Megoldás: 4.31
1. megoldás. a) A
k kör
o középpontja, a két vizsgált húr
fa
,
fb
felezőpontja a húrok
s metszéspontjával olyan téglalapot alkot, amelyben
os átló.
Mivel
fa
=
a1
+
a2
2
és
Fb
=
b1
+
b2
2
, így
b)
2. megoldás. b) Jelölje az
a1
,
a2
komplex számok egyenesét
ta
, a
b1
b2
húregyenest
tb
, a kör
O középpontjának (a komplex számsík origójának) a
ta
tengelyre vonatkozó tükörképét
A, a
tb
tengelyre való tükörképét
B. Tekintsük a
tA
tengelyre való tükrözés és a
tB
tengelyre való tükrözés
ϕ kompozícióját. Látjuk, hogy
ϕ az
A pontot
B-be képezi. Másrészt ismeretes, hogy
ϕ a
tA
,
tB
tengelyek
S metszéspontja körüli elforgatás, melynek szöge a
tA
,
tB
tengelyek
γ irányított szögének duplája. Ezek szerint az
ASB háromszög olyan egyenlő szárú háromszög, melyben a szárak
S-nél található szöge
2γ. Az
a1
,
a2
pont közti húr felezőmerőlegesének argumentuma megegyezik az
a1
,
a2
komplex számok argumentumainak átlagával
(mod
180∘
), így ezen argumentum duplája az
a1
·
a2
komplex szám argumentumával egyezik meg. Ezt a
b1
,
b2
pontok közti húr felezőmerőlegesére is végiggondolva kapjuk, hogy az
(
a1
a2
),
O,
(
b1
b2
) pontok háromszöge (ill. ez a ponthármas) hasonló az
A,
S,
B pontok háromszögéhez (ponthármasához):
|
A-S
S-B
=
a1
a2
-0
O-
b1
b2
.
|
Ebből az
A=
a1
+
a2
,
B=
b1
+
b2
összefüggések és
a
4.5. feladat eredménye alapján kapjuk a kívánt formulát:
|
S=
(
a1
+
a2
)
b1
b2
-(
b1
+
b2
)
a1
a2
b1
b2
-
a1
a2
.
|
3. megoldás. Az egyenes egyenletének
4.7. feladatban meghatározott alakjával dolgozunk. Az
a1
,
a2
pontokat összekötő szakasz felezőpontjának az
fa
=
a1
+
a2
2
komplex szám felel meg. Az egyenes egyenletéhez szükségünk van a szám konjugáltjának meghatározására. Ha
R a kör sugara, akkor
|
fa
‾
=
a1
‾
+
a2
‾
2
=
R2
a1
+
R2
a2
2
=
R2
(
a1
+
a2
)
2
a1
a2
.
|
A két adott pont egyenesének ,,irányvektora"
εa
=
a1
-
a2
, amelyre
|
εa
‾
=
a1
‾
-
a2
‾
=
R2
a1
-
R2
a2
=
R2
(
a2
-
a1
)
a1
a2
.
|
Így az egyenes egyenlete
|
(
a1
-
a2
)
z
‾
+
R2
(
a1
-
a2
)
a1
a2
z=(
a1
-
a2
)
R2
(
a1
+
a2
)
2
a1
a2
+
R2
(
a1
-
a2
)
a1
a2
a1
+
a2
2
,
|
azaz
a1
a2
a1
-
a2
-vel átszorozva
|
a1
a2
z
‾
+
R2
z=
R2
(
a1
+
a2
).
|
| (1) |
Ehhez hasonlóan, a
z pont akkor és csakis akkor illeszkedik a
b1
,
b2
pontokat összekötő húr egyenesére, ha
|
b1
b2
z
‾
+
R2
z=
R2
(
b1
+
b2
).
|
| (2) |
A fenti egyenletek
b1
b2
(
1)
-
a1
a2
(
2)
kombinációjából kiesik
z
‾
és így
z gyorsan kifejezhető:
|
z=
(
a1
+
a2
)
b1
b2
-(
b1
+
b2
)
a1
a2
b1
b2
-
a1
a2
.
|
| (3) |