Feladat: 3.12.
A 3.11 feladatban beláttuk, hogy ha x0 gyöke a p(x) polinomnak, akkor (x- x0 ) kiemelhető a polinomból, azaz létezik olyan q(x) polinom, amelyre p(x)=(x- x0 )·q(x). Ebben a feladatban azt vizsgáljuk, hogy ez milyen együtthatótartomány esetén igaz. a) Mutassuk meg, hogy ha x0 ∈Z, akkor a hányados q(x)∈Z[x]. b) Mutassuk meg, hogy ha x0 ∈ Fp , akkor a hányados q(x)∈ Fp [x]. (Azaz az együtthatók modulo p értendők, ahol p egy prímszám.) c) Mutassuk meg, hogy ha x0 ∈ Fk , akkor a hányados q(x)∈ Fk [x]. (Azaz az együtthatók modulo k értendők, ahol k>1 most kifejezetten nem prímszám.) d) Fogalmazzuk meg, hogy pontosan mire van szükség, hogy lehessen kiemelni. Keressünk olyan számköröket, ahol ez nem működik.
 

Megoldás: 3.12
Az a), b) és c) esetben is ugyanazt a módszert alkalmazzuk, mint a 3.11 feladat bizonyításában. Használjuk az

xn - yn =(x-y)( xn-1 + xn-2 y+ xn-3 y2 +…+ yn-1 )

(1)

felbontást. Emiatt minden p(x)= axn típusú polinom esetén p(x)-p(a)-ból ki tudjuk emelni x-a-t. De mivel minden polinom ilyenek összege, ezért az állítás minden polinomra igaz. Ezek szerint arra volt szükség a kiemeléshez, hogy teljesüljön a fenti (1) egyenlőség és szabadon lehessen szorozni, illetve összeadni, kivonni. Ezek minden középiskolában ismert, szokásos számkörben teljesülnek. Kivételt csak az olyan konstrukciók jelentenek, mint például a "páros számok", a "pozitív egészek" vagy az "irracionális számok." Ezekben a számkörökben a fenti állítás nem igaz, más-más okból.