Feladat: 3.32.
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán!

x2 =y+z+2 y2 =x+z+2 z2 =x+y+2 }

(1)

 

Megoldás: 3.32
1. megoldás. Mindegyik egyenélethez hozzáadva a hiányzó ismeretlent ezt kapjuk:

x2 +x= y2 +y= z2 +z=u=x+y+z+2.

Vagyis x,y,z mind gyökei a t2 +t-u=0 egyenletnek. De ennek csak két különböző megoldása lehet, vagyis a három ismeretlen között van két egyforma, mondjuk x=y. Ha még z=x=y is teljesül, akkor ők a gyökei t2 -2t-2=0-nak, vagyis (1+3,1+3,1+3) és (1-3,1-3,1-3) két lehetséges megoldás.

Ha viszont x≠z, akkor ők a két különböző gyöke t2 +t-u=0-nak, tehát összegük x+z=-1, így x2 =x+z+2=1 miatt (1,1,-2) és (-1,-1,0) a maradék két megoldás. (Persze ezeknek a permutációi is jók. Összesen nyolc jó megoldás van.)
 
2. megoldás. Az első két egyenletet kivonva egymásból (x+y)(x-y)= x2 - y2 =y-x. Két lehetőség van, vagy x=y, vagy x+y=-1. Ugyanez igaz bármelyik két ismeretlen esetén. Ha mind a három ismeretlen különbözne, akor x+y=x+z=y+z=-1 lenne, de ekkor x=y=z=-0,5 miatt mind egyenlőek lennének, pont ellentétesen a feltételezéssel.

Legyen tehát x=y. Ha még x=z is, akkor mind gyökei x2 -2x-2=0-nak, vagyis (1+3,1+3,1+3) és (1-3,1-3,1-3) két lehetséges megoldás. Ha viszont x≠z, akkor x+z=-1 és így x2 =1. Ebből adódik a másik két megoldás (1,1,-2) és (-1,-1,0). (Persze ezeknek a permutációi is jók. Összesen nyolc jó megoldás van.)