Matkönyv tanári kézikönyv: Geometria 7--8

2. FEJEZET: Mértani helyek I.

Bezárás: [ X ]
Feladat: 2.1.
Az A és a B pont távolsága 10 cm. Milyen alakzatot alkotnak a síkban illetve a térben azok a pontok, amelyek 6 cm távolságra vannak

a) az A ponttól;

b) az AB egyenestől;

c) az AB szakasztól;

d) az A és a B ponttól is;

e) az {A,B} ponthalmaztól?

 
Feladat: 2.2.
Az A és a B pont távolsága 10 cm. Szerkesszük meg azon pontok halmazát a síkon, amelyeknek az A ponttól való távolsága legalább a, míg a B ponttól való távolsága pontosan b, ha

a) a=12 cm

b=3 cm;

b) a=13 cm

b=3 cm;

c) a=6 cm

b=3 cm!

 
Feladat: 2.3.
Az a és a b egyenes szöge 60 . Szerkesszük meg azon pontok halmazát a síkon, amelyeknek az a egyenestől való távolsága legalább 4 cm, míg a b egyenestől való távolsága pontosan 2 cm!
 
Feladat: 2.4.
A síkban dolgozunk. Vegyük fel az e egyenest és tőle 5 cm távolságra a P pontot. Szerkesszük meg és jelöljük az A, B, C=AB halmazokat, ha
a) A a P ponttól legfeljebb 3 cm távolságra lévő pontok halmaza, míg B az e egyenestől legfeljebb 4 cm-re található pontok halmaza;
b) A a P ponttól legalább 3 cm távolságra lévő pontok halmaza, míg B az e egyenestől legfeljebb 9 cm-re található pontok halmaza;
c) A a P ponttól legfeljebb 10 cm távolságra lévő pontok halmaza, míg B az e egyenestől legalább 6 cm-re található pontok halmaza!
d)* Kíséreljük meg leírni a megfelelő ponthalmazokat a térben!
 
Feladat: 2.5.
Vegyük fel az 5 cm sugarú k kört és jelöljük különböző színekkel a k-tól

1;

3;

5; 7;
cm távolságra elhelyezkedő pontok mértani helyét a k kör síkjában! Írjuk le a megfelelő ponthalmazokat a térben!
 
Feladat: 2.6.
A síkban dolgozunk. Vegyük fel az 5 cm sugarú k kört és középpontjától 4 cm távolságra a P pontot! Hány olyan pont van, amely a k körtől dk a P ponttól dP távolságra van, ha

a) dk =2 cm

dP =4 cm;

b) dk =2 cm

dP =3 cm;

c) dk =6 cm

dP =10 cm!
d) Legyen dk =2 cm és dP értékét futtassuk 0-tól 20 cm-ig! Írjuk le miképp változik a megfelelő P pontok száma!
 
Feladat: 2.7.
Adott egy Σ sík és benne az A pont és a b egyenes.
Határozzuk meg azon 3 cm sugarú körök középpontjainak mértani helyét a Σ síkban, amelyek

a) átmennek A-n;

b) belsejükben tartalmazzák A-t!
Határozzuk meg azon 3 cm sugarú körök középpontjainak mértani helyét a Σ síkban, amelyek

c) érintik b-t;

d) metszik b-t!
Határozzuk meg azon 3 cm sugarú gömbök középpontjainak mértani helyét a térben, amelyek

e) átmennek A-n;

f) belsejükben tartalmazzák A-t!
Határozzuk meg azon 3 cm sugarú gömbök középpontjainak mértani helyét a térben, amelyek

g) érintik b-t;

h) metszik b-t!

 
Feladat: 2.8.
Adott egy Σ sík és benne az 5 cm sugarú k kör.
Határozzuk meg azon 3 cm sugarú körök középpontjainak mértani helyét a Σ síkban, amelyek

a) érintik k-t;

b) metszik k-t!
Határozzuk meg azon 6 cm sugarú körök középpontjainak mértani helyét a Σ síkban, amelyek

c) érintik k-t;

d) metszik k-t!
Ne feledkezzünk meg róla és jelöljük is az a), c) feladatok megoldásában, hogy két kör úgy is érintheti egymást, hogy mindkettő a másik külsejében van, de úgy is, hogy az egyik a másik belsejében van!
 
Feladat: 2.9.
a) Vegyünk fel az A és a B pontot egymástól 10 cm-re és szerkesszünk olyan 7 cm sugarú kört, amely mind a kettőn átmegy!
b) Legalább illetve legfeljebb mekkora lehet egy olyan kör sugara, amely az A és a B ponton is átmegy?
c) Hol lehet annak a 7 cm sugarú körnek a középpontja, amely a belsejében vagy a határán tartalmazza az A és a B pontot is?
d) Hol lehet annak a 7 cm sugarú körnek a középpontja, amely a belsejében vagy a határán tartalmazza az A és a B pontok közül legalább az egyiket?
 
Feladat: 2.10.
a) Vegyük fel az egymást 45 -ban metsző a, b egyeneseket és szerkesszük meg az összes olyan 3 cm sugarú kört, amely mind a két egyenest érinti!
b) Legalább illetve legfeljebb mekkora lehet egy olyan kör sugara, amely az a és a b egyenest is érinti?
c) Hol lehet annak a 3 cm sugarú körnek a középpontja, amelynek van közös pontja az a és a b egyenessel is?
d) Hol lehet annak a 3 cm sugarú körnek a középpontja, amelynek az a és a b egyenesek közül legalább az egyikkel van közös pontja?
 
Feladat: 2.11.
a) Vegyük fel az egymást 45 -ban metsző a, b egyeneseket és szerkesszük meg az összes olyan 3 cm sugarú kört, amely mind a két egyenest érinti!
b) Legalább illetve legfeljebb mekkora lehet egy olyan kör sugara, amely az a és a b egyenest is érinti?
c) Hol lehet annak a 3 cm sugarú körnek a középpontja, amelynek van közös pontja az a és a b egyenessel is?
d) Hol lehet annak a 3 cm sugarú körnek a középpontja, amelynek az a és a b egyenesek közül legalább az egyikkel van közös pontja?
 
Feladat: 2.12.
A síkban dolgozunk. Adott az e egyenes, tőle 4 cm távolságra az O pont és adott még az O középpontú 10 cm sugarú k kör.
a) Szerkesztendő az összes olyan 2 cm sugarú kör, amely érinti k-t is és e-t is! Hány ilyen kör van?
b) Írjuk le, hogyan változik a k-t és e-t is érintő r sugarú körök száma, ha r értéke 0-tól 20 cm-ig nő!
 
Feladat: 2.13.
Két adott ponttól - A és B - egyenlő távolságra lévő pontok mértani helyét keressük a síkban.
a) Szerkesszünk 10 ilyen tulajdonságú pontot!
b) Fogalmazzuk meg sejtésként, hogy mi lehet a keresett mértani hely!
c) Bizonyítsuk be a sejtést! Miért jó a b)-ben sejtett ponthalmaz minden pontja, és miért nem lehet másutt megfelelő pont?
d) Mi lehet a megfelelő mértani hely a térben?
 
Feladat: 2.14.
Két adott metsző egyenestől - a és b - egyenlő távolságra lévő pontok mértani helyét keressük a síkban.
a) Szerkesszünk 10 ilyen tulajdonságú pontot!
b) Fogalmazzuk meg sejtésként, hogy mi lehet a keresett mértani hely!
c) Bizonyítsuk be a sejtést! Miért jó a b)-ben sejtett ponthalmaz minden pontja, és miért nem lehet másutt megfelelő pont? Gondoljunk a két egyenes által meghatározott mind a négy szögtartományra!
d) Mi két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a síkban?
 
Feladat: 2.15.
Adott három pont. Szerkesztendő kör, amely átmegy mind a három ponton! Hogyan függ az ilyen körök száma a pontok elhelyezkedésétől?
 
Feladat: 2.16.
Adott három egyenes, amelyek közül semelyik kettő sem párhuzamos és nem mennek át mind egy közös ponton. Szerkesztendő kör, amely érinti mind a három egyenest! Hány ilyen kör van?
 
Feladat: 2.17.
Adott az egymást metsző e és f egyenes és e-n az E, f-en az F pont (lásd az 1. ábrát). Olyan pontot keresünk, amely az e-től ugyanolyan messze van, mint ftől és E-től ugyanolyan messze van, mint F-től.
a) Írjuk le a szerkesztés menetét!
b) Hány ilyen pont van?
c) Függ-e a megoldások száma az E, F pontok elhelyezkedésétől?

1. ábra

 
Feladat: 2.18.
Adott a síkon az A és a B pont, melyek távolsága 10 cm. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igaz állításokat!
I. A síknak van olyan P pontja, amelyre PA<6 cm és PB<7 cm.
II. Ha a sík valamely P pontjára PA<6 cm, akkor PB<7 cm.
III. Ha a sík valamely P pontjára PA<6 cm, akkor PB<17 cm.
IV. A síknak van olyan P pontja, amelyre PA<6 cm és PB<17 cm.
V. A sík bármely P pontjára teljesülnek a PA<6 cm, PB<17 cm egyenlőtlenségek.
VI. A sík bármely P pontjára a PA>6 cm, PB>3 cm egyenlőtlenségek közül legalább az egyik teljesül.
VII. Ha a sík valamely P pontjára PA6 cm, akkor PB3 cm.
VIII. Nincs a síkon olyan P pont, amelyre PA6 cm és PB4 cm.
IX. Nincs a síkon olyan P pont, amelyre PA6 cm és PB<4 cm.

 
Feladat: 2.19.
Adott a síkon az A és a B pont, melyek távolsága 10 cm. Igaz-e az alábbi állítás?
Ha a sík valamely P pontjára a PA<6 cm és a PB<4 cm feltétel is teljesül, akkor P az AB szakasz felezőpontja.
 
Feladat: 2.20.
Adott a síkon az A és a B pont. Tudjuk, hogy igaz az alábbi állítás:
A sík bármely olyan P pontjára, amelyre teljesül a PA<2 cm egyenlőtlenség, teljesül a PB<10 cm egyenlőtlenség is.
Mit állíthatunk az AB távolságról?
 
Feladat: 2.21.
Adott a síkon az A és a B pont. Tudjuk, hogy a következő állítás nem igaz:
A sík bármely olyan P pontjára, amelyre teljesül a PA<2 egyenlőtlenség, teljesül a PB>3 egyenlőtlenség is.
Mit állíthatunk az AB távolságról?
 
Feladat: 2.22.
a) A tanár felvette az A és a B pont a táblán, felírta a távolságukat is és megkérdezte Remek Robit:
- Igaz-e, hogy a tábla síkjának bármely olyan P pontjára, amelyre teljesül a PA>1 méter egyenlőtlenség, teljesül a PB>3 dm egyenlőtlenség is?
Robi igennel felelt és a tanár megdícsérte a jó válaszért. Hunyor Hunor a besütő naptól nem látja a táblát és most hozzá fordul a tanár:
- Igaz-e, hogy a tábla síkjának bármely olyan P pontjára, amelyre teljesül a PA<4 dm egyenlőtlenség, teljesül a PB<12 dm egyenlőtlenség is?
Tud-e biztos választ adni Hunor, anélkül hogy további információt kapna a két pont elhelyezkedéséről?
b) Módosítsuk a történetet úgy, hogy cseréljük ki a tanár két ,,Igaz-e, hogy... " kezdetű mondatát! Így tud-e Hunor biztos választ adni?
 
Feladat: 2.23.
Kutyageometria
Egy hatalmas modern város utcahálózata olyan mint egy négyzetrács, melyben a négyzetek oldalának hossza 100 m. A kóbor kutyák csak az utcákon, azaz a négyzetrács vonalain közlekedhetnek, a házakba, azaz a négyzetekbe nem mehetnek be. A kutyák világa tehát a négyzetrács vonalainak világa. Két pont távolságán a két pont közötti rácsvonalakon haladó - a rácspontokban esetleg megtörő - töröttvonalak hosszának minimumát értjük. Ez a kutyageometria. Az 1. ábrán a város egy részének térképét látjuk.

1. ábra
a) Határozzuk meg az AB, BC, CA távolságokat!
Színezzük teli karikákkal, különböző színekkel az A ponttól

b) 100;

c) 150;

d) 200;

e) 250;

f) 300;
méterre található pontok halmazát!
Színezzük üres karikákkal, különböző színekkel a B ponttól

g) 100;

h) 150;

i) 200;

j) 250;

k) 300;
méterre található pontok halmazát!
 
Feladat: 2.24.
Ebben a feladatban is a rácsvonalak ,,kutyageometriáját" vizsgáljuk (lásd a 2.23. feladatot). Körön, egy adott ponttól adott távolságra levő pontok halmazát értjük. Jelölje k1 , k2 és k3 azt a kört, amelyeknek középpontja az 1. ábrán látható O1 , O2 illetve O3 pont és amelynek sugara r1 =100 m, r2 =300 m, r3 =500 m, ha egy rácsszakasz hossza 100 m.
Hány közös pontja van a
a) k2 és k1 ;

b) k1 és k3 ;

c) k3 és k1 ;
köröknek?

1. ábra

 
Feladat: 2.25.
Ebben a feladatban is a rácsvonalak ,,kutyageometriáját" vizsgáljuk (lásd a 2.23. feladatot). Határozzuk meg az 1. ábrán látható

a) A és B;

b) B és C;

c) C és A;
pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát!
d) Hány olyan pont van, amely egyforma messze van mind a három ponttól?

1. ábra

 
Feladat: 2.26.
Ebben a feladatban is a rácsvonalak ,,kutyageometriáját" vizsgáljuk (lásd a 2.23. feladatot). Keressük három adott ponttól egyforma messze található pontok halmazát. Van-e három olyan pont, amelyre ennek a ponthalmaznak az elemszáma

a) 1;

b) végtelen;

c) 2?

 
Feladat: 2.27.
Igaz-e a ,,kutyageometriában" (lásd a 2.23. feladatot) a háromszög egyenlőtlenség?
 
Feladat: 2.28.
[145] Lehet-e a ,,kutyageometriában" (lásd a 2.23. feladatot) két körnek (2.24. feladat) éppen 13 metszéspontja?
 
Feladat: 2.29.
[118] Az ABC hegyesszögü háromszög B csúcsára illeszkedö egyenesek közül melyiktől van az AC oldal F felezöpontja a legmesszebbre?
 
Feladat: 2.30.
[98] Simi kutyát kikötötték. 2 méter hosszú láncának karikája két - egymástól 10 méterre levő - fa között kifeszített drótkötélen csúszkálhat. Bobi kutyát szintén 2 méteres láncra kötötték egy cölöphöz.
Hová tűzhették Bobi kutya cölöpjét, ha a két kutya épp egy félkör alakú területen játszhat együtt?
 
Feladat: 2.31.
A Kecskefy, a Kecsovszky és a Kecsora család is tenyészt kecskét. A három család másképp legelteti a kecskéket. Az állatokat nyakában található övre egy-egy 10 méter hosszú kötelet kötnek, de a kötél másik végén található gyűrűt különbözőképpen rögzítik.
Kecskefyék a réten egy 40×50 méteres téglalap csúcsaiban kitűznek egy-egy póznát, a póznák között pedig - a téglalap oldalain - kifeszítenek egy-egy drótot. A gyűrűk a póznákhoz vannak rögzítve, illetve szabadon futhatnak a drótokon két pózna között. A kecskék a téglalapon kívül és belül is mozoghatnak.
Kecsovszkyék csak a zöldségeskerten kívül engedik legelni a kecskéket. A kert háromszög alakú, oldalai 90, 100, 130 méter hosszúak. A kerítés mentén végigfutó dróton szabadon mozoghatnak a gyűrűk.
Kecsoráék külön tartják a kecskebakot, melynek gyűrűje egy rögzített póznához van kötve. A többi kecskén még kötél sincs, azok bárhol legelhetnek egy 40×80 m-es téglalap alakú zárt telken belül.
a) Készítsünk méretarányos rajzokat, feltüntetve azokat a részeket, ahol a kecskék legelhetnek!
b) Melyik család legelteti a legnagyobb területen a kecskéket?
 
Feladat: 2.32.
Adott a síkon három pont. Szerkesztendő egyenes. amely ugyanolyan messze van mind a három ponttól. Hány ilyen egyenes van?
 
Feladat: 2.33.
Adott a síkon négy pont. Szerkesztendő kör, amely ugyanolyan messze van mind a négy ponttól. Hány ilyen kör van?
 
Feladat: 2.34.
Indiana Jones a Szent Kelyhet keresi. A Kehely a Titok Városának két sugárútja találkozása alatt van elrejtve. Jones éppen most találta meg Sir Galahad sírját, és benne az 1. ábra bal oldalán látható térképvázlatot. Feltételezhető, hogy a vázlat nem arányos a valósággal és nincs jól tájolva, de az elrendezés kereszt alakja biztosra vehető.
Indiana Jones édesapja fia rendelkezésére bocsátotta Oroszlánszívű Richárd írnokának jegyzeteit, amelyből az derült ki, hogy a Palota kapujának a Templom előtti kúttól való távolsága pontosan 800 méter.
A gonosz célból a Titok Városában ásatásokat folytató Ellenség éppen most talált meg egy kutat, amely feltehetően a Templom előtt állhatott.

1. ábra
a) Indiana Jones térképvázlatot készít. Segítsünk neki! Szerkesszük meg a Kehely összes lehetséges helyét az
1. ábra jobb oldalán!
b) Indiana édesapja szerint a jegyzetben talált 800-as adat nem méterben értendő, hanem egy - a keresztes lovagok által használ - mára már elfeledett mértékegységben. Így mit lehet mondani, hol lehet a Kehely?
 
Feladat: 2.35.
Ha megrajzoljuk a sík öt pontja közül mindegyik kettő felezőmerőlegesét, akkor a kapott egyenesek maximum hány pontban metszik egymást?