Feladat: 4.7.
Alább az egyenes egyenletét írjuk fel komplex számokkal. Az ε komplex szám játssza az irányvektor szerepét. a) Mutassuk meg, hogy a z komplex számnak megfelelő pont akkor és csakis akkor illeszkedik a komplex számsík origóját az ε≠0 komplex számnak megfelelő ponttal összekötő egyenesre, ha

ε z ‾ - ε ‾ z=0.

b) Igazoljuk, hogy az előző egyenessel párhuzamos, a z0 komplex számnak megfelelő ponton áthaladó egyenes egyenlete

ε z ‾ - ε ‾ z=ε z0 ‾ - ε ‾ z0 .

 

Megoldás: 4.7
a) A z számnak megfelelő pont akkor és csakis akkor van az említett egyenesen, ha a z ε tört értéke valós szám. Egy komplex szám pontosan akkor valós, ha egyenlő a konjugáltjával. A szükséges és elégséges feltétel tehát

z ε = ( z ε ) ‾ ,       ahol        ( z ε ) ‾ = z ‾ ε ‾ .

Ebből közvetlenül adódik a feladat állítása.

b) Most a z-b ε törtnek kell valósnak lennie, tehát

z-b ε = z ‾ - b ‾ ε ‾ .

Ebből átszorzás és rendezés után adódik a feladat állítása.