1. FEJEZET: Másodfokú függvények, polinomok

Feladat: 1.1.
Alakítsuk teljes négyzetté, illetve teljes négyzet konstansszorosává az alábbiakat. A kérdőjelek helyére mit kell írni?
a) a(x)= x2 -2x+1
 
b) b(x)=- x2 -6x-9
 
c) c(x)=2 x2 -6x+4,5
 
d) d(x)= x2 -10x+?
 
e) e(x)=-2 x2 +8x+?
 
f) f(x)=? x2 +16x-4
 
g) g(x)=5 x2 +?x+100.

 

Feladat: 1.2.
Megfelelő szám hozzáadásával/kivonásával hozzuk teljes négyzet alakra:
a) a(x)= x2 -2x+2
 
b) b(x)=- x2 -6x-10
 
c) c(x)=2 x2 -6x+6,5
 
d) d(x)= x2 -10x+1
 
e) e(x)=-2 x2 +8x
 
f) f(x)=2 x2 +16x-4
 
g) g(x)=5 x2 +15x+100.

 

Feladat: 1.3.
Megfelelően megváltoztatva a konstanstagot hozzuk teljes négyzet alakra:
a) a(x)= x2 -2x+c
 
b) b(x)=- x2 -6x+c
 
c) c(x)=2 x2 -6x+c
 
d) d(x)= ax2 -10x+c
 
e) e(x)=-2 x2 +bx+c
 
f) f(x)= ax2 +2ax+c
 
g) g(x)= ax2 +bx+c.

 

Feladat: 1.4.
Igazoljuk, hogy az alábbi egyenleteknek csak a megadott esetekben van megoldásuk. Határozzuk is meg a megoldásokat: (A másodfokú tag együtthatójáról mindig feltesszük, hogy nem 0!)
a) x2 -2x+c=0      c≤1
 
b) - x2 -6x+c=0      c≥-9
 
c) ax2 -6x+c=0      ac≤36
 
d) x2 +bx+1=0       b2 ≥4
 
e) -2 x2 +bx+c=0       b2 +8c≥0.

 

Feladat: 1.5.
Fogalmazzuk meg, hogy az ax2 +bx+c=0 általános másodfokú egyenletnek mikor van megoldása és határozzuk is meg azt (azokat). (Feltesszük, hogy a≠0.)
 

Feladat: 1.6.
Próbáljumk meghatározni a megoldási módszer alapján egy olyan másofokú egyenletet, amelynek két megoldása (gyöke)
a) {-1;1}
 
b) {1;3}
 
c) {1;2}
 
d) {1/2;3/2}
 
e) {-2-1;2-1}
 
f) {1/9;1/8}
 
g) {1;2}.

 

Feladat: 1.7.
Alakítsuk elsőfokú tényezők szorzatává az alábbi kifejezéseket:
a) x2 +2x+1
 
b) - x2 -4x-4
 
c) -2 x2 -6x-4,5
 
d) x2 -10x+24
 
e) -2 x2 +8x+10
 
f) -12 x2 +16x-4
 
g) g(x)=5 x2 +51x+10.

 

Feladat: 1.8.
Az 1.6 feladatban kapott másodfokú kifejezéseket (polinomokat) alakítsuk szorzattá!
 

Feladat: 1.9.
Figyeljük meg, hogy az 1.6 feladatban előírt megoldások hogyan jelennek meg az 1.8 megoldás szorzatalakjában. Hozzuk összefüggésbe ezt azzal a törvényszerűséggel, hogy egy szorzat csak akkor lehet 0, ha legalább az egyik tényezője 0. Igazoljuk, hogy ha egy másodfokú kifejezésnek (polinomnak) két megoldását (gyökét) előírjuk, akkor nem lehet más megoldása.
 

Feladat: 1.10.
Alakítsuk szorzattá az x2 -1 kifejezést a modulo 8 maradékok körében. Keressünk egy másik szorzatalakot is. Hányféleképpen lehet szorzattá alakítani? Miért nem csak egyféleképpen?
 

Feladat: 1.11.
Bizonyítsuk be, hogy ha a f(x) és g(x) másodfokú polinomok gyökei ugyanazok, akkor f(x) és g(x) egymás konstansszorosai. (Fordítva persze magától értetődően igaz.)
 

Feladat: 1.12.
Igazoljuk Vieta formuláit: Ha egy másodfokú ax2 +bx+c polinom két gyöke p és q, akkor p+q=-b/a és pq=c/a.
 

Feladat: 1.13.
Mi a másodfokú ax2 +bx+c polinom szorzatalakja?
 

Feladat: 1.14.
Milyen valós k esetén lesz az x2 -kx+ a2 - b2 =0 egyenlet egyik gyöke (a+b)?
 

Feladat: 1.15.
Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei az x2 -3x-9 egyenlet a) gyökeinek ellentettjei! b) gyökeinek kétszeresei! c) gyökeinél eggyel nagyobbak! d) gyökeinek reciprokai! e) gyökeinek négyzetei! Az új egyenletek felírásához lehetőleg ne határozzuk meg az eredeti egyenlet gyökeit!
 

Feladat: 1.16.
Tegyük fel, hogy a másofokú ax2 +bx+c polinomnak van két gyöke. Mi az a másodfokú polinom, amelynek a gyökei az előző gyökök
a) ellentettjei
 
b) négyzetei
 
c) -nél egyel nagyobb számok
 
d) reciprokai
 
e) különbsége (kétféle van!)
 
f) hányadosa (kétféle van!)?

 

Feladat: 1.17.
Ábrázoljuk az f(x)= x2 -4x+c függvényt a derékszögű koordinátarendszerben a c=0;  4;  8 paraméterértékek esetén. Határozzuk meg a tengelyekkel vett metszéspontjait, a szélsőértékhelyét és az itt felvett értékét.
 

Feladat: 1.18.
Ábrázoljuk az alább megadott függvények grafikonját!
a) f(x)= x2 -6x+9-3+x
 
b) g(x)= x2 -6|x|+9
 
c) h(x)=| x2 -6x+5|.
d) Diszkutáljuk, hogy a p paraméter értékétől függően hány megoldása van az | x2 -6x+5|=p egyenletnek!
 

Feladat: 1.19.
Ebben a feladatban az fc (x)= x2 +cx+3 függvényt vizsgáljuk ( c valós paraméter). a) Ábrázoljuk a függvény grafikonját a c paraméter -2, -1, 0, 1, 2 értékei esetén! b) Határozzuk meg c azon értékeit, amelyre fc -nek x=2-ben van a minimuma! c) Határozzuk meg c azon értékeit, amelyre fc -nek 2 a minimuma! d) Határozzuk meg c azon értékeit, amelyre fc -nek x=2-ben zérushelye van! e) Határozzuk meg c azon értékeit, amelyre az fc (x)>0 egyenlőtlenség minden valós x-re teljesül! f) Határozzuk meg c azon értékeit, amelyre a x2 +cx+3 polinom felbomlik két elsőfokú egész együtthatós polinom szorzatára! g) Jelöljük meg minden c-re az fc (x) függvény grafikonjának csúcspontját a kordinátasíkon! Milyen görbét alkotnak az így kapott pontok? h) Van-e olyan pont a síkon, amely a c paraméter minden értéke esetén illeszkedik az fc (x) függvény grafikonjára? i) A koordinátasík mely pontjai nem illeszkednek az fc (x) függvények egyikének grafikonjára sem?
 

Feladat: 1.20.
a) Ábrázoljuk az f(x)= x2 -6x+5 függvény grafikonját! Hajtsuk végre a grafikonon az alább megadott transzformációkat és írjuk fel a kapott grafikonnak megfelelő függvény képletét! b) Eltolás az v ‾ (2;-1) vektorral. c) Eltolás az u ‾ ( u1 ; u2 ) vektorral. d) Tükrözés az x-tengelyre. e) Tükrözés az y=a egyenletű egyenesre. f) Tükrözés az y-tengelyre. g) Tükrözés az x=b egyenletű egyenesre. h) Középpontos tükrözés az origóra. i) Középpontos tükrözés az O(c;d) pontra.
 

Feladat: 1.21.
a) Ábrázoljuk az f(x)= x2 függvény grafikonját! Hajtsuk végre a grafikonon az alább megadott transzformációkat és írjuk fel a kapott grafikonnak megfelelő függvény képletét! b) λ=3 arányú tengelyes affinitás, melynek tengelye a koordinátarendszer x-tengelye. c) λ=3 arányú tengelyes affinitás, melynek tengelye a koordinátarendszer y-tengelye. d) λ=3 arányú origó centrumú középpontos nagyítás.
 

Feladat: 1.22.
Adott az f(x)= x2 -6x+5 függvény grafikonja. Hajtsuk végre a grafikonon az alább megadott transzformációkat és írjuk fel a kapott grafikonnak megfelelő függvény képletét! b) λ=3 arányú tengelyes affinitás, melynek tengelye a koordinátarendszer x-tengelye. c) λ=3 arányú tengelyes affinitás, melynek tengelye a koordinátarendszer y-tengelye. d) λ=3 arányú origó centrumú középpontos nagyítás.
 

Feladat: 1.23.
Adott a derékszögű koordinátarendszerben az f(x)= x2 +6x-4 függvény grafikonja! Toljuk el a koordinátarendszert az
a) u ‾ (3;0)
 
b) v ‾ (0;2)
 
c) w ‾ (3;2)
vektorral és írjuk fel, hogy az új koordinátarendszerben mely függvénynek felel meg az eredeti grafikon!
 

Feladat: 1.24.
Adott a derékszögű koordinátarendszerben az f(x)= x2 +6x-4 függvény grafikonja! A koordinátarendszer
a) x tengelyén
 
b) y-tengelyén
 
c) mindkét tengelyén
háromszor akkora egységet vegyünk fel (a 3 helyére most 1 kerül) és írjuk fel, hogy az új koordinátarendszerben mely függvénynek felel meg az eredeti grafikon!
 

Feladat: 1.25.
Elemezzük a valós számok halmazán értelmezett

fa,b,c (x)= ax2 +bx+c

általános másodfokú függvényt! Adjuk meg, hogy - az a, b, c - paraméterek mely értékeinél van maximuma illetve minimuma a függvénynek, határozzuk meg a szélsőértéket is!
 

Feladat: 1.26.
Írjuk le, hogy a valós számok halmazán értelmezett

fa,b,c (x)= ax2 +bx+c

általános másodfokú függvény grafikonja milyen transzformációkkal kapható meg a normálparabolából, azaz az f1,0,0 (x)= x2 függvény grafikonjából!
 

Feladat: 1.27.
Igazoljuk, hogy az f(x)= ax2 +bx+c másodfokú függvény grafikonja valóban parabola. Hol van a fókuszpontja illetve a vezéregyenese?
 

Feladat: 1.28.
Az általános f(x)= ax2 +bx+c függvény diszkriminánsa a D= b2 -4ac szám. Igazoljuk az alábbi általános összefüggéseket: a)Az f(x) függvény grafikonjának (mint parabolának) a csúcsa ( -b 2a ;  -D 4a ). b)Az f(x) függvény különböző nullhelyeinek (gyökeinek) száma 0, ha D<0; 1, ha D=0 és 2, ha D>0. (Ezért hívják diszkriminánsnak, megkülönbözteti az alapvető eseteket.) c)Az f(x) függvény gyökeinek különbsége D/a (ha D≥0).
 

Feladat: 1.29.
Hol pozitív az f(x)= ax2 +bx+c függvény értéke? (Feltesszük, hogy a≠0.)
 

Feladat: 1.30.
Határozzuk meg b és c értékét úgy, hogy az f:R→R, f:x→-2 x2 +bx+c függvénynek maximuma (-5) legyen és ezt a 10 helyen vegye fel!
 

Feladat: 1.31.
Milyen p valós számra teljesül minden valós x-re a px2 +12x-5<0 egyenlőtlenség?
 

Feladat: 1.32.
Határozzuk meg c értékét úgy, hogy az f:R→R függvény szélsőértékét a (-2) helyen vegye fel! Állapítsuk meg a szélsőértéket is!
a) f(x)= x2 +cx+1
 
b) f(x)=-4 x2 +cx+12
 
c) f(x)=(2x-c)(5+x)
 
d) f(x)=(x+c)(x-c)+c.

 

Feladat: 1.33.
Határozzuk meg p és q értékét úgy, hogy az f:R→R, f:x→ x2 +px+q függvénynek a) minimuma (-1) legyen és ezt a 3 helyen vegye fel; b) minimuma 5 legyen és ezt a 0 helyen vegye fel; c) a maximuma 500 legyen; d) csak egy zérushelye legyen, a (-10).
 

Feladat: 1.34.
Határozzuk meg b és c értékét úgy, hogy az f:R→R, f:x→-2 x2 +bx+c függvénynek a) két zérushelye 0 és 6 legyen; b) a maximuma 50 legyen és ezt a (-3) helyen vegye fel; c) a maximuma (-5) legyen és ezt a 10 helyen vegye fel; d) ne legyen maximuma.
 

Feladat: 1.35.
Melyek azok a valós számok, amelyekhez az f és a g:R→R függvény is pozitív értéket rendel? a) f(x)= x2 -x-20 és g(x)= x2 -4x-12 b) f(x)= x2 -x-20 és g(x)=- x2 +2x+8
 

Feladat: 1.36.
Határozzuk meg p és q értékét úgy, hogy az f:R→R, f:x→ qx2 +px+1 függvénynek csak egy zérushelye legyen, a (-10).
 

Feladat: 1.37.
Adjunk meg - az a, b, c paraméterekre vonatkozó - minél egyszerűbb szükséges és elégséges feltételt arra, hogy az ax2 +bx+c általános legfeljebb másodfokú polinom értéke minden valós x-re nemnegatív legyen!
 

Feladat: 1.38.
Milyennek válasszuk a valós p paramétert, hogy az fp (x)=(p-1) x2 -2px+p+3=0 függvény a) minden valós x esetén pozitív értéket vegyen fel? b) két pozitív zérushelye legyen?
 

Feladat: 1.39.
Határozzuk meg az m paraméter értékét úgy, hogy az

(m+2) x2 +(2m+3)x-2=0

egyenletnek két különböző, (-1)-nél kisebb valós gyöke legyen!
 

Feladat: 1.40.
Fejezzük ki a-val az

y=x-3+x-7

(1)

kifejezést, ha

x= a4 +20 a2 +16 4 a2

(2)

és 0<a≤2!
 

Feladat: 1.41.
Hogyan függ a k valós paraméter értékétől az

5+kx 2x-k =2

egyenlet megoldásainak száma? A k milyen értéke esetén lesz az egyenletnek 3-nál nagyobb megoldása?
 

Feladat: 1.42.
Milyen értékeket vesz fel az f(x)=x+1/x függvény? És a g(x)=x+2/x?
 

Feladat: 1.43.
Milyen értékeket vesz fel az h(x)= x2 +x+1 x+1 függvény?
 

Feladat: 1.44.
Milyen értékeket vesz fel a i(x)= x2 +2x+3 x+1 függvény?
 

Feladat: 1.45.
Hát a j(x)= x+2 x2 +x+1 milyen értékeket vesz fel?
 

Feladat: 1.46.
Az előző feladatok módszerét próbáljuk algoritmusként megfogalmazni egy olyan függvény értékkészletének meghatározására, amely két legfeljebb másodfokú polinom hányadosa.
 

Feladat: 1.47.
Oldjuk meg az alábbi paraméteres feladatot. Milyen p esetén van megoldása az x2 +x+1=p( x2 +3x+4) egyeletnek?
 

Feladat: 1.48.
Mi köze van az előző feladatnak az őt megelőzőkhöz? Melyik egyszerűbb módszer?
 

Feladat: 1.49.
Mikor pozitív (x-2)(x+1)(x+3)?
 

Feladat: 1.50.
Mikor pozitív

(x-1 )2 (x-2)(x+3) (x+1 )2 (x+4) ?

 

Feladat: 1.51.
Mikor pozitív

f(x)= x2 -x-6 x2 +2x-3 ?

És mikor lesz f(x)>2, illetve f(x)>-2?
 

Feladat: 1.52.
Théoden király végső harcba szólítja népét Sauron hordái ellen. Legkésőbb 5 napon belül meg kell ütközniük velük, hogy Gondor ne essen el. A leghűségesebb 3000 embere máris vele van, a többiek egyenletesen érkeznek a táborba: naponta c ember. A táborból Minas Tirith-be kell vonulniuk. Ha x emberrel y nap alatt érnek oda, akkor a csapat 10x y 1+y fős gyülevész orkhadat tud legyőzni. Hány fős az a maximális orkcsőcselék, amelyet le tudnak Rohanni? (Természetesen nem csak teljes napokat lehet várakozni. Oldjuk meg a feladatot c=1000 esetén először.)
 

Feladat: 1.53.
Ismeretes, hogy ha a vízszintes irányhoz képest x fokos szög alatt c kezdősebességgel elhajítunk egy követ, akkor a kő c2 sin2 x 2g magasságra emelkedik, és vízszintes irányban c2 sin2x g távolságra jut el (eltekintünk a légellenállástól és a hajítást a földfelszínről végezzük el), ahol g a nehézségi gyorsulás (tekintsük 9,8m/ s2 -nek). Milyen szög alatt hajítsuk el a követ, hogy a) a legmagasabbra emelkedjék? b) a legtávolabbra jusson el? c) legmagasabban 7,5m-re legyen a földfelszíntől és a hajítás helyétől 51,96m-re repüljön? Mekkora kezdősebességet kell adnunk neki?
 

Megoldás: 1.7
Az átalakítás során ezt kapjuk: ax2 +bx+c=a(x+b/2a )2 +c- b2 /4a=a((x+b/2a )2 + 4ac- b2 4 a2 )=0, ez pedig pontosak akkor megoldható, ha 4ac≤ b2 . Ebben az esetben a fenti egyenletet a-val egyszerűsítve ezt kapjuk: b2 -4ac=4 a2 (x+b/2a )2 . Vagyis 2ax+b=± b2 -4ac, innen a (két) megoldás:

x1,2 = -b± b2 -4ac 2a .

(Lásd még az 1.28 feladatot.)
 
 

Megoldás: 1.13
A két lényegesen eltérő szorzatalak x2 -1≡(x-1)(x+1)≡(x+3)(x-3)  (mod8). Ennél több nincs, hiszen ha az egyik tényezőt megadjuk, akkor a másik már egyértelműen megkapható a polinomosztás segítségével. (Lásd 3.12) De ha az első szorzatalakba behelyettesítjük a 3-at, akkor is 0-t kapunk, hiszen 2·4≡0  (mod8). Itt ugyanis nem igaz a fent idézett törvényszerűség, hogy egy szorzat csak akkor lehet 0, ha legalább az egyik tényezője 0.
 
 

Megoldás: 1.14
Szorozzuk meg f(x)-et egy konstanssal úgy, hogy a főegyütthatója megegyezzen g(x) főegyütthatójával. A gyökök továbbra is ugyanazok, de most már a két polinom különbsége h(x) legfeljebb elsőfokú, viszont a két gyök h(x)-nek is gyöke. Így viszont h(x) azonosan nulla, ez volt a bizonyítandó.

A bizonyítás során kihasználtuk, hogy két különböző gyök van. Ez persze nem feltétlenül igaz. De ha egy másodfokú ax2 +bx+c polinomnak csak egy gyöke van, p, akkor az 1.5 feladatbeli megoldóképletben (2ax+b )2 =0-t kapunk. Ennek gyöke p=-b/2a vagyis b=-2ap és c= ap2 . Azaz a polinom ax2 -2apx+ ap2 =a(x-p )2 . Ez igyaz f(x)-re és g(x)-re is, tehát tényleg egymás konstansszorosai.
 
 

Megoldás: 1.16
Az 1.5 feladat szerint a két gyök (ha léteznek) -b± b2 -4ac 2a . Vagyis a szorzatalak

a(x- -b+ b2 -4ac 2a )(x- -b- b2 -4ac 2a ).

 
 

Megoldás: 1.21
Átalakítva f(x)=(x-2 )2 +c-4. Ez minimális az x=2 helyen, itt az értéke c-4. Ha c≤4, akkor metszi ( c=4 esetén érinti) az x tengelyt, mégpedig x-2=±4-c, azaz x1,2 =2±4-c esetén. Az y tengelyt y=c-ben metszi. A c megadott értékei esetén a függvény grafikonja rendre az x tengely felett, azt érintve illetve azt metszve helyzkedik el. A grafikonok szimmetrikusak az x=2 egyenesre. (A grafikon egy parabola, ezt az 1.27 feladatban bizonyítjuk be, de addig is hallgatólagosan használjuk, legalábbis az elnevezését.)
 
 

Megoldás: 1.32
a) Ez már volt az 1.25 feladatban. b) és c) Lásd az 1.5 feladatot, vagyis a másodfokú függvény megoldóképletét.
 
 

Megoldás: 1.35
Az 1.28 feladatot használva b=40 és 8c+ b2 =D=-40, vagyis c=-205.
 
 

Megoldás: 1.39
a) c=f(0)=0) és -72+6b=f(6)=0 adja b=12-t. b) A csúcspont ( b 4 ;  b2 +8c 8 ). Vagyis b=-12 és így 8c=400-144 miatt c=32. c)Ezt már megoldottuk 1.30-ben, b=40, c=-205. d)Ez nem fordulhat elő, hiszen a főegyüttható pozitív.
 
 

Megoldás: 1.40
Használjuk az 1.29 feladat megoldását. a) f gyökei -4 és 5, ezeken kívül pozitív, g gyökei -2, 6, ezeken kívül pozitív, vagyis a megoldás: x<-4 és x>6 intervallumok. b)Itt az új g gyökei -2 és 4, a két gyök között pozitív, vagyis nincs közös pozitivitási tartománya a két függvénynek.