15. FEJEZET: Egyenlőtlenségek
Feladat: 15.1. Létezik-e a változóknak olyan értéke, amelyekre a megadott két
egyenlőtlenség közül pontosan az egyik teljesül? Ha igen, adjunk
meg ilyen értékeket!
a)
a>b, 5·a>5·b,
b)
a>b, a+5>b+5,
c)
a>b, c·a>c·b,
d)
a>b, a+c>b+c,
e)
a>b,
a2
>
b2
,
f)
a>b,
1
a
>
1
b
,
g)
a>b,
a3
>
b3
,
Feladat: 15.2. Igaz-e, hogy
a) ha
a>b és
c>d, akkor
a·c>b·d?
b) ha
a·c>b·d, akkor
a>b és
c>d?
c) ha
a·c>b·d és
a>b, akkor
c>d?
Feladat: 15.3. [
65] Egy iskolában a tanév évgén 14 jó tanuló között
5000 forintos és
2000 forintos könyvutalványokat akarnak szétosztani, legfeljebb
50 000 forint értékben.
a) Legfeljebb hány tanuló kaphat 5000 Ft-os utalványt?
b)
50 000 forintból legfeljebb hány tanulót lehet
5000 vagy 2000 forintos utalvánnyal jutalmazni?
Feladat: 15.4. [
65] Egy egész szám háromszorosa nagyobb, mint 16, kétszerese kisebb,
mint 14.
Mi lehet ez a szám?
Feladat: 15.5. [
65] Egy egész szám háromszorosa nagyobb, mint 1000, a kétszerese
kisebb,mint 1500. Mi lehet a szám?
Feladat: 15.6. [
65] Egy számhoz négyet adva kisebb számot kapunk a kétszeresénél.
Nagyobb-e ez a szám háromnál?
Feladat: 15.7. [
65] Van-e olyan pozitív egész szám, amelyiknek a hatszorosa nagyobb a
nála 128-cal nagyobb számnál?
Feladat: 15.8. [
65] Egy fogaskeréken 30 fog van. Ha tizenháromszor megforgatjuk, akkor
a hozzákapcsolódó másik fogaskerék nem egészen kilencszer fordul.
Hány foga lehet a másik fogaskeréknek?
Feladat: 15.9. [
65] Balázs 5
m
s
sebességgel fut. Sanyival versenyt futva fél
perc alatt legalább 15 méteres előnyre tesz szert minden
alkalommal.
Legfeljebb milyen sebességgel tud Sanyi futni?
Feladat: 15.10. [
65] Attila 10
km
h
sebességgel kerékpározik. Laci 15 perc
múlva indul utána. Negyedóra múlva is még több, mint 1 km-rel van
Attila mögött.
Mekkora lehet Laci sebessége?
Feladat: 15.11. [
65] Egy motoros 50
km
h
sebességgel halad Szegedről Pestre.
Indulása után fél
órával egy autó ered utána. A vezető 1 órán belül utol szeretné
érni a motorost.
Legalább hány km-t kell megtennie óránként?
Feladat: 15.12. [
65] Zsuzsi és Kati úszásban versenyeztek. Kati 5 perc alatt több mint
18 méterrel marad le. Zsuzsi percenként 50 métert úszik. Hány
métert úszik Kati percenként?
Feladat: 15.13. [
65] Gondoltam egy egész számot, amelyhez 5-öt adva, kisebb számot
kaptam a gondolt szám kétszeresénél, 14-et adva, nagyobbat a
gondolt szám háromszorosánál. Mi lehet ez a szám?
Feladat: 15.14. [
65] Egy egész szám
1
15
-öd része nagyobb, mint 3. A
2
3
része kisebb, mint 31. Mi lehet ez a
szám?
Feladat: 15.15. [
65] Egy szám
3
5
része nagyobb, mint a
8
5
-énél
10-zel nagyobb szám. Nagyobb-e ez a szám 147,5-nél?
Feladat: 15.16. [
65] Ádám és Éva naptárokat gyűjt. Ádámnak január 1-én már volt három
naptárja, és ezután naponta kettőt szerzett. Éva csak január 2-án
kezdett a naptárgyűjtéshez, de ő attól kezdve minden nap hármat
szerzett. Hányadikán lett Évának több naptárja, mint Ádámnak?
Feladat: 15.17. [
65] Egy téglalap egyik oldala
1
3
. Mekkora lehet a másik
oldala, ha tudjuk, hogy a téglalap területének mérőszáma
a) kisebb, mint a kerületé;
b) nagyobb, mint a kerületé;
c) ugyanakkora, mint a kerületé?
Feladat: 15.18. [
65] Egy kétjegyű szám egyik jegye kétszerese a másiknak. A jegyeket
felcserélve a szám nő, de ez a növekedés kevesebb, mint 48. Mi
lehet a szám?
Feladat: 15.19. [
65] Egy kétjegyű szám jegyeinek az összege 10. A szám kisebb a
számjegyei felcserélésével kapott szám felénél. Mi lehet a szám?
Feladat: 15.20. [
65] Egy motorkerékpáros elindul, és 50 km/óra sebességgel halad. Fél
óra múlva autó indul utána sürgős üzenettel, amit egy órán belül
át kell adnia. Legalább mekkora sebességgel kell haladnia?
Feladat: 15.21. [
65] Marci nagyon lassan rakja fel a sakkfigurákat. Még a 8 tisztet sem
helyezte fel, mikorra Gergő már mind a 16 figurát felállította.
Gergő egyedül 1 perc alatt rakta föl az összes bábút. Készen
vannak-e 40 mp alatt, ha együtt rakják föl az összes figurát?
Feladat: 15.22. [
65] Milyen x-re igazak a következő egyenlőtlenségek?
a)
3x+71<2000
b)
-3x+71<2000
c)
3
x
<21
d)
3x≥6-
2x-4
5
e)
2·(x+3)≤9·(2x-1)
Didaktikai javaslat. Próbáljuk összeszedetni a diákokkal, milyen módszereket
alkalmaztak az egyenlőtlenségek megoldása közben!
Gondoljuk meg együtt, hogy ugyanúgy bánhatunk-e az
egyenlőtlenségekkel, mint az egyenletekkel!
Feladat: 15.23. [
65] Milyen
x-re igazak a következő egyenlőtlenségek?
a)
3(x-2)>0
b)
3
x-2
>0
c)
5(2x-3)<0
d)
5
2x-3
<0
e)
(x+1)(2x-1)>0
f)
x+1
2x-1
>0
g)
3
x-2
>1
Segítség, útmutatás: 15.23
Gondoljuk meg, hogy egy szorzat, illetve egy tört értéke milyen
esetekben lehet pozitív!
g) Rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik
oldalon
0 álljon!
Feladat: 15.24. [
65] Milyen
x-re igazak a következő egyenletek és egyenlőtlenségek?
a)
x-7=3·(x-7)
b)
1
x-7
=
3
x-7
c)
x-7<3·(x-7)
d)
1
x-7
<
3
x-7
e)
x-7>3·(x-7)
f)
1
x-7
>
3
x-7
Feladat: 15.25. [
65] Milyen pozitív egész számokra igazak a következő egyenlőtlenségek?
a)
2·(x+2)>3-25x
b)
3·(x-2)-5<x+5
c)
7x-6≥
28x+24
4
d)
2x-7>x-
39-4x
4
e)
-
x
5
≤2x-
4-6x
15
Feladat: 15.26. [
65] Milyen
x-re igazak a következő egyenlőtlenségek?
a)
2x-1
3
≤10-
3x-1
2
b)
1-2x
3
+
x
2
<x-2
c) Nézzük meg ezt is, hogy milyen
x-re igaz egyszerre
az a), b) egyenlőtlenség!
Feladat: 15.27. [
65]
6 liter 15 fokos vízből 16 liter 40 foknál nem melegebb vizet
szeretnénk kapni. Milyen meleg lehet az a 10 liter víz, amit
hozzáöntünk?
Feladat: 15.28. [
65] Egy 18-nál nagyobb számra gondoltam. Amikor a gondolt szám
háromszorosához 2-t adtam, nagyobb számot kaptam, mint a
gondolt számnál 12-vel nagyobb szám. Amikor viszont a gondolt szám
négyszereséből hatot elvettem, kisebb számot kaptam, mint a
gondolt szám háromszorosánál 14-gyel nagyobb szám. Mire
gondolhattam?
Feladat: 15.29. [
65] Egy edényben 20 liter víz van. Milyen meleg lehet, ha 6 liter 30
fokos vizet hozzáöntve, 40 fokosnál melegebb lesz a víz. Ha
viszont 6 liter 45 fokos vizet öntünk hozzá, akkor sem éri el az
edényben levő víz az 50 fokot?
Feladat: 15.30. [
65] Milyen meleg lehet 10 liter víz, ha 6 liter
15∘
C-os víz
hozzáadása után az így kapott 16 liter víz még mindig
40∘
C-osnál is melegebb?
Feladat: 15.31. [
65] Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 9. A jegyek felcserélésével
olyan számot kapunk, amely az eredeti szám kétszerese és
háromszorosa közé esik. Melyik ez a kétjegyű szám?
Feladat: 15.32. [
65]
a) Van-e olyan szám, amelynek a négyszereséből kettőt
elvéve kisebb számot kapunk, mint ha a háromszorosához hetet
adunk, maga a szám pedig nagyobb, mint a nála 5-tel nagyobb szám?
b) Van-e olyan szám, amelynek a hatszorosához tizenötöt
adva a szám ötszörösénél 1-gyel nagyobb számnál is nagyobbat
kapunk, másfélszereséből hetet elvéve még magánál a számnál is
nagyobb számhoz jutunk?
c) Az a), b) feladat közül annak a szövegét, amelynek nem
volt megoldása, módosítsuk úgy, hogy legyen megoldása. Oldjuk is
meg!
Feladat: 15.33. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!
a)
x-3≥0
b)
3-2x≥0
c) Mely
x valós számokra teljesül egyszerre az a) és a
b) egyenlőtlenség?
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket is!
d)
(x-3)·(3-2x)≥0
e)
x-3
3-2x
≥0
f)
(x-3)+(3-2x)≥0
g)
(x-3
)2
·(3-2x
)2
≥0
h)
(x-3
)2
(3-2x
)2
≥0
i)
(x-3
)2
·(3-2x)≥0
Feladat: 15.34. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!
a)
x+1≥0
b)
2-x≥0
c) Mely
x valós számokra teljesül egyszerre az a) és a
b) egyenlőtlenség?
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket is!
d)
(x+1)·(2-x)≥0
e)
x+1
2-x
≥0
f)
(x+1)+(2-x)≥0
g)
(x+1
)2
·(2-x
)2
≥0
h)
(x+1
)2
(2-x
)2
≥0
i)
(x+1
)2
·(2-x)≥0
Feladat: 15.35. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!
a)
(x-1)·(x-10)>0;
b)
x-2
3-x
>0;
c) Mely
x valós számokra teljesül egyszerre az a) és a
b) egyenlőtlenség?
d) Oldjuk meg az
(x-1)·(x-10)·(x-2)
3-x
>0 egyenlőtlenséget!
Feladat: 15.36. [
65] Melyik megoldás jó és miért? Keressük meg a hibát a hibás
okoskodásokban !
Számegyenesen is jelöljük a megoldásokat!
I.megoldás:
Végigszorozzuk az egyenlőtlenséget
(4x-2)-vel
|
7x-3
<0
(0.1)
x
<-
3
7
(0.2)
|
Lásd az
1. ábrát!
1. ábra
Egy tört csak úgy lehet negatív, ha számlálója és nevezője
különböző előjelű. Két eset lehet:
| 1. eset | | 2. eset |
|
7x-3 > 0 | |
7x-3 < 0 |
| és | | és |
|
4x-2 < 0 | |
4x-2 > 0 |
| ebből | | ebből |
|
x >
3
7
| |
x <
3
7
|
| és | | és |
|
x <
1
2
| |
x >
1
2
|
| | Ez a két feltétel |
| | egyszerre nem teljesülhet. |
Tehát a megoldás:
III.megoldás:
A
7x-3
4x-2
< 0 egyenlőtlenség megoldásában úgy
akarunk elindulni, hogy az egyenlőtlenség két oldalát pozitív
számmal szorozzuk, ekvivalens átalakítást végzünk. Ez azt jelenti,
hogy az új egyenlőtlenségnek ugyanazok a gyökei, mint az
eredetinek. Amikor negatív számmal szorozzuk az egyenlőtlenség
mindkét oldalát, akkor megfordul az egyenlőtlenség jele, és az így
kapott egyenlőtlenség lesz az eredetivel ekvivalens. Ezért két
esetet kell megnézni:
| 1. eset | 2. eset |
|
4x-2 > 0 |
4x-2 < 0 |
| vagyis | vagyis |
|
x >
1
2
|
x <
1
2
|
|
(4x-2)-vel szorozzuk: |
(4x-2)-vel szorozzuk: |
| Itt nem fordul meg az egyenlőtlenség. | Itt megfordul az
egyenlőtlenség. |
|
7x-3 < 0 |
7x-3 > 0 |
|
x <
3
7
|
x >
3
7
|
|
x <
3
7
és
x >
1
2
| |
| nem lehet egyszerre igaz, |
| így ebből nem adódik megoldás | Ebből
azt kapjuk: |
|
3
7
< x <
1
2
|
IV.megoldás:
Látható, hogy a számláló, illetve a nevező
x=
3
7
illetve
x=
1
2
esetén zérus. Osszuk fel a számegyenest ezekkel az
osztópontokkal és vizsgáljuk a számláló és a nevező előjelét az
egyes részeken és a határpontokban külön-külön. Az alábbi táblázat
sorai a tört számlálójának, nevezőjének illetve magának a törtnek
felel meg, az oszlopok a számegyenes megadott részére vonatkoznak.
Az utolsó sorból leolvasható a feladat megoldása:
3
7
<x<
1
2
.
|
x<
3
7
|
x=
3
7
|
3
7
<x<
1
2
|
x=
1
2
|
1
2
<x |
|
3x-7 |
- | 0 |
+ |
+ |
+ |
|
4x-2 |
- |
- |
- | 0 |
+ |
|
3x-7
4x-2
|
+ | 0 |
- | nem ért. |
+ |
Milyen tanulságok vonhatók le a megoldásokból?
Feladat: 15.37. [
65] Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket!
a)
7x+3
4x-2
> 0;
b)
7x+3
4x-2
< 2;
c)
3x-8
5-x
≥ 2;
d)
3(x-3)
2(x-3)
<
4x-7
x-3
.
Segítség, útmutatás: 15.37
A b) feladatban érdemes úgy rendezni, hogy az egyik oldalon
0
álljon, mert úgy közös nevezőre hozás után az a) feladattal azonos
nehézségűvé válik a probléma.
Feladat: 15.38. [
65] Hozzátartozik-e az adott egyenlőtlenség megoldáshalmazához a
megadott intervallum?
| Egyenlőtlenségek: | | Intervallumok: |
| | |
| a)
2
x-4
< -1 | |
[5,10] |
| | |
| b)
x-1
x+2
>
x+3
x+2
| |
[-4,-3] |
| | |
| c)
x
x-3
>
1-x
3-x
| |
[-1,1]
|
Feladat: 15.39. [
65] Ekvivalensek-e a következő egyenlőtlenségek?
| a) | |
x-3
x-1
> 3 | | és | |
x-3 > 3(x-1) |
| b) | |
x+3 > 2 | | és | |
x+
1
x
+3 > 2+
1
x
|
Feladat: 15.40. [
65] Milyen
x-re teljesül egyszerre a következő két egyenlőtlenség?
x+2
x-1
<
1
2
és
1
2
<
x-1
x+2
Feladat: 15.41. [
65] Milyen
x-re igaz a következő egyenlőtlenség?
Feladat: 15.42. [
65] Milyen
x-re igazak a következő egyenlőtlenségek?
a)
x+6
3x-2
≥11
b)
x-6
4·(x-2)
-
x+10
6·(x-2)
<
1
9
c) Nézzük meg azt is, hogy milyen
x-re igaz egyszerre a
két egyenlőtlenség!
Feladat: 15.43. [
65] Milyen
x-re igazak a következő egyenletek és egyenlőtlenségek?
a)
(2
x2
+5x-6)-(2
x2
-7x+8)=x+14
b)
-5x+(6x-7)≥9-(12-11x)
c)
19
x-5
=
25
x+5
-
7
x-5
d)
19
x-5
<
25
x+5
+
7
x-5
e)
4
x2
-(2x+1)·(2x-1)=9+7x
f)
7·(x+2)·(x+3)-(7x-1)·(x+6)=59
g) Nézzük meg azt is, mikor igaz egyszerre a
b) és
a
d) egyenlőtlenség!
Feladat: 15.44. [
65] Milyen egész
x értékre igazak a következő egyenlőtlenségek?
a)
7x-3
5x-4
< 1
b)
x+
1
x
≤ 2