a2
+
tc
ta
b2
t2
|
összefüggés, ahol
ta
,
tb
,
tc
és
t rendre a
PBC,
PCA,
PAB,
ABC háromszög
előjeles területét jelöli!
b) Ptolameiosz tétele
Mutassuk meg, hogy ha az
ABCD négyszög húrnégyszög, akkor
AC·BD=AB·CD+DA·BC.
Feladat: 2.22. {tomegkp_20130815ha220}
[
201]
a) Jelölje az
ABC háromszög előjeles területét
t, körülírt körének középpontját
O, sugarát
r, a sík tetszőleges
P pontjának a háromszög
AB,
BC,
CA oldalegyeneseire való merőleges vetületét rendre
Pc
,
Pa
és
Pb
. Mutassuk meg, hogy a
Pa
Pb
Pc
általános talpponti háromszög előjeles területe
b) Mutassuk meg, hogy a sík
P pontjának az
ABC háromszög oldalegyeneseire vonatkozó merőleges vetületei akkor és csakis akkor illeszkednek egy egyenesre, ha
P illeszkedik a háromszög körülírt körére!
Feladat: 2.23. {tomegkp_20130815ha230}
[
201]
Az
P1
,
P2
pontok baricentrikus koordinátái az
ABC háromszög csúcsaira vonatkozólag
(
α1
;
β1
;
γ1
) illetve
(
α2
;
β2
;
γ2
), ahol
α1
+
β1
+
γ1
=
α2
+
β2
+
γ2
=1.
|
Fejezzük ki az
P1
P2
szakasz hosszát a baricentrikus koordináták és az
ABC alapháromszög
AB=c,
BC=a,
CA=b oldalainak hossza segítségével!