9. FEJEZET: Oszthatósági szabályok
Feladat: 9.1. [
63]
Ez a példa két lényegesen különböző részből áll.
a) Mindegyik állításnak meg kell fogalmazni a
megfordítását.A
állítás
megfordításán a
állítást értjük.
b) Mindegyik állításról - és megfordításáról - el
kell dönteni, hogy igaz-e, és a választ indokolni kell.
Állítás
Ha egy szám osztható 2-vel, akkor utolsó számjegye 2.
Ha egy szám osztható 2-vel, akkor utolsó számjegye páros.
Ha egy szám osztható 3-mal, akkor utolsó számjegye is osztható
3-mal.
Ha egy szám osztható 5-tel, akkor számjegyeinek az összege is
osztható 5-tel.
Ha egy szám osztható 5-tel, akkor utolsó számjegye is osztható
5-tel.
Ha egy szám osztható 5-tel, akkor utolsó számjegye 5.
Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor utolsó számjegye is osztható
4-gyel.
Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor utolsó számjegye is és utolsó
előtti számjegye is osztható 4-gyel.
Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor a szám végén álló kétjegyű szám
osztható 4-gyel. |
Megfordítása
Ha egy szám utolsó számjegye 2, akkor osztható 2-vel. |
Feladat: 9.2. [
63]
Mi a trükk nyitja?
a) A gondolatolvasó ezt mondja: Gondoljon egy számot,
szorozza meg 9-cel, adjon hozzá 27-et! A kapott szám jegyeit adja
össze, majd az így kapott szám jegyeit is adja össze, és ezt
mindaddig folytassa, amíg egyjegyű számhoz nem jut! Ezt az
egyjegyű számot szorozza meg 4-gyel, és adjon hozzá 13-at! Kész
van a számolással? Ugye 49-et kapott?
b) A gondolatolvasó hét emberhez, az első sorban az 1-es,
a 2-es, a 3-as, a 4-es, az 5-ös, a 6-os és a 7-es széken ülőkhöz
így szól: Gondoljon egy számot szorozza meg 9-cel, és adja hozzá a
székének a sorszámát. Az így kapott számot írja fel egy
papírdarabra, és dobja be a cilinderembe! Rendben van? Mindenkié
itt van? Akkor én most egyenként kihúzom a számokat, és megmondom,
hogy melyiket ki dobta be.
Feladat: 9.3. [
63]
Miről ismerhetők fel
a) a 2-vel
5-tel
10-zel;
b) a
4-gyel
25-tel
100-zal;
c) a 8-cal
125-tel
1000-rel
osztható számok? Indokoljuk az állításokat!
Feladat: 9.4. [
63]
a) Hogyan dönthető el könnyen, hogy osztható-e 3-mal
777 777 654;
888 888 888?
b) Hogyan
dönthető el, hogy oszthatók-e 9-cel?
c) Általánosan, hogyan dönthető el, hogy egy szám
osztható-e 3-mal vagy 9-cel?
Indokoljuk az állításokat!
d) Adjunk meg az eddig megfogalmazott oszthatósági
feltételek felhasználásával még néhány más oszthatósági feltételt
is!
Feladat: 9.5. [
63]
Pótoljuk a következő számok hiányzó jegyeit úgy, hogy oszthatók
legyenek
a) 2-vel!
b) 4-gyel!
c)
8-cal!
d) 3-mal!
e) 6-tal!
f)
9-cel!
g) 5-tel!
h) 10-zel!
8_8_10
12_ _56
1234_ _ _
777_ _5
_ _ _224
_ _ _123
1_1_3_
_ _ _222
Feladat: 9.6. [
63]
Keressünk feltételt a 12-vel, 18-cal, 36-tal, 45-tel, 75-tel való
oszthatóságra!
Adjunk magyarázatot is!
Feladat: 9.7. [
63]
Állapítsuk meg a következő (tízes számrendszerben felírt)
számok hiányzó jegyeit úgy, hogy a megadott oszthatóságok
teljesüljenek!
a)
45∣
76x3123y
‾
b)
72∣
x6797y
‾
c)
12∣
5x27x6
‾
Feladat: 9.8. [
63]
Oszthatók-e 11-gyel a következő számok?
35 959
68 574
12 480
3718
123 321
Próbáljunk feltételt adni a 11-gyel való oszthatóságra!
Indokoljunk is!
Feladat: 9.9. [
63]
Melyik az a 21-gyel osztható háromjegyű szám, melynek jegyei
egymást követő pozitív egész számok?
Feladat: 9.10. [
63]
Adjunk meg olyan számot, amelynek mindegyik számjegye 2-es, és
osztható
a) 3-mal;
b)
4-gyel;
c) 5-tel;
d) 6-tal;
e)
8-cal;
f) 9-cel;
g) 10-zel;
h)
12-vel;
i) 16-tal!
Feladat: 9.11. [
63]
Az alábbi sorok közül melyikre igaz, hogy a bal oldali állításból
következik a jobb oldali?
| a)
x osztható 4-gyel. |
x páros
szám. |
| b)
x osztható 3-mal. |
x osztható 9-cel. |
| c)
x osztható 3-mal és páros. |
x osztható 6-tal. |
| d)
x osztható 6-tal. |
x jegyeinek összege osztható
6-tal. |
| e)
x osztható 12-vel. |
x osztható 18-cal.
|
Feladat: 9.12. [
63]
Egy háromjegyű szám középső jegye egyenlő a két szélső jegy
összegével. Bizonyítsuk be, hogy ez a szám osztható 11-gyel!
Igaz-e az állítás megfordítása?
Feladat: 9.13. [
63]
Melyik az a legnagyobb 36-tal osztható szám, amelynek jegyei mind
különbözők, és a számjegyek összege kisebb 25-nél?
Feladat: 9.14. [
98]
Mely számjegyek írhatók a
Δ és a
◯ jelek helyébe
úgy, hogy
12Δ◯56 osztható legyen
a) 2-vel;
b) 3-mal;
c)
4-gyel;
d) 6-tal;
e) 8-cal;
f)
24-gyel?
Feladat: 9.15.
Határozzuk meg az
523abc hatjegyű szám hiányzó három számjegyét
úgy, hogy a szám osztható legyen 7-tel, 8-cal és 9-cel is!
Feladat: 9.16.
Írjuk fel a lehető legnagyobb ötjegyű, 12-vel osztható számot az
1, 3, 4, 5 számjegyek és még egy szabadon választható számjegy
felhasználásával!
Feladat: 9.17.
Határozzuk meg 22227777 legnagyobb kétjegyű osztóját!