16. FEJEZET: Nevezetes azonosságok

Feladat: 16.1.
a) Egy szám kétszereséből kivontuk az ugyanezen számnál 3-mal kisebb szám kétszeresét. A kapott különbség négyzete 36. Mi lehetet a gondolt szám? b) Gondoltam egy számot, levontam belőle 3-at, az eredményt megszoroztam 2-vel, majd az így nyert számhoz hozzáadtam hatot, így az eredeti szám kétszeresét kaptam. Mi lehetett a gondolt szám? c) Gondoltam egy számot és a felénél 1-gyel kisebb számot megszoroztam 2-vel. Így a gondolt számnál … Ki lehet-e egészíteni az előző mondatot úgy, hogy bármely gondolt számra teljesüljön?
 

Feladat: 16.2.
[65] Egy gépbe algebrai mondatokat tápláltunk be. A gép kétféle jelet dob ki:

∀,

jelentése: a változó (vagy változók) minden olyan értékére igaz, melyekre a bennük szereplő kifejezéseknek értéke van.

¬∀,

jelentése: a változó (vagy változók) nem minden megengedett értékére igaz. Ahol kell pótoljuk, és minden esetben indokoljuk a gép válaszát!

 

Feladat: 16.3.
[65] Egy gépbe algebrai mondatokat táplálhatunk be. Alább néhány példában megadjuk mit ad ki a gép. Találjuk ki a gép szabályát és határozzuk meg mit ad ki azokban az esetekben, ahol nincs megadva!
 

Feladat: 16.4.
[65] Vajon minden a-ra igaz-e a következő egyenlőség? ( a2 +35)· a2 +24=10a·( a2 +5) a) Próbáljuk ki a=1, a=2 , a=3 és a=4 esetére! b) Próbálgatás útján kiderülhet-e egy egyenlőségről, hogy azonosság? c) És az kiderülhet, hogy nem azonosság? d) Tegyünk további próbát! Nézzük meg például a=0-ra!
 

Feladat: 16.5.
[65] Igaz-e, hogy a minden értékére fennáll a következő egyenlőség?

a2 +15·(a+2)+1=a·(a+15)+31

a) Hogyan járhatunk ennek utána? b) Próbáljuk igazolni, hogy azonosság! c) Fogalmazzuk meg, mikor azonosság egy egyenlőség!
 

Feladat: 16.6.
[65] ,,Piaci szorzás" Ha valaki csak 5-ig tudja az egyszeregyet, az ujjait felhasználva, így szorozhat két 5 és 10 közötti számot egymással: két kezén annyi ujjat nyújt fel, amennyivel több a két tényező 5-nél, a felnyújtott ujjak együttes számát 10-szer veszi, és ehhez hozzáadja a két kezén behajtott ujjak szorzatát. Például a 9·7 szorzást így végzi el: 4 és 2, összesen 6 ujjat nyújt fel, 1 és 3 ujjat hajlít be, tehát így számol:

9·7=10·6+1·2=63.

a) Próbáljuk ki két 5 és 10 közé eső számmal! b) Valóban mindig jó ez az eljárás? Írjuk le általánosan ( a és b az 5 és 10 közé eső számok):

ab=10·(a-5+b-5)+(10-a)·(10-b)

Igazoljuk az eljárás helyességét!
 

Feladat: 16.7.
[65] 10 és 15 közé eső számokat pedig úgy szorozhatunk gyorsan, hogy két kezünkön annyi ujjat nyújtunk fel, amennyivel több a két tényező 10-nél, azután 100-hoz hozzáadjuk a felmutatott ujjak számának 10-szeres összegét, meg a felmutatott ujjak szorzatát. Például:

13·12=100+10·5+3·2=156.

Milyen azonosság a nyitja ennek a számolásmódnak?
 

Feladat: 16.8.
[65] ,,Diákszorzás". Hogyan lehet gyorsan meghatározni az 5-re végződő számok négyzetét? Folytassuk a táblázat kitöltését! Keressünk egyszerű szabályt! Próbáljuk meg igazolni a szabály érvényességét!
 

Feladat: 16.9.
[65] Próbáljuk igazolni a ,,diákszorzás" (lásd a 16.8. feladatot!) következő általánosítását: ha két szám tízesei megegyeznek, egyesei pedig 10-re egészítik ki egymást, akkor is szorozhatjuk őket úgy egymással, hogy a tízesek (közös) számát a természetes számsorban rákövetkező számmal szorozzuk, és a kapott szorzat után írjuk az egyesek szorzatát. (Ha a szorzat egyjegyű, akkor egy 0-t írunk elé.) Például:

74·76=5624.

a) Próbáljuk ki az eljárást! b) Írjuk fel azt az azonosságot, amely ennek a számolási módnak a helyességét igazolja!
 

Feladat: 16.10.
[65] Keressünk módszert az 5-tel kezdődő (nem túl nagy) számok négyzetének fejben való kiszámítására!
Megoldás: 16.10