Matkönyv tanári kézikönyv: Geometria 7--8

5. FEJEZET: Szimmetriák, transzformációk

Bezárás: [ X ]
Feladat: 5.1.
Vegyük fel az ABC háromszöget az alábbi adatokkal:
AB=8 cm ,      AB=10 cm ,      CA=4 cm .

a) Szerkesszük meg a háromszög képét - az A1 B1 C1 háromszöget - a C-nél fekvő belső szög szögfelezőjére való tükrözésnél!
b) Határozzuk meg az A1 B és az AB1 szakaszok hosszát!
c) Fejezzük ki a b)-ben kérdezett szakaszok hosszát az általános esetben az ABC háromszög oldalaival!
 
Feladat: 5.2.
Vegyünk fel egy ABC háromszöget az alábbi adatokkal:
BAC= 75 ,      CBA= 60 ,      BAC= 45 .

a) Szerkesszük meg a háromszög képét - az A2 B2 C2 háromszöget, az AB szakasz felezőmerőlegesére való tükrözésnél!
b) Határozzuk meg a CAC2 és CBC2 szögek nagyságát!
c) Fejezzük ki a b)-ben kérdezett szögeket az általános esetben az ABC háromszög szögeivel!
 
Feladat: 5.3.
Adottak az A, B, C pontok. Szerkesztendő az A pont BC egyenesre vonatkozó tükörképe csak körzővel (tehát vonalzót az AB egyenes meghúzásához sem használhatunk).
 
Feladat: 5.4.
Szerkesszünk olyan ABC háromszöget, melynek szögei:
CAB= 90 ,      BCA= 60 ,      ABC= 30 .

Tükrözzük a háromszöget egy-egy oldalára és vizsgáljuk az eredeti háromszög és képe egyesítéseként létrejött sokszöget. Hány oldalú az így kapott sokszög és mekkorák a szögei? Válaszoljunk a kérdésre mind a három esetben (mind a három oldalra való tükrözés esetén)!
 
Feladat: 5.5.
Vegyük fel az ABC háromszöget az alábbi adatokkal:
AB=8 cm ,      AB=10 cm ,      CA=4 cm .

a) Szerkesszük meg a háromszög képét az AB szakasz FC felezőpontjára vonatkozó középpontos tükrözésnél!
b) Milyen alakzatot alkot a háromszög és képének egyesítése? Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg állítást és bizonyítsuk is be!
c) Tükrözzük középpontosan az eredeti háromszöget a BC oldal FA és a CA oldal FB felezőpontjára is!
d) Milyen alakzatot alkot az eredeti háromszög és három képének egyesítése? Tegyünk megfigyelést, fogalmazzunk meg állítást és bizonyítsuk is be!
 
Feladat: 5.6.
Vegyük fel az ABC háromszöget az alábbi adatokkal:
AB=8 cm ,      AB=10 cm ,      CA=4 cm .

a) Szerkesszük meg a háromszög képét - az A3 B3 C3 háromszöget - az AB vektorral való eltoláskor!
b) Milyen kapcsolat van az eredeti és a CBC3 háromszög között?
 
Feladat: 5.7.
Vegyük fel (két példányban) az ABC szabályos háromszöget, annak O középpontját, az OB szakaszt és annak F felezőpontját (a szerkesztést érdemes egy O középpontú körrel kezdeni és azon megkeresni az A, B, C pontokat). Az alábbi szerkesztéseket az ábra egy-egy külön példányán végezzük el!
a) Forgassunk az O középpont körül 60 -kal!
b) Forgassunk az A csúcs körül 60 -kal!
 
Feladat: 5.8.
Vegyük fel (három példányban) az ABCD négyzetet, annak O középpontját, az OB szakaszt és annak F felezőpontját (a szerkesztést érdemes egy O középpontú körrel kezdeni és azon megkeresni az A, B, C, D pontokat). Az alábbi szerkesztéseket az ábra egy-egy külön példányán végezzük el!
a) Forgassunk az O középpont körül 45 -kal!
b) Forgassunk az A csúcs körül 90 -kal!
 
Feladat: 5.9.
Válasszuk ki a nagy nyomtatott magyar ABC betűiből a
a) tengelyesen szimmetrikusokat;
b) középpontosan szimmetrikusokat!
 
Feladat: 5.10.
Szerkesszünk olyan hatszöget, amelynek nincs 60 -os forgási szimmetriája, de 120 -os forgási szimmetriája van!
 
Feladat: 5.11.
Ketten játszanak - Kezdő és Második - felváltva helyeznek el pontokat a síkon, két menetben összesen négyet, minden menetben egyet-egyet. Miután valamelyikük lerak egy pontot, a másik menetenként egyszer-egyszer mondhatja, hogy ,,ne oda tegyél" és akkor a pontot tevőnek másik helyet kell választania. Második akkor nyer, ha a legvégül kapott pontrendszer

a) tengelyesen;       b) középpontosan
szimmetrikus lesz, egyébként veszít. Kinek van nyerő stratégiája?
 
Feladat: 5.12.
Ebben a feladatban a végtelen sakktábla (lásd az 1. ábrát) szimmetriáit keressük.
Válasszuk ki, hogy az alábbi forgási szimmetriák közül melyekkel rendelkezik a végtelen sakktábla és jelöljük az ábrán a megadott színnel a megfelelő forgási szimmetriaközéppontokat!

a) 30 -os (sárga)       b) 45 -os (narancssárga)       c) 60 -os (zöld)        d) 90 -os (kék)        e) 120 -os (piros)        f) 180 -os (fekete).
g) Van-e a parkettázásnak szimmetriatengelye? Ha van jelöljük a tengelyeket!
h) Van-e olyan eltolás, amely minden parkettalapot egy másikba képez? Ha van jelöljük a megfelelő eltolásvektorokat!

1. ábra

 
Feladat: 5.13.
Most a végtelen szabályos háromszögrács (lásd az 1. ábrát) szimmetriáit keressük.
Válasszuk ki, hogy az alábbi forgási szimmetriák közül melyekkel rendelkezik a végtelen sakktábla és jelöljük az ábrán a megadott színnel a megfelelő forgási szimmetriaközéppontokat!

a) 30 -os (sárga)       b) 45 -os (narancssárga)       c) 60 -os (zöld)        d) 90 -os (kék)        e) 120 -os (piros)        f) 180 -os (fekete).
g) Van-e a parkettázásnak szimmetriatengelye? Ha van jelöljük a tengelyeket!
h) Van-e olyan eltolás, amely minden parkettalapot egy másikba képez? Ha van jelöljük a megfelelő eltolásvektorokat!

1. ábra

 
Feladat: 5.14.
Ebben a feladatban a sík 1. ábrán látható parkettázásának szimmetriáit keressük.
Válasszuk ki, hogy az alábbi forgási szimmetriák közül melyekkel rendelkezik a parkettázás és jelöljük a megadott színnel a megfelelő forgási szimmetriaközéppontokat!

a) 30 -os (sárga)       b) 45 -os (narancssárga)       c) 60 -os (zöld)        d) 90 -os (kék)        e) 120 -os (piros)        f) 180 -os (fekete).
g) Van-e a parkettázásnak szimmetriatengelye? Ha van jelöljük a tengelyeket!
h) Van-e olyan eltolás, amely minden parkettalapot egy másikba képez? Ha van jelöljük a megfelelő eltolásvektorokat!

1. ábra

 
Feladat: 5.15.
Ebben a feladatban a sík 1. ábrán látható parkettázásának szimmetriáit keressük.
Válasszuk ki, hogy az alábbi forgási szimmetriák közül melyekkel rendelkezik a parkettázás és jelöljük a megadott színnel a megfelelő forgási szimmetriaközéppontokat!

a) 30 -os (sárga)       b) 45 -os (narancssárga)       c) 60 -os (zöld)        d) 90 -os (kék)        e) 120 -os (piros)        f) 180 -os (fekete).
g) Van-e a parkettázásnak szimmetriatengelye? Ha van jelöljük a tengelyeket!
h) Van-e olyan eltolás, amely minden parkettalapot egy másikba képez? Ha van jelöljük a megfelelő eltolásvektorokat!

1. ábra

 
Feladat: 5.16.
Válasszuk ki M. C.Escher mester egyik parkettázását (lásd pl. a [172][gallery/symmetry] weboldalt) és elemezzük szimmetriáit az 5.14-5.15. feladatok mintájára!
 
Feladat: 5.17.
Soroljuk fel az 1. ábra szimmetriáit!

1. ábra

 
Feladat: 5.18.
a) Parkettázzuk szabályos hatszögekkel a síkot!
b) Helyettesítsük az egyik szabályos hatszög egyik oldalát a hatszög körülírt körének megfelelő ívével és módosítsuk ennek és a többi parkettalapnak a többi oldalait úgy, hogy megmaradjanak a csúcspontok körüli 120 -os szimmetriák!
 
Feladat: 5.19.
Adottak az A pont, a b egyenes, a c kör és az α szög. Szerkesztendő egyenlő szárú háromszög, amelynek az alappal szemközti csúcsa A, míg a B csúcs a b egyenesen, a C csúcs a c körön van és a BAC
a) 30 -os;
b) egy előre adott α szöggel egyenlő.
Hány megoldása lehet a feladatnak?
c) Hány megoldás lehet, ha a b egyenes helyett is egy kör adott, és azon kell elhelyezkednie a B csúcsnak?
Segítség, útmutatás: 5.19
Először feledkezzünk meg arról, hogy a C pontnak c-re kell illeszkednie. Vegyünk fel öt próbapontot b-n: B1 , B2 , B3 , B4 és B5 . Szerkesszük meg a hozzájuk tartozó C1 , C2 , C3 , C4 , C5 pontokat úgy, hogy ABi Ci olyan egyenlő szárú háromszög legyen, amelyben a szárak szöge A-nál 60 (ill. α). Tegyünk megfigyelést a Ci pontok elhelyezkedésére vonatkozólag!
 
Feladat: 5.20.
Szerkesztendő rombusz, ha adott két átlójának egyenese és két

a) szomszédos;       b) átellenes
oldalának egy-egy pontja!
Segítség, útmutatás: 5.20
Hogyan tudnánk megszerkeszteni ugyanannak az oldalnak két különböző pontját? A szimmetriatengely illetve a szimmetriaközéppont segít.
 
Feladat: 5.21.
a) Szerkesztendő szimmetrikus trapéz (más szóval húrtrapéz), ha adott a szimmetriatengelye és mind a négy oldalának egy-egy pontja!
b) Határozzuk meg a trapéz csúcsainak koordinátáit, ha szimmetriatengelye az y-tengely, míg a pontok az oldalain: P(-2;3), Q(3;2), R(2;-4), S(-3;-1)!
 
Feladat: 5.22.
a) Szerkesztendő deltoid, ha adott két átlójának egyenese és három oldalának egy-egy pontja!
Határozzuk meg a deltoid csúcsainak koordinátáit, ha átlóinak egyenese a két koordinátatengely, míg három oldalának egy-egy pontja:

b) P(-6;9)        Q(9;6)        R(6;-12);       c) P(-6;9)        Q(9;6)        R(6;-3)
Hány ilyen deltoid van?
 
Feladat: 5.23.
Adottak az e, b egyenesek, a c kör és az α szög. Szerkesztendő egyenlő szárú háromszög, amelynek e a szimmetriatengelye, B csúcsa a b egyenesen, C csúcsa a c körön van és BAC=α. Hány megoldása lehet a feladatnak?
 
Feladat: 5.24.
Szerkesztendő négyzet, ha adott egy b kör és egy d egyenes, amelyre rendre a B illetve a D csúcs illeszkedik valamint
a) az AC átló egyenese;
b) az A csúcs.
 
Feladat: 5.25.
a) Adott az O pont valamint az a, b, c, d egyenesek a síkon. Szerkesztendő ABCD paralelogramma, melynek O a középpontja míg az A, B, C, D csúcsok rendre a megadott egyenesekre illeszkednek.
b) Adottak az O, P, Q, R, S pontok a síkon. Szerkesztendő ABCD paralelogramma, melynek O a középpontja a többi adott pont pedig a felsorolás szerint rendre az AB, BC, CD, DA oldal egyenesére illeszkedik.
 
Feladat: 5.26.
Adott az A és a B pont valamint a c és a d kör a síkon. Szerkesztendő olyan ABCD trapéz, amelynek CD alapja fele olyan hosszú, mint az AB alap és C, D csúcsai rendre a c, d alakzatokra illeszkednek.
 
Feladat: 5.27.
Adottak a k1 , k2 körök és az e egyenes. Szerkesztendő olyan e-vel párhuzamos f egyenes, amelynek a két kör közé eső darabja 3 cm hosszú.
 
Feladat: 5.28.
a) Adott az O pont az a egyenes és a b kör. Szerkesztendő szabályos háromszög, melynek középpontja O és A, B csúcsai rendre az a, b alakzatokra illeszkednek.
b) Adottak az O, Pa , Pb pontok. Szerkesztendő az ABC szabályos háromszög, melynek középpontja O, míg Pa és Pb illeszkednek a háromszög BC illetve CA oldalegyenesére.
 
Feladat: 5.29.
Szerkesztendő háromszög, ha adott két oldala és a harmadikhoz tartozó súlyvonala.
Segítség, útmutatás: 5.29
Lásd az
5.5. feladatot!
 
Feladat: 5.30.
Szerkesztendő háromszög, ha adott c oldala α szöge valamint a és b oldalának különbsége.
Segítség, útmutatás: 5.30
Lásd az
5.1. feladatot!
 
Feladat: 5.31.
Az 1. ábrán egy snooker (a billiárdhoz hasonló játék) asztal kicsinyített mása látható. Az igazi tábla 3,6 m ×1,8 m -es. Vegyük fel az asztal lapjának 10-szeresen kicsinyített képét és helyezzünk el egy-egy pontot a két golyónak megfelelően: a fehér golyó az asztal széltében és hosszában is a negyedelőpontban van az ábra szerint, míg a fekete golyó az asztal hosszának felénél, szélességének negyedénél helyezkedik el. Szerkesszük meg a fehér golyó útját, ha tudjuk, hogy
a) az a oldalon való ütközés után;
b) a b majd az a oldalon való ütközés után;
c) a c majd az a oldalon való ütközés után
telibe találja a fekete golyót!
d) Számítsuk ki, hogy az a oldalon a sarkoktól milyen messze pattan vissza a fehér golyó az egyes esetekben!

1. ábra

 
Feladat: 5.32.
Adott egy téglalap (billiárd, snooker vagy pool asztal lapja) és benne két kör (a golyók). Szerkesszük meg az egyik falon azt a pontot, ahol az egyik golyónak ütődnie kell ahhoz, hogy visszapattanás után úgy lökje meg a másik golyót, hogy az az egyik sarok irányába menjen tovább!
 
Feladat: 5.33.
Egy háromszög két oldalára kifelé négyzeteket rajzoltunk. Mutassuk meg, hogy az 1. ábrán a DB, AH szakaszok hossza egyenlő egymással!

1. ábra

 
Feladat: 5.34.
Adott egy négyzet. Mutassuk meg, hogy bármelyik egyenesnek a négyzet két párhuzamos oldalegyenese közé eső része és a rá merőleges egyenesnek a négyzet másik két oldalegyenese közé eső része azonos hosszúságú!
 
Feladat: 5.35.
Adott a síkon az A, a B és a C pont. Szerkesztendő olyan C középpontú kör, amelynek (egyik) A-t tartalmazó érintője merőleges az (egyik) B-t tartalmazó érintőjére!
 
Feladat: 5.36.
Adjunk meg olyan 10 pontból álló halmazt, amelynek pontosan k darab szimmetriatengelye van. Mely k nemnegatív egész szám esetén oldható meg a feladat? Adjunk mindegyik esetre példát! (Nem kell őket megszerkeszteni.)
 
Feladat: 5.37.
Az 1. ábrán látható 75 -os körcikket elforgatjuk 75 -kal az óra járásával ellenkező forgásirányban. A kapott körcikket újból elforgatjuk 75 -kal, stb. Hányszor kell a forgatást elvégezni, hogy visszajussunk az eredeti körcikkhez?

1. ábra

 
Feladat: 5.38.
Az ABC háromszög AC oldalán adott a P1 pont. Az A pontba szúrt körzővel, AP1 sugárral kört rajzolunk, ami a P2 pontban metszi az AB oldalt. Most a B pontba szúrjuk a körzőt és P2 -n keresztül húzunk egy kört ( BP2 sugárral), ami a P3 pontban metszi az CB oldalt. Így haladunk tovább, legközelebb a C, majd újból az A stb. ... pont körül körívezve.
Mit tapasztalunk? Fogalmazzunk meg állítást és próbáljuk meg igazolni!
Megoldás: 5.38