4. FEJEZET: Prímtényezők
Feladat: 4.1.
Milyen számjegyre végződik öt szomszédos egész szám szorzata?
Feladat: 4.2. [
63]
Keressünk öt-öt olyan számot, amelynek
a)
nincs valódi osztója!
b) csak egy osztója van!
c) csak két osztója van!
d) csak
három osztója van!
Feladat: 4.3. [
63]
Bontsuk fel a 120-at két 1-nél nagyobb egész szám szorzatára! A
tényezőket, ha lehet bontsuk még tovább tényezők szorzatára!
Haladjunk tovább egészen addig, amíg lehet! Így a 120-at tovább
nem bontható számok szorzatára bontjuk.
Végezzük el a felbontást a 120 más két tényezős szorzataiból
kiindulva is! Mit tapasztalunk?
Feladat: 4.4. [
63]
Bontsuk fel minél több tényező szorzatára és minél többféleképpen
a 60-at, a 96-ot, a 360-at és a 420-at! Mit tapasztalunk?
Didaktikai javaslat.
A számelmélet alaptételét először ennek a feladatnak megoldása
kapcsán szoktuk megfogalmazni. Érdemes visszakérdezni arra, hogy
valóban minden pozitív egészből kiindulva véges lépésben
befejeződik-e a prímtényezőkre bontó algoritmus.
Feladat: 4.5. [
63]
Igazak-e a következő állítások?
a) Minden 6-tal osztható szám páros.
b) Minden 4-gyel osztható szám 4-gyel osztható számjegyre
végződik.
c) Van olyan páratlan szám, amely osztható 18-cal.
d) Van olyan 7-tel osztható szám, amely osztható 5-tel.
e) Van olyan 10-zel osztható szám, amely páros.
Feladat: 4.6. [
63]
20 is osztható 4-gyel, és 28 is. Igaz-e, hogy osztható
4-gyel
a) az összegük is?
b) a
pozitív különbségük is?
c) a szorzatuk is?
A
szorzatukról többet is mondhatunk. Mit?
Feladat: 4.7. [
63]
Keressünk két olyan 4-gyel osztható számot, amelyek hányadosa
a) 4-gyel nem osztható természetes szám!
b) 4-gyel osztható természetes szám!
Feladat: 4.8. [
63]
Keressünk olyan számokat, amelyek
a) 2-vel és 4-gyel is oszthatók, de 2 és 4 szorzatával
nem oszthatók!
b) 2-vel és 4-gyel is oszthatók, és 2-nek és 4-nek a
szorzatával is oszthatók!
c) 2-vel és 3-mal is oszthatók, de 2 és 3 szorzatával nem
oszthatók!
Feladat: 4.9. [
63]
A 36
960-at és a 4225-öt bontsuk
törzstényezőkre!
Feladat: 4.10. [
63]
Határozzuk meg a következő számok prímtényezős felbontását!
12100
7510
·
4520
Feladat: 4.11. [
63]
Van-e 2-nek olyan hatványa, amelyik osztható 7-tel?
Feladat: 4.12. [
63]
Oldjuk meg a következő egyenleteket!
a)
217
·
317
=
x17
b)
417
=
2x
c)
360
=
9x
d)
460
=
8x
e)
x2
=
261
f)
x3
=
327
Feladat: 4.13. [
63]
Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik
hamis!
a)
24
·
35
∣
26
·
37
b)
38
·
113
∣
24
·
39
·
114
c)
26
·
74
∣
28
·
73
·5
d)
24
·3·
52
∣
26
·
54
·
73
Feladat: 4.14. [
63]
Igaz-e, hogy pozitív egész
x,
y értékekre
a)
7∣xy⇒7∣x vagy
7∣y
b)
15∣xy⇒15∣x vagy
15∣y
c)
23∣xy⇒23∣x vagy
23∣y
d)
91∣xy⇒91∣x vagy
91∣y
Feladat: 4.15.
Az
n egész számra teljesül, hogy minden olyan esetben, amikor
oszt egy szorzatot, akkor a szorzatnak legalább az egyik
tényezőjét is osztja. Melyek az ilyen tulajdonságú
n egészek?