5. FEJEZET: Közös osztó, közös többszörös{mchap:sz_i_kozos}
Feladat: 5.1. {mmkszekozosI01}[
63]
Egy kikötőben 2000. január 2-án együtt volt 4 hajó. Tudjuk, hogy
az első hajó 4 hetenként, a második 8 hetenként, a harmadik 12
hetenként, a negyedik 16 hetenként fordul meg a kikötőben. Mikor
találkoznak legközelebb ebben a kikötőben?
Feladat: 5.2. {mmkszekozosI02}[
63]
Matrózok, akik jó barátok voltak, egy szigeten kincset
találtak: 48 egyforma ezüst tálkát, 72 egyforma ezüst hamutartót
és 100 egyforma igazgyöngyöt. Nagy szerencséjük volt, mert éppen
annyian voltak, hogy mind a háromféle ajándékon igazságosan tudtak
osztozni. Hányan lehettek?
Feladat: 5.3. {mmkszekozosI0304}[
63]
Nézzük a 240-et és a 108-at!
240=
24
·3·5
108=
22
·
33
.
Keressünk
a)közös osztókat!
b) közös
többszörösöket!
Van-e olyan közös osztójuk, amely
c) 10-zel osztható?
d) 7-tel
osztható?
e) páratlan?
Van-e olyan közös többszörösük, amely
f) 10-zel osztható?
g) 7-tel
osztható?
h) páratlan?
Feladat: 5.4. {mmkszekozosI05}[
63]
240 és 108 közös osztói között van-e
a)
legkisebb?
b) legnagyobb?
240 és 108 közös többszörösei
között van-e
c) legkisebb?
d)
legnagyobb?
Feladat: 5.5. {mmkszekozosI06}[
63]
A prímtényezős alak segítségével megadjuk néhány szám legnagyobb
közös osztóját és legkisebb közös többszörösét, köztük néhányat
hibásan. Keressük meg a jókat, a hibásakat pedig javítsuk ki!
60=
22
·3·5
72=
23
·
32
396=
22
·
32
·11
108=
22
·
33
(60, 72)=2·3=6
(60, 72)=
22
·
32
=36
(60, 72)=
22
·3=12
[60, 72]=2·3·5=30
[60, 72]=
23
·
32
·5=360
(60, 396)=
22
·3=12
(60, 396)=
22
·
32
=36
[60, 396]=
22
·
32
·5·11=1980
[60, 396]=
22
·
33
·5·11=5940
(60, 108)=
22
·3=12
(60, 108)=
22
·
32
=36
[60, 108]=
22
·
33
=108
[60, 108]=
22
·
33
·5=540
Feladat: 5.6. {mmkszekozosI07}[
63]
Határozzuk meg a következő számok legnagyobb közös osztóját és
legkisebb közös többszörösét!
a)
23
·
32
és
25
·3
b)
24
·
35
és
33
·7
c)
27
·
34
·
56
és
35
·
53
·
132
.
Feladat: 5.7. {mmkszekozosI08}[
63]
Számítsuk ki a következőket!
(72,396)=
[72,396]=
(72,108)=
[72,108]=
(396,108)=
[396,108]=
(60,72,108)=
[60, 72, 108]=
(60,72,108,396)=
[60, 72, 108, 396]=
Feladat: 5.8. {mmkszekozosI09}[
63]
Milyen
x-re igazak a következő egyenlőségek?
[x, 2·3]=
22
·3·5
[x,
24
]=
24
·3
(x,
24
·3)=
22
·3
(x, 3·5)=1
Feladat: 5.9. {mmkszekozosI10}[
63]
Keressünk olyan
a és
b számokat, amelyeknek nincs 1-nél
nagyobb közös osztójuk, vagyis relatív prímek!
Feladat: 5.10. {mmkszekozosI11}[
63]
Keressünk olyan számokat, amelyek a 300-hoz képest relatív prímek!
Feladat: 5.11. {mmkszekozosI12}[
63]
35, 76 és 28 három olyan szám, melyre
(35,76,28)=1, vagyis
relatív prímek. Keressünk még ilyen számhármasokat!
Feladat: 5.12. {mmkszekozosI13}[
63]
Keressünk olyan számokat, melyekre
(a,b,c)=1, és
a)
(a,b)=2 |
(a,c)=3
|
(b,c)=5 |
b)
(a,b)=1 |
(a,c)=1 |
(b,c)=1 |
c)
(a,b)=2 |
(a,c)=2 |
(b,c)=3 |
d)
(a,b)=2 |
(a,c)=7 |
(b,c)=3 |
e)
(a,b)=2 |
(a,c)=3 |
(b,c)=3
|
Feladat: 5.13. {mmkszekozosI14}[
63]
Keressünk olyan számokat, melyekre
a)
(a,b)=2 |
(a,c)=3
|
(b,c)=5 |
b)
(a,b)=1 |
(a,c)=1 |
(b,c)=1 |
c)
(a,b)=2 |
(a,c)=2 |
(b,c)=3 |
d)
(a,b)=2 |
(a,c)=7 |
(b,c)=3 |
e)
(a,b)=2 |
(a,c)=3 |
(b,c)=3
a)
(a,b,c)=1 | és |
[a,b,c]=30 |
b)
(a,b,c)=1 | és |
[a,b,c]=60 |
c)
(a,b,c)=2 | és |
[a,b,c]=20 |
d)
(a,b,c)=2 | és |
[a,b,c]=40 |
e)
(a,b,c)=3 | és |
[a,b,c]=180
|
Feladat: 5.14. {mmkszekozosI15}[
63]
Milyen
x-re igazak a következő egyenlőségek?
a)
(x,1503)=2·
32
=18
b)
(x,1503)=
32
=9
c)
[x,1503]=
22
·
32
·167=6012
d)
(x,1503,6012)=167
e)
[x,12]=12·x
Feladat: 5.15. {mmkszekozosI16}[
63]
Írjuk le, hogy a prímtényezős alakok ismeretében hogyan állítható
elő véges sok szám legnagyobb közös osztója és legkisebb közös
többszöröse!
Feladat: 5.16. {mmkszekozosI16b}[
63]
Prímtényezős alakok segítségével határozzuk meg 120, 280 és 1000
legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét!
Feladat: 5.17. {mmkszekozosI17}[
63]
Tudjuk, hogy a 12 közös osztója 600-nak és 480-nak.
a) Igaz-e, hogy
12|(600,480)?
b) Keressünk még közös osztókat, és figyeljük meg, milyen
kapcsolat van a közös osztók és a legnagyobb közös osztó között!
Feladat: 5.18. {mmkszekozosI18}[
63]
a) Tudjuk, hogy a 960 közös többszöröse 240-nek és
160-nak. Igaz-e, hogy
[240,160]∣960?
b) Keressünk még közös többszörösöket, és figyeljük meg,
milyen kapcsolat van a közös többszörösök és a legkisebb
közös többszörös között!
Feladat: 5.19. {mmkszekozosI19}[
63]
Keressünk két olyan számot, amelyeknek a legnagyobb közös osztója
1 (relatív prímek)! Számítsuk ki a legkisebb közös többszörösüket!
a) Mit tapasztalunk?
b) Keressünk még relatív prím számpárokat, és
ellenőrizzük a sejtést!
Feladat: 5.20. {mmkszekozosI20}[
63]
Vizsgáljuk meg a következő szorzatokat! Milyen érdekességet
tapasztalunk?
(12,35)·[12,35]=
(12,15)·[12,15]=
(8,9)·[8,9]=
(8,12)·[8,12]
(8,24)·[8,24]=Fogalmazzuk meg általánosan,
milyen kapcsolat van
(a,b),a·b és
[a,b] között!
Indokoljuk az állítást!
Feladat: 5.21. {mmkszekozosI21}[
63]
Keressünk olyan
x számokat, amelyekre igazak a következő
egyenlőségek!
a)
(
2x
·
32
,
25
·3)=
23
·3
b)
(
22
·3·
52
,x)=3
c)
(
22
·3·
52
,x)=20
d)
[3·
52
·7,x]=1050
e)
[
3x
·
53
,2·
33
]=2·
33
·
53
f)
[3·
52
·7,x]=725
Feladat: 5.22. {mmkszekozosI22}[
63]
Igaz-e, hogy
a) ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor 24-gyel is
osztható;
b) ha egy szám osztható 3-mal és 8-cal, akkor 24-gyel
is osztható;
c) ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor 12-vel is
osztható?
Feladat: 5.23. {mmkszekozosI23}[
63]
Keressünk példát arra, hogy egy szám osztható 3-mal és 15-tel, de
nem osztható 45-tel!
Ha egy szám osztható 3-mal és 15-tel, mivel osztható még biztosan?
Feladat: 5.24. {mmkszekozosI24}[
63]
Keressünk olyan
a és
b számokat, amelyekre igaz az, hogy
minden szám, amely osztható
a-val is és
b-vel is, osztható
a·b-vel is!
Keressünk olyan számpárokat is, amelyekről már ránézésre látszik,
hogy nem igaz rájuk az állítás!
Próbáljuk megfogalmazni, hogy milyen
a-ra és
b-re igaz az
állítás!
Feladat: 5.25. {mmkszekozosI25}[
63]
Egy szám osztható
a-val és
b-vel. Milyen számokkal való
oszthatóságra következtethetünk még ebből?
Feladat: 5.26. {mmkszekozosI26}[
63]
Igaz-e mindig, hogy ha egy szám osztható
a-val és
b-vel, akkor
osztható
a és
b legkisebb közös többszörösével, vagyis
[a,b]-vel is? Nézzük meg még néhány példán!
Feladat: 5.27. {szv19}
Melyik az a legkisebb pozitív egész, amely az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10 számok mindegyikével osztható?
Feladat: 5.28. {ftnehanyep15}
Három szám legnagyobb közös osztója 1. Igaz-e, hogy a számok
páronként relatív prímek?
Feladat: 5.29. {szismtl01}
Határozzuk meg mindazokat az
a és
b természetes számokat,
amelyekre igaz, hogy
a·b=360 és
a és
b legnagyobb
közös osztója
15.
Feladat: 5.30. {ftnehanyep08}
Két pozitív egész szám közül az egyik a 100. Mi lehet a másik
szám, ha a két szám legkisebb közös többszöröse tízszer nagyobb,
mint a két szám legnagyobb közös osztója?
Feladat: 5.31. {ftnehanyep10}
Határozzuk meg
A=
20012000
+
20002001
és
B=2000·2001
legnagyobb közös osztóját.
Feladat: 5.32. {ds_2005osz_kozos01}
Hány olyan
a,
b számpár van, amelyre
[a,b]=60?
Feladat: 5.33. {ftnehanyep11}
Igaz-e az alábbi állítás vagy annak megfordítása?
Ha két pozitív egész összegéhez hozzáadva a legnagyobb közös
osztójukat a legkisebb közös többszörösüket kapjuk, akkor a két
eredeti szám aránya 2:3.
Feladat: 5.34. {fthanehanyepeukalg00}
Határozzuk meg az alábbi számok legnagyobb közös osztóját
számológép használata nélkül!
a) 12345678 és
12345679
b) 12345678 és 12345680
c) 12345677 és
12345679
d) 12345678 és 12345681
e) 12345677 és
12345680
f) 12345678 és 12345714
Feladat: 5.35. {bgszamI07}
Készítsünk algoritmust, ami beolvas két számot és meghatározza a
legnagyobb közös osztójukat.
Feladat: 5.36. {bgszamI08}
Készítsünk algoritmust, ami beolvas két számot és meghatározza a
legkisebb közös többszörösüket.
Feladat: 5.37. {bgszamI09}
Készítsünk algoritmust, amely megvalósítja a hatványozás
műveletét. Beolvassa az
a (alapot) és a
b (kitevőt) és
eredményképpen kiírja
ab
-t.