Feladat: 11.1.
Definíció. Egy
ABC háromszög síkjában levő
XY szakaszt akkor és csak akkor nevezünk
a háromszög
BC oldalával antiparalel szakasznak, ha
- egyik végpontja az
AB oldalegyenesen van, a másik végpontja az
AC oldalegyenesen, továbbá
- az
A-ból induló szögfelezőre vett tükörképe párhuzamos a
BC oldal egyenesével.
Hasonlóan definiáljuk a másik két oldallal antiparalel szakaszt is.
a) A definícióban nem mondtuk meg, hogy a belső vagy a külső szögfelezőre tükrözünk. Számít-e, hogy melyikre?
Mutassuk meg, hogy
b) a
BC oldallal antiparalel szakaszok mind párhuzamosak egymással.
c) ha
XY antiparalel a
BC oldallal, akkor vagy mindkét végpontja az
A-ból induló, a háromszöggel azonos ,,oldalon" levő félegyenesre esik, vagy az
A pont mindkét végpontját elválasztja a háromszögtől. Utóbbi esetben az antiparalel eshet teljesen a háromszög belsejébe, metszheti a
BC oldalt, vagy eshet a
BC oldalegyenesnek
A-val ellentétes oldalára.
Feladat: 11.2.
Adott az
ABC háromszög és az
XY szakasz, amelynek
X végpontja az
AB oldalegyenesen,
Y végpontja az
AC oldalegyenesen van. Bizonyítsuk be, hogy az
XY szakasz pontosan akkor antiparalel a
BC oldallal, ha az
AXY és az
ACB háromszögek - a csúcsok ilyen sorrendjében - hasonlóak. (Tehát a két háromszög különböző körüljárású és az
A-nál levő szögek azonosak, továbbá például az
X-nél levő szög egyenlő a
C-nél levő szöggel.)
Megoldás: 11.2