Feladat: 3.10.
Bizonyítsuk be, hogy egy polinomból pontosan akkor lehet kiemelni az x-1-et, ha az együtthatóinak az összege 0.
 

Megoldás: 3.10
Figyeljük meg, hogy x-1 minden többszörösében az együtthatóösszeg 0, hiszen amit x-szel megszorozva kapunk, annál egyel kisebb fokút elentétes előjellel megkapunk -1-gyel szorozva is.

Fordítva a polinom fokszámára vonatkozó indukcióval bizonyítunk. Ha ez 0, akkor a polinom konstans, de a feltétel miatt csak azonosan 0 lehet. Ha viszont p(x) polinom foka n≥1 és a főegyütthatója a, akkor p(x)- axn-1 (x-1) alacsonyabb fokú, de az együtthatóösszeg a-val nőtt is és csökkent is, tehát továbbra is 0. Emiatt p(x)- axn-1 (x-1)=q(x)(x-1) az indukciós feltevés miatt. Tehát p(x)=(q(x)+ axn-1 )(x-1), ahogy állítottuk.