3. FEJEZET: Polinomok

Feladat: 3.1.
Igazoljuk, hogy ha a+1/a egész akkor an +1/ an is egész.
 

Feladat: 3.2.
Binom köbe x3 + ax2 -nel kezdődik. Fejezzük be!
 

Feladat: 3.3.
Az x2 -6x+7=0 egyenlet megoldásakor teljes négyzetté alakítást végzünk, azaz az y=x-3 helyettesítéssel az egyenletet az y2 -2=0 alakra hozzuk. Hozzuk az x3 +6 x2 -x+3=0 harmadfokú egyenletet y=x-a alakú helyettesítéssel y3 +py+q=0 alakra! Adjuk meg a, p és q értékét!
 

Feladat: 3.4.
Írjuk föl a 2 x3 -33 x2 + 181x -333 polinomot (x-5) hatványai szerint!
 

Feladat: 3.5.
Az a valós együttható mely értéke esetén lesz a 3 gyöke a 2 x5 -3 x4 + ax3 - x2 +3x-9 polinomnak?
 

Feladat: 3.6.
Az a valós együttható mely értéke esetén emelhető ki (x-3) a 2 x5 -3 x4 + ax3 - x2 +3x-9 polinomból?
 

Feladat: 3.7.
Osszuk el az x7 +1 polinomot maradékosan x3 +1-gyel.
 

Feladat: 3.8.
Mutassunk két egészegyütthatós polinomot, amelyek közül az egyiket maradékosan osztva a másikkal a hányados és a maradék nem lesznek egész együtthatósak.
 

Feladat: 3.9.
Mutassuk meg, hogy ha egy egészegyütthatós polinomot osztunk egy 1 főegyütthatós egészegyütthatós polinommal, akkor a hányados és a maradék is egész együtthatósak lesznek.
 

Feladat: 3.10.
Bizonyítsuk be, hogy egy polinomból pontosan akkor lehet kiemelni az x-1-et, ha az együtthatóinak az összege 0.
 

Feladat: 3.11.
Bizonyítsuk be, hogy egy polinomból pontosan akkor lehet kiemelni az x-a-t, ha a gyöke a polinomnak.
 

Feladat: 3.12.
A 3.11 feladatban beláttuk, hogy ha x0 gyöke a p(x) polinomnak, akkor (x- x0 ) kiemelhető a polinomból, azaz létezik olyan q(x) polinom, amelyre p(x)=(x- x0 )·q(x). Ebben a feladatban azt vizsgáljuk, hogy ez milyen együtthatótartomány esetén igaz. a) Mutassuk meg, hogy ha x0 ∈Z, akkor a hányados q(x)∈Z[x]. b) Mutassuk meg, hogy ha x0 ∈ Fp , akkor a hányados q(x)∈ Fp [x]. (Azaz az együtthatók modulo p értendők, ahol p egy prímszám.) c) Mutassuk meg, hogy ha x0 ∈ Fk , akkor a hányados q(x)∈ Fk [x]. (Azaz az együtthatók modulo k értendők, ahol k>1 most kifejezetten nem prímszám.) d) Fogalmazzuk meg, hogy pontosan mire van szükség, hogy lehessen kiemelni. Keressünk olyan számköröket, ahol ez nem működik.
 

Feladat: 3.13.
Bizonyítsuk be, hogy ha a p(x) valós polinomnak gyöke a különböző a és b, akkor szimultán kiemelhetők, azaz p(x)=(x-a)(x-b)q(x) egy alkalmas q(x) valós polinommal.
 

Feladat: 3.14.
Mutassuk meg, ha p(x) együtthatói olyan számkörből kerülnek ki, amelyben az összeadás, kivonás, szorzás elvégezhető és két nemnulla szám szorzata sem nulla, akkor teljesül a 3.13 feladat állítása.
 

Feladat: 3.15.
Bizonyítsuk be, hogy egy n-edfokú valós együtthatós - nem azonosan nulla - polinomnak legfeljebb n db (valós) gyöke van!
 

Feladat: 3.16.
(Horner elrendezés) Írjuk fel a h(x)=2 x4 -5 x3 -5 x2 +4x+7 polinomot h(x)=(((2x-5)x-5)x+4)x+7 alakban. Hány műveletet kellet elvégezni az első típusú felíráshoz, hányat a másodikhoz? Egy általános n-edfokú polinom esetén mi a válasz?
 

Feladat: 3.17.
Helyettesítsük be a h(x)=2 x4 -5 x3 -5 x2 +4x+7 polinom Horner elrendezettjébe az x=3-at: Írjuk fel az együtthatókat egy sorba, és utána legbelülről haladva minden összeadás eredményét írjuk a második sorba az együttható alá, minden szorzás eredményét pedig írjuk a harmadik sorba a szorzandó alá.

2-5-547 21-2-21 63-6-6

Az így létrejött táblázat második sorában van a h(x)=k(x)(x-3)+h(3) felbontás. Hogyan? Miért?
 

Feladat: 3.18.
Ellenőrizzük, hogy 12 x4 -4 x3 -21 x2 -2x+3 gyökei -1; -1/2; 1/3; 3/2.
 

Feladat: 3.19.
Jani a Horner módszerrel ellenőrzi, hogy gyöke-e egy racionális szám egy egész együtthatós polinomnak. Észreveszi, hogy ha a számolás során tört számot kap, akkor a végén soha nem lesz 0 a maradék. Bizonyítsuk be, hogy Jani megfigyelése helyes.
 

Feladat: 3.20.
Következtessünk az előző feladat (3.19) megfigyeléséből arra, hogy ha egy egész együtthatós polinomnak p/q gyöke, akkor nem csak x-p/q, hanem qx-p is kiemelhető belőle.
 

Feladat: 3.21.
Bontsuk tényezőkre az alábbi kifejezést: x3 +8 x2 +17x+10.
 

Feladat: 3.22.
Oldjuk meg a természetes számok halmazán az x4 -3 x3 -x+3≥0 egyenlőtlenséget!
 

Feladat: 3.23.
Oldjuk meg az x4 + x3 -29 x2 -9x+180=0 egyenletet!
 

Feladat: 3.24.
Legyen f(x)= a0 + a1 x+ a2 x2 +…+ an xn egy n-edfokú egész együtthatós polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a p/q ( p, q relatív prímek) racionális szám gyöke f(x)-nek, akkor p| a0 és q| an .
 

Feladat: 3.25.
Mutassuk meg, hogy az x4 -(k+3) x3 -(k-11) x2 +(k+3)x+(k-12)=0 egyenlet két gyöke nem függ k-tól. A további két gyök k mely értékei mellett lesz valós?
 

Feladat: 3.26.
Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

1+2x-x3-2x6=0

(1)

 

Feladat: 3.27.
(Vieta formulák) Jelölje x1 , x2 és x3 az x3 +px+q=0 egyenlet három gyökét. Fejezzük ki x1 + x2 + x3 -at, x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 -at és x1 x2 x3 -at p és q segítségével!
 

Feladat: 3.28.
Jelölje x1 , x2 és x3 az x3 +px+q=0 egyenlet három gyökét. Határozzuk meg x1 5 + x2 5 + x3 5 értékét!
 

Feladat: 3.29.
Legyenek x1 , x2 , x3 az x3 +px+q polinom gyökei. Számítsuk ki az

x1 4 x2 2 + x1 2 x2 4 + x2 4 x3 2 + x2 2 x3 4 + x3 4 x1 2 + x3 2 x1 4

kifejezés értékét!
 

Feladat: 3.30.
Írjunk fel olyan harmadfokú polinomot, amelynek gyökei az x3 -2 x2 -x+1 polinom a) gyökeinek ellentettjei! b) gyökeinek kétszeresei! c) gyökeinél eggyel nagyobbak! d) gyökeinek reciprokai! e) gyökeinek négyzetei!
 

Feladat: 3.31.
Adjuk meg azokat az x, y valós számokat, amelyekre

x+y=1 x5 + y5 =31 }

(1)

 

Feladat: 3.32.
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán!

x2 =y+z+2 y2 =x+z+2 z2 =x+y+2 }

(1)

 

Feladat: 3.33.
Legyen k teszőleges pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges k-adfokú polinom p(x) különbségpolinomja k-1-edfokú. (A különbségpolinom q(x)=p(x)-p(x-1).)
 

Feladat: 3.34.
Bizonyítsuk be, hogy ha két polinomnak ugyanaz a különbségpolinomja, akkor különbségük konstans. Vagyis, egy helyen megegyezik az értékük, akkor egyenlőek.
 

Feladat: 3.35.
Az előző 3.34 feladat segítségével határozzuk meg azt az f(x) polinomot, amelynek n helyen felvett értéke az első n pozitív szám összege.
 

Feladat: 3.36.
Határozzuk meg azt a g(x) polinomot, amelynek n helyen felvett értéke az első n pozitív szám négyzetösszege.
 

Feladat: 3.37.
Számoljuk ki a következő összeget általános n-re:

∑0≤a<b≤n (a+b).

 

Feladat: 3.38.
Adjuk meg az összes olyan n-edfokú valós polinomot, amely minden egész helyen egész értéket vesz fel!
 

Feladat: 3.39.
(Schönemann-Eisenstein kritérium) a) Bizonyítsuk be, hogy ha a

q(x)= xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+ a1 x+ a0

(1)

egészegyütthatós polinom an-1 , an-2 , …, a1 , a0 együtthatói mind oszthatók a p prímszámmal, de a0 nem osztható p2 -tel, akkor q(x) nem írható fel két n-nél kisebb fokú egészegyütthatós polinom szorzataként. b) Bizonyítsuk be, hogy a fenti feltételek mellett racionális együtthatós polinomok szorzataként sem lehet felírni q(x)-et!
 

Feladat: 3.40.
Legyen f(x)= a2n+1 x2n+1 + a2n x2n +…+ a1 x+ a0 egészegyütthatós polinom. Tegyük fel, hogy van olyan p prím, amellyel

p\nmid a2n+1 , p∣ a2n , p∣ a2n-1 ,…, p∣ an+1 ,  p2 ∣ an ,  p2 ∣ an-1 ,…,  p2 ∣ a0 ,  p3 \nmid a0 .

Bizonyítsukk be, hogy ekkor f(x) nem bontható fel két kisebb fokú egészegyütthatós polinom szorzatára.
 

Feladat: 3.41.
Adjunk példát olyan valós együtthatós polinomra, amelynek nincsen valós gyöke, mégsem irreducibilis, azaz felbomlik nála kisebb fokú polinomok szorzatára!
 

Feladat: 3.42.
Döntsük el, hogy a

x4 + x3 + x2 +x+1

polinom irreducibilis-e a megadott gyűrűben és ha nem, akkor bontsuk fel irreducibilis tényezők szorzatára!
a) Q[x]-ben;
 
b) R[x]-ben;
 
c) F2 [x]-ben;
 
d) F5 [x]-ben.

 

Feladat: 3.43.
a) Határozzuk meg a

p(x)= x4 + x3 -4 x2 -14x-8

(1)

és

q(x)=4 x6 -12 x5 - x4 +5 x3 +15 x2 +4x-6

(2)

polinomok legnagyobb közös osztóját! b) Határozzuk meg a fenti q(x) polinom összes valós gyökét!
 

Feladat: 3.44.
F2 [x]-ben dolgozunk. a) Számítsuk ki a

p(x)=1+ x2 + x3 + x4 + x7 + x11 + x12 , q(x)=1+ x2 + x3 + x5 + x8 + x9 + x13 + x15 + x16 .

polinomok legnagyobb közös osztóját és b) fejezzük azt ki a(x)p(x)+b(x)q(x) alakban ( a(x),b(x)∈ F2 [x]).
 

Feladat: 3.45.
Határozzuk meg az

x4 + px2 +q

(1)

polinomban p-t és q-t úgy, hogy osztható legyen a ( x2 +2x+5) polinommal!
 

Feladat: 3.46.
Határozzuk meg p és q értékét úgy, hogy ( x4 +9) osztható legyen ( x2 +px+q)-val!
 

Feladat: 3.47.
Hogyan kell megválasztani a p és a q együttható értékét ahhoz, hogy a 3 kétszeres multiplicitású gyöke legyen az alábbi egyenletnek?

2 x4 - qx3 +13 x2 +3x+p=0

(1)

 

Feladat: 3.48.
a) Osszuk el maradékosan az x3 +px+q polinomot az (x-a )2 polinommal! b) A p, q paraméterek mely valós értékei esetén van olyan a valós szám, hogy az x3 +px+q polinom osztható az (x-a )2 polinommal? c) Adjuk meg p és q olyan polinomját, amelynek értéke akkor és csakis akkor 0, ha az x3 +px+q polinomnak van kétszeres gyöke!
 

Feladat: 3.49.
a) A c valós paraméter mely értéke esetén lesz az x5 -5x+c=0 egyenlet gyökei között kettő egyenlő? b) Milyen összefüggésnek kell fennálnia az x5 +px+q=0 ötödfokú egyenlet p és q együtthatói között, hogy az egyenletnek legyen két egyenlő gyöke?
 

Feladat: 3.50.
Az x3 +px+q=0 harmadfokú egyenletben határozzuk meg a p együttható értékét úgy, hogy két gyök egymásnak reciprok értéke legyen. Határozzuk meg ebben az esetben a gyököket!
 

Feladat: 3.51.
Bizonyítsuk be, hogy ha az a,b,c számok egyike sem negatív, akkor az x3 - ax2 -bx-c=0 egyenletnek nem lehet egynél több pozitív gyöke!
 

Feladat: 3.52.
Keressük meg azt a legalacsonyabb fokszámú p(x) polinomot, amelyre teljesül, hogy a) p(x) együtthatói egész számok; b) p(x) elsőfokú tényezők szorzatára bontható; c) p(x) gyökei egész számok; d) p(0)=-1; e) p(3)=128.
 

Feladat: 3.53.
Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b számok egyike sem negatív, akkor a3 -3 ab2 +2 b3 sem negatív!
 

Feladat: 3.54.
Bontsuk négy elsőfokú valós együtthatós polinom szorzatára az x4 -14 x2 +9 polinomot!
 

Megoldás: 3.6
Behelyettesítve 3-at 234+27a-t kapunk. Ez pontosan akkor 0, ha a=- 26 3 . (Ez persze ugyanaz, mint a 3.6 feladat.)
 
 

Megoldás: 3.7
Kiemelés után 2 x5 -3 x4 + ax3 - x2 +3x-9=(x-3)(2 x4 +3 x3 +(9+a) x2 +(26+3a)x+(81+9a))+243+27a. Emiatt a=- 26 3 . (Ez persze ugyanaz, mint a 3.5 feladat.)
 
 

Megoldás: 3.13
1. megoldás. Legyen p(x) tetszőleges polinom. Mivel a· xn -a· yn -ből x-y kiemelhető, ezért a tagonként tekintett p(x)-p(y) különbségből x-y kiemelhető. Ha most y=a, akkor azt kapjuk, hogy p(x)-p(a)-ból x-a kiemelhető. Ebből azonnal látszik, hogy pontosan akkor p(a)=0, ha p(x)-ből x-a kiemelhető.
 
2. megoldás. Legyen a kérdéses polinom p(x). Ha x-a kiemelhető, azaz p(x)=q(x)(x-a), akkor p(a)=q(a)(a-a)=0.

Fordítva a polinom fokszámára vonatkozó indukcióval bizonyíthatunk, lásd a 3.10 feladatot. De most más utat választunk. Azt akarjuk bizonyítani, hogy ha p(a)=0, akkor x-a kiemelhető. Osszuk p(x)-et maradékosan x-a-val: p(x)=q(x)(x-a)+r(x). Mivel r(x)-ből már nem emelhető ki x-a, így r(x) foka kisebb, mint 1, vagyis konstans. Helyettesítsünk be a-t mindkét oldalba 0=p(a)=q(a)(a-a)+r(a)=0+r(a), vagyis r(x) konstans 0, és pont ezt akartuk bizonyítani. Azt kaptuk, hogy általában x-a-val osztva egy polinomot, a maradék p(a).
 
 

Megoldás: 3.14
Az a), b) és c) esetben is ugyanazt a módszert alkalmazzuk, mint a 3.11 feladat bizonyításában. Használjuk az

xn - yn =(x-y)( xn-1 + xn-2 y+ xn-3 y2 +…+ yn-1 )

(1)

felbontást. Emiatt minden p(x)= axn típusú polinom esetén p(x)-p(a)-ból ki tudjuk emelni x-a-t. De mivel minden polinom ilyenek összege, ezért az állítás minden polinomra igaz. Ezek szerint arra volt szükség a kiemeléshez, hogy teljesüljön a fenti (1) egyenlőség és szabadon lehessen szorozni, illetve összeadni, kivonni. Ezek minden középiskolában ismert, szokásos számkörben teljesülnek. Kivételt csak az olyan konstrukciók jelentenek, mint például a "páros számok", a "pozitív egészek" vagy az "irracionális számok." Ezekben a számkörökben a fenti állítás nem igaz, más-más okból.
 
 

Megoldás: 3.15
A 3.11 feladat szerint p(x)=(x-a)r(x) felírható. Ha r(x)-nek is gyöke b, akkor ugyanemiatt kész vagyunk. De r(b)=p(b)/(a-b)=0 írható, mivel a-b≠0.
 
 

Megoldás: 3.16
Először is a gyöktényező kiemelhető, hiszen x-a kiemeléséhez osztásra nincs szükség (lásd a 3.9 feladatot). A hányadospolinom együtthatóit is osztás nélkül kaptuk meg. Tehát felírható a p(x)=(x-a)r(x) alak. Ha r(x)-nek is gyöke b, akkor kész vagyunk. De p(b)=(a-b)r(b), csak úgy lehet 0, ha r(b)=0, mivel a-b≠0.
 
 

Megoldás: 3.32
Használjuk a Vieta formulákat (3.27 feladat) és megpróbáljuk a keresett hatványösszeget ezekkel kifejezni.

x1 5 + x2 5 + x3 5 = = ( x1 + x2 + x3 )( x1 4 + x2 4 + x3 4 )- -( x1 4 x2 + x1 4 x3 + x2 4 x1 + x2 4 x3 + x3 4 x1 + x3 4 x2 )= = 0-( x1 + x2 + x3 )( x1 3 x2 + x1 3 x3 + x2 3 x1 + x2 3 x3 + x3 3 x1 + x3 3 x2 )+ +( x1 3 x2 2 + x1 3 x3 2 + x2 3 x1 2 + x2 3 x3 2 + x3 3 x1 2 + x3 3 x2 2 )+ +2( x1 3 x2 x3 + x2 3 x1 x3 + x3 3 x1 x2 )= = 0+( x1 + x2 + x3 )( x1 2 x2 2 + x1 2 x3 2 + x2 2 x3 2 +2( x1 2 x2 x3 + x2 2 x1 x3 + x3 2 x1 x2 ))- -5( x1 2 x2 2 x3 + x1 2 x3 2 x2 + x2 2 x3 2 x1 )= = -5 x1 x2 x3 ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )=5pq.

 
 

Megoldás: 3.33
Használjuk a Vieta formulákat (3.27 feladat) és megpróbáljuk a keresett hatványösszeget ezekkel kifejezni.

x1 4 x2 2 + x1 2 x2 4 + x2 4 x3 2 + x2 2 x3 4 + x3 4 x1 2 + x3 2 x1 4 = = ( x1 2 + x2 2 + x3 2 )( x1 2 x2 2 + x1 2 x3 2 + x2 2 x3 2 )-3 x1 2 x2 2 x3 2 = = [( x1 + x2 + x3 )2 -2( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )]· ·[( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )2 -2( x1 2 x2 x3 + x2 2 x1 x3 + x3 2 x1 x2 )]-3( x1 x2 x3 )2 = = [0-2p][ p2 -2·0·(-q)]-3(-q )2 =-2 p3 -3 q2 .