14. FEJEZET: Vegyes feladatok{mchap:v_ii_vegyes}
Feladat: 14.1. {6valszamvegyeskomalcsatar51}[
193]
Nyolc egyforma bábut találomra elhelyezünk egy sakktáblán. Meny-nyi annak a valószínűsége, hogy mind a nyolc sorban és mind a nyolc oszlopban pontosan egy-egy bábu lesz?
Feladat: 14.2. {csakfej90komp110720ha}
Legalább hány pénzdarab kell ahhoz, hogy
90%-nál nagyobb esélye legyen annak, hogy feldobva van köztük fej?
Feladat: 14.3. {valszam9evf_vegyes110627ha120b}
A könyvespolc alsó polcáról a kétéves Pisti leszedte a könyveket, majd ,,saját ízlése szerint" visszarakta mind a 25-öt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a köztük levő három idegen nyelvű könyv egymás mellé került?
Feladat: 14.4. {halalraitelt5050ha110624}
Egy halálraítéltnek némi esélyt kívánnak adni az életben maradásra. Adnak neki 50 fehér és 50 fekete golyót és két urnát. A golyókat eloszthatja a két urnába. A hóhér másnap reggel találomra kiválaszt egyet a két urna közül, majd a kiválasztottból kihúz egy golyót. Ha az fekete, akkor kivégzik az elítéltet, ha fehér, akkor szabadon engedik. Hogyan célszerű elosztani golyókat, hogy a legnagyobb valószínűséggel életben maradjon?
Feladat: 14.5. {valszam9evf_jatek110627ha44macseger}[
191]
Egy
4×4-es négyzetrács alakú labirintus két átellenes csúcsában - a kijáratoknál - egy egér és egy macska van. Mindketten adott jelre, ugyanakkora sebességgel elindulnak a szemköztes kijárat felé úgy, hogy minden lépésben közelednek céljukhoz (lásd az
1. ábrát). Egymást nem látják, útválasztásuk az elágazásokban véletlenszerű. (Ez azt jelenti, hogy amikor elágazáshoz érnek, a lehetséges két irány közül egyforma valószínűséggel választanak.)
1. ábra{fig:valszam9evf_jatek110627ha44macsegerfel01}
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy találkoznak?
b) Általánosítsuk a feladatot!
Feladat: 14.6. {soltgyorgyvalszam88old22fel}[
195]
Egy futballklub edzésének megkezdése előtt az edzésen résztvevő
22 játékost két csoportba osztják. Mi a valószínűsége annak, hogy ha találomra történik a szétosztás két
11-es csoportba, a két legjobb játékos egymás ellen játszik?
Feladat: 14.7. {moszteller50valfel16}[
196]
Bejut-e a második a döntőbe?
A nyolc résztvevős kieséses teniszbajnokságot az alábbi ábrán látható rendszerben bonyolítják le. Ehhez a játékosok között véletlenszerűen osztják ki az 1, 2, ... , 8 sorszámokat.
1. ábra{fig:moszteller50valfel16fela}
Tegyük fel, hogy a játékosok képességük szerint egyértelműen rakhatók sorrendbe és a jobb mindig legyőzi a kevésbé jót!
a) Mennyi az esélye a második legjobb játékosnak, hogy bejusson a döntőbe?
b) Mennyi annak az esélye, hogy a második és a harmadik legjobb játékos összeméri tudását ezen a versenyen?
c) Válaszoljunk az előző kérdésekre a
2n
résztvevős fenti rendszerű kieséses bajnokság esetén is!
Feladat: 14.8. {valszam9evf_ogyvalkirlany4pont1}[
191]
Három herceg,
A,
B és
C egyaránt szerelmes Bergengócia királylányába. Elhatározzák, hogy egyetlen pisztolypárbajban eldöntik, melyikük legyen a kérő. Egyszerre körbeállnak és bármelyikük lőhet bármelyikükre. Tudják egymásról, hogy ha lő,
A
1,
B
0,8 és
C
0,5 valószínűséggel talál, ezért abban állapodnak meg, hogy először lő
C, utána (ha életben van)
B, végül
A. Ha nincs vége a párbajnak, akkor még egy kört lőnek azonos sorrendben.
Mikor a királylány meghallotta a feltételeket, a párbaj előtti este titokban kicserélte
C első golyóját vaktöltényre.
a) Kibe szerelmes a királylány?
b) Hogyan változnak meg a párbaj valószínűségei, ha most a felek nemcsak kettő, hanem tetszőleges számú lövést adhatnak le?
(A királylány most is csak az első golyót cseréli ki vaktöltényre.)
Feladat: 14.9. {7valszamvegyesNW16fej65fel}[
67]
USA érettségi, 1988
Legyen
p annak a valószínűsége, hogy egy szabálytalan érme fejre esik, és
w annak a valószínűsége, hogy öt dobásból három lesz fej. Tegyük fel, hogy
w=144/625. Melyik helyes az alábbi állítások közül:
a)
p=2/5,
b)
p=3/5,
c)
p nagyobb, mint
3/5,
d) több ilyen
p érték létezik,
e) ilyen
p érték nem létezik.
Feladat: 14.10. {valszamvegyes_catha110630}[
67,
12]
Egy jegypénztárhoz
2n számú vásárló érkezik. Közülük n vásárlónak csak ezrese, a többinek csak ötszázasa van. Egy jegy ára ötszáz forint, és nyitáskor a pénztárban nem volt pénz. Feltesszük, hogy a
2n vevő egymástól függetlenül érkezik, bármely sorrendnek ugyanakkora a valószínűsége. Mekkora a valószínűsége, hogy egyetlen vevőnek se kelljen várnia?
Feladat: 14.11. {valszamvegyes_catha110630vari}
A községi polgármester-választáson az
A jelölt
a, a
B jelölt
b szavazatot kapott
0≤b<a. Mennyi az esélye, hogy a szavazatszámlálás során a
B jelölt sohasem vezetett
A előtt?
Hézag
Feladat: 14.12. {8valszamvegyesNW16fej56fel}[
67]
USA érettségi, 1984
Véletlenszerűen lerakunk 3 piros, 4 zöld, 5 fehér golyót egy sorba úgy, hogy bármelyik lehetséges sorrend egyenlő valószínűségű. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy nem kerül egymás mellé két zöld golyó!
Feladat: 14.13. {KomalB3858ha110630a}[
115]
Egy főútvonalon végighaladva nyolc helyen van közlekedési lámpa. Annak valószínűsége, hogy egy lámpa éppen pirosat jelez, amikor odaérünk, 0,4.
Mekkora annak a valószínűsége, hogy nem találkozunk közvetlenül egymás után két tilos jelzéssel?
Nagyságrendi sorrend
Feladat: 14.14. {valszamvegyes_legkisebbazotoslotton110623ha10}
Az interneten elérhető
http://www.szerencsejatek.hu/xls/otos.xls
fájl tartalmazza az eddigi ötöslottó (az 1-90 számok közül húznak ki ötöt) nyerőszámokat. A táblázatban a kihúzott számok mindegyik húzásnál növekvő sorrendben vannak felsorolva, tehát pl. a legkisebb számok egy oszlopban egymás alatt olvashatók.
a) Tippeljük meg az eddigi - több mint 2800 - húzásban a legkisebb szám átlagos értékét!
b) Ellenőrizzük tippünket az említett fájl letöltésével és az átlag kiszámolásával! Ki tippelt a legjobban?
Feladat: 14.15. {valszamvegyes_kisebbikvarhato20ha20110405}
A Bergengóc Lottóban az
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} számok közül húznak ki kettőt (visszatevés nélkül).
a) Melyik a kisebbik szám legvalószínűbb értéke?
b) Határozzuk meg a kisebbik szám várható értékét!
c) Határozzuk meg a kisebbik szám várható értékét, ha az
{1,2,3,…,n}
számok közül húznak ki kettőt!
d) Mennyi a kisebbik szám legvalószínűbb értéke, ha az
{1,2,3,…,n}
számok közül húznak ki kettőt?
Feladat: 14.16. {10valszamvegyeskisebbikvarhato20ha20110419}
A Bergengóc Lottót megreformálják! Az
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} számok közül mostantól négyet húznak ki (visszatevés nélkül).
a) Melyik a második legkisebb szám legvalószínűbb értéke?
b) Határozzuk meg a második legkisebb szám várható értékét!
c) Határozzuk meg a második legkisebb szám várható értékét, ha az
számok közül húznak ki négyet!
d) Határozzuk meg a második legkisebb szám legvalószínűbb értékét!
Permutációk
Feladat: 14.17. {sakk_jatek110719ha_korbeveres9}
Bergengóciában a sakkversenyzők között
9 nagymester van. Élő-pontjuk mind különböző (a sakkversenyzők korábbi mérkőzéseik eredménye alapján kapják az Élő Árpádról elnevezett pontszámot, lásd http://hu.wikipedia.org/wiki/Élő-pontrendszer)
A
9 nagymester részt vesz az ország csapatbajnokságán, amely három háromfős csapatból, azaz éppen belőlük áll. Amikor két csapat játszik, akkor három táblán csapnak össze a versenyzők, az első táblán a két csapat legtöbb Élő-ponttal rendelkező játékosa, a második táblán az Élő-pont szerinti másodikak, a harmadikon az utolsók.
A bajnokságban minden csapat mindegyikkel pontosan egyszer játszik. Előfordulhat-e, hogy mindegyik mérkőzésen mindegyik táblán a nagyobb Élő-pontú játékos legyőzi a kevesebb Élővel rendelkezőt, a három csapat mégis körbeveri egymást?
Feladat: 14.18. {KomalCsatarHarroesmasValszamresz02fel14}[
193]
Vettünk öt darab egyforma Blend-a-med Complete és egy Blend-a-med Soda Bicarbonate fogkrémet. A szatyorban kicsúsztak a dobozukból. Hazaérve találomra beletettünk mindegyik dobozba egy-egy tubus fogkrémet.
a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindegyik dobozban a feliratnak megfelelő fogkrém van?
b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan öt dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém?
c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy pontosan négy dobozban van a feliratnak megfelelő fogkrém?
Feladat: 14.19. {valszam9evf_jatek110627ha_perm130}
Öten kihúzzák egymás nevét egy kalapból. Mi az esélye annak, hogy senki sem húzza ki a saját nevét?
Feladat: 14.20. {valszam9evf_jatek110627ha_perm140}
Öten kihúzzák egymás nevét egy kalapból ajándékozás céljából. Mi az esélye annak, hogy körbe ajándékozzák egymást, tehát hogy egyetlen ciklus alakul ki?
Feladat: 14.21. {valszam9evf_vegyes110627ha_perm160}
Egy embernek
n kulcsa van, ezek közül csak az egyik nyitja az ajtaját. Egymás után próbálja ki a kulcsokat (visszatevés nélkül). Határozzuk meg a próbálkozások számának eloszlását!
Feladat: 14.22. {valszam9evf_vegyes110627ha_kurschak1971}
Kürschák verseny 1971
Van 30 perselyünk és mindegyikhez egy-egy kulcs, amely a többi perselyt nem nyitja. Valaki találomra bedobja a kulcsokat a zárt perselyekbe. Két perselyt feltörünk. Mennyi a valószínűsége, hogy a többi perselyt feltörés nélkül ki tudjuk nyitni?
Feladat: 14.23. {imo1989newyorkperinvvarhato110701ha}[
84]
IMO 1989. New York, javaslat
Határozzuk meg az
1,
2, ... ,
n számok véletlen permutációjában az inverziók számának várható értékét! Az
(
i1
,
i2
,…,
in
) permutáció inverziói mindazok az
1≤k≠m≤n számpárok, amelyekre
k<m, de
ik
>
im
(tehát mindazon számpárok száma, amelyek nagyságrendjükkel ellentétes sorrendben állnak a permutációban). Az
1,
2,
3,
4 számok
(2413) permutációjában az alábbi párok állnak inverzióban:
(21),
(41),
(43), tehát az inverziók száma itt
3.
Feladat: 14.24. {randompergenjohncannyberkeley110701ha}[
45]
Véletlen permutáció generálása
Az alábbi program az
1,
2, ... ,
n számok egy véletlen permutációját állítja elő.
A
π0
permutáció legyen identikus, azaz minden szám marad a helyén:
π0
(i)=i, tehát
π0
=(1,2,…,n).
Futtassuk a
k változót
1-től
(n-1)-ig és minden lépésben képezzük a
πk-1
permutációból a
πk
permutációt úgy, hogy cseréljük ki a benne
k-adik helyen álló
πk-1
(k) számot az
l-edik helyen álló
πk-1
(l) számmal, ahol
l-et minden lépésben egyenletes eloszlással véletlenszerűen választjuk az
{1,2,…k} halmazból. A program:
1.
π=(1,2,…,n);
2. for
k=1 to
(n-1);
3. válasszunk egy
l véletlen számot az
{1,2,…,k} halmazból;
4. cseréljük ki
π(k)-t és
π(l)-t.
Mutassuk meg, hogy ez az eljárás ,,jó véletlent" ad, azaz a
1,
2, ... ,
n számok minden permutációját egyenlő eséllyel állítja elő a program!
Feladat: 14.25. {randompermfixedpoints110701ha}
Határozzuk meg az
1,
2, ... ,
n számok véletlen permutációjában a fixpontok számának várható értékét!
Feladat: 14.26. {valszam9evfjatek110701haperm150egycikhossz}
Az osztály 35 tanulója kihúzza egymás nevét egy kalapból ajándékozás céljából. Az osztálykarácsonykor a legfiatalabb diák kezdi az ajándékozást. Láncban ajándékozzák egymást a gyerekek, aki ajándékot kapott, a következő lépésben ő adja át ajándékát annak akit húzott, míg az egyik diák a sort elindító legfiatalabbnak adja ajándékát. Határozzuk meg az így kialakuló első kör hosszának eloszlását!
Feladat: 14.27. {randompermnuofcycles110701ha}
Határozzuk meg az
1,
2, ... ,
n számok véletlen permutációjában a ciklusok számának várható értékét!
Feladat: 14.28. {tojaspar110723ha10}
Adott
10 darab tojás: 2 fehér, 2 zöld, 2 sárga, 2 kék és 2 piros, tehát mindegyik színből kettő van.
Véletlenszerűen
5 párt készítünk belőlük. Mi az esélye, hogy pontosan
k párban vannak azonos színű tojások? Adjuk meg a kérdezett valószínűséget
k=0,
1,
2,
3,
4 és
5 esetén!
Idegen nyelven
Feladat: 14.29. {valszam9evf_erettsegiemeltangol2008majus02}
angol nyelvű matematika érettségi 2008 május
There were
100 students from the
9-
12
th
grades of a Hungarian high school subject to
an international survey on math education. Each student took the same test and the
maximal score was
150 points. The average score of the students was
100 points. The
number of students from the grades
9-
10
th
was one and a half times of the number of
students from the grades
11-
12
th
and, at the same time, the mean score of the students
from the grades
11-
12
th
was one and a half times of the mean score of the students from
the grades
9-
10
th
.
a) Calculate the mean score of the students from the grades
11-
12
th
.
Having run the survey the organizers were also interested about how did the students
judge the diffuculty of the questions. There were three students out of the
100 chosen
randomly and they were asked to fill a questionaire.
b) What is the probability that there were
2 students chosen from the grades
9-
10
th
and
1 student from the grades
11-
12
th
?
Feladat: 14.30. {stattrek.com_Lesson1_Bayes_aspx110630}
http://stattrek.com/Lesson1/Bayes.aspx
Marie is getting married tomorrow, at an outdoor ceremony in the desert. In recent years, it has rained only 5 days each year. Unfortunately, the weatherman has predicted rain for tomorrow. When it actually rains, the weatherman correctly forecasts rain
90% of the time. When it doesn't rain, he incorrectly forecasts rain
10% of the time. What is the probability that it will rain on the day of Marie's wedding?
Paradoxonok
Feladat: 14.31. {valszam9evf_paradoxszekely01ha20110628}[
197]
Az
{1,2,3,4,5,6} halmazból vett számok kéttagú összegeiként a
9 és a
10 is kétféleképpen áll elő:
Háromtagú összegként pedig mindkét számnak hatféle előállítása van:
9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3;
|
10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4.
|
Ennek alapján
sokáig azt gondolták, hogy a dobott számok összege ugyanakkora eséllyel lesz
9-es, mint
10-es.
Melyiknek nagyobb a valószínűsége, annak, hogy
9 vagy annak, hogy
10 lesz az összeg, ha
a) két
b) három
dobókockával dobunk?
Feladat: 14.32. {valszam9evf_paradoxszekely02ha20110628}[
197]
De Méré lovag paradoxona
a) Egy kockát dobunk fel sokszor egymás után. Átlagosan hányadikra dobjuk az első hatost?
b) Két kockát dobunk fel sokszor egymás után. Átlagosan hányadikra dobjuk az első dupla hatost?
c) Hányszor kell feldobni egy kockát ahhoz, hogy valószínűbb legyen, hogy dobtunk már hatost, mint hogy nem dobtunk?
d) Hányszor kell feldobni két kockát ahhoz, hogy valószínűbb legyen, hogy dobtunk már dupla hatost, mint hogy nem dobtunk? Először 1 perc alatt tippeljünk, utána számoljunk!
Feladat: 14.33. {valszam9evf_paradoxszekely03ha20110628}[
197]
Az osztozkodás paradoxona
Két játékos egy igazságos játékot játszik (ugyanolyan eséllyel nyer mindegyik), és abban állapodnak meg, hogy az nyeri az egész kitűzött pénzösszeget, aki először nyer
6 játszmát. A játékosok valamilyen okból abbahagyják a játékot, mikor az első
5, a második
3 játszmát nyert. Hogyan méltányos osztozkodni a téten?
Feladat: 14.34. {valszam9evf_paradoxszekely03pluszha20110628}[
197]
(
születésnap-paradoxon)
Megközelítőleg hány ember esetén valószínűbb, hogy lesz közöttük kettő, akiknek az év ugyanazon napjára esik a születésnapjuk, mint az, hogy nincs két ilyen ember? (Számoljunk
366 nappal.)
Feladat: 14.35. {valszam9evf_paradoxszekely05aha20110628}[
197]
Az adulehívás paradoxona
A bridzset
52 lapos francia kártyával játsszák. A négy játékos mindegyikénél
13-
13 lap van. Az asztalnál szemközt ülő játékosok (akik hidat, bridge-et alkotnak) együtt vannak. Sőt, a lejátszás elején az egyik játékos kiteríti lapjait az asztalra, és a vele szemközt ülő partnere játszik az ő lapjaival is. Ez a játékos azt látja, hogy nála és az asztalon összesen
7 adu van, tehát az ellenfeleknél összesen
6.
a) Melyik az esélyesebb, hogy az ellenfeleknél
3-3 adu van, vagy az, hogy az egyiknél
2, a másiknál
4?
A játékos egymás után kétszer adut hív, és mindenki adut tesz rá mind a két alkalommal.
b) Ha
22 lapot - melyek közt
2 adu van - kiosztunk két
11-es csoportba, akkor melyik az esélyesebb, hogy mindkettőben
1 adu lesz, vagy az, hogy az egyikben
0, a másikban
2?
Feladat: 14.36. {valszam9evf_paradoxszekely02viha20110628}[
197]
Schrödinger paradoxona
Két borítékban ismeretlen mennyiségű pénz van. Nem tudni, melyikben van több, de azt tudjuk, hogy amelyikben több van, abban kétszer annyi van, mint a másikban. Az egyiket kinyitjuk, és megnézzük, mennyi van benne, majd ezek után el kell dönteni, hogy elfogadjuk-e ezt a pénzösszeget, vagy inkább az ismeretlen, második borítékot választjuk.
Hogyan érdemes dönteni?
Valószínűség és geometria
Feladat: 14.37. {imousa83valszamsokszog110703ha}[
84]
IMO 1983, USA, javaslat
A szabályos
n-szög (
n≥6) csúcsai közül véletlenszerűen kiválasztunk két közös pont nélküli ponthármast. Mennyi az esélye, hogy a két ponthármas - mint csúcsok - által meghatározott két háromszög nem metszi egymást?
Feladat: 14.38. {imondk78valszamsokszog110703ha}[
84]
IMO 1978, NDK, javaslat
A szabályos
n-szög csúcsai közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat. Meny-nyi az esélye, hogy az általuk - mint csúcsok által - meghatározott háromszög hegyesszögű?
Nehéz versenypéldák
Feladat: 14.39. {Fazversfel3ev2003datefebruar13}
Tekintsük a koordinátarendszer következő hat pontját:
(0;0),
(0;1),
(1;0),
(1;1),
(2;0),
(2;1)! Egy bolha ugrál ezen a hat ponton a következő szabály szerint. Minden lépésben véletlenszerűen kiválaszt egy szomszédos pontot és arra átugrik. A szomszédos pontok között egyenlő valószínűséggel választ. Mi a valószínűsége annak, hogy a
(0;0) pontból indulva 23 lépés után az
(1;0) pontra ér? Két pontot akkor nevezünk szomszédosnak, ha az egyik koordinátájuk azonos, a másik eggyel tér el.
Feladat: 14.40. {KomalB3441ha110630}[
115]
Kömal, B. 3441., 2001. feb.
Pinokkiónak 9-féle akadályon kell sikerrel túljutnia, hogy hús-vér gyerek lehessen. Nehéz dolga van; ha egy akadályon elbukik, akkor vissza kell térnie az előzőhöz, és ott újra kell próbálkoznia. Ha a legelső akadályon bukik el, akkor fabábu marad örökre. Pinokkió nem tanul a kudarcokból, ezért az egyes akadályokon a siker valószínűsége mindig 1/10, 2/10, 3/10, ..., 9/10, akárhányadszor is próbálkozik. Milyen sorrendben rendezze el a Kékhajú Tündér a Pinokkióra váró akadályokat ahhoz, hogy Pinokkió a legnagyobb eséllyel változzék át igazi gyerekké, és mekkora ebben az esetben a siker valószínűsége?
Feladat: 14.41. {OKTV199798IIIkat1ford4fel}
OKTV, 1997/98, III. kat. 1. ford. 4. fel.
Egy-egy cédulára felírtuk az 1, 2, 3, illetve 4 számokat. Anna kihúz egy cédulát a négy közül, majd visszateszi a többi közé. Ezután Zsófi húz ki egy cédulát, utána visszateszi, majd ismét Anna következik stb. A kihúzott számot mindig hozzáadják az addig kihúzott számok összegéhez. Az nyer, akinek a húzása után először lesz az összeg 3-mal osztható. Mennyi a valószínűsége annak, hogy Anna nyer?
Feladat: 14.42. {OKTV199192IIIkat1ford3fel}
OKTV, 1991/92, III. kat. 1. ford. 3. fel.
Bergengóciában háromféle fémpénz van forgalomban, ezek - növekvő értéksorrendben - az alig, a bagó és a csenevész. Márton és Nándor a következő játékot játsszák. Márton elővesz egy általa választott érmét, erre Nándor köteles a másik két fajtából egyet-egyet elővenni. A három érmét egyszerre feldobják, és azé lesz mindhárom érme, akinek az írásra esett érméje vagy érméi nagyobb összértéket képviselnek. Ha csupa fej jön ki, akkor mindenki megtartja a saját pénzét (más esetben nem fordulhat elő döntetlen). A fiúk észreveszik, hogy a játék mindig igazságos, akármelyik érmét is veszi elő Márton. Kérdés: hány aligot ér egy csenevész?
Feladat: 14.43. {Kurschak199091ha110624}
Kürschák verseny, 1990.
100 gyerek között egy nem szabályos érme többszöri feldobásával szeretnénk egy ajándékot kisorsolni. A pénzdarabot
k-szor feldobjuk, miután a dobássorozat minden egyes kimenetelére meghatároztuk, hogy az adott esetben ki nyer.
Bizonyítsuk be, hogy a ,,fej" dobás
p valószínűségét és a
k értékét alkalmasan megválasztva a
2k
kimenetelt fel lehet osztani a gyerekek közt úgy, hogy mindenki egyforma valószínűséggel nyerjen!
Feladat: 14.44. {Kurschak198687ha110624}
Kürschák verseny, 1986.
A és
B a következő játékot játssza: az első 100 pozitív egész közül véletlenszerűen kiválasztanak
k darabot, és ha ezek összege páros, akkor
A nyer, egyébként pedig
B. A
k milyen értékeire lesz egyenlő
A és
B nyerési esélye?