Feladat: 3.52. Keressük meg azt a legalacsonyabb fokszámú
p(x) polinomot,
amelyre teljesül, hogy
a)
p(x) együtthatói egész számok;
b)
p(x) elsőfokú tényezők szorzatára bontható;
c)
p(x) gyökei egész számok;
d)
p(0)=-1;
e)
p(3)=128.
Megoldás: 3.52
Mivel elsőfokú tényezők szorzatára bontható, gyökei és együtthatói egész számok, így
p(x)=b(x-
a1
)(x-
a2
)…(x-
an
) alakú, ahol az
ai
gyökök és a
b főegyüttható egészek.
-1=p(0)=(-1
)n
ba1
a2
…
an
miatt minden gyök és
b is
±1, összesen páratlan sok
-1 van. Legyen a gyökök közözz
+1-ek multiplicitása
i, a
-1-eké
j. Mivel
128=p(3)=b(3-
a1
)(3-
a2
)…(3-
an
), ezért
128=b
2i
4j
, tehát
b=1 és a kitevőben
7=i+2j. A polinom úgy a legkisebb fokú, ha
i+j=7-j a lehető legkisebb, ezt a
j=3,
i=1 választás adja. Ekkor
i tényleg páratlan, vagyis
p(0)=-1, ahogy kellett. A megoldás
p(x)=(x-1)(x+1
)3
=
x4
+2
x3
-2x-1.