Feladat: 3.38.
Adjuk meg az összes olyan n-edfokú valós polinomot, amely minden egész helyen egész értéket vesz fel!
 

Megoldás: 3.38
Állítás:

a0 + a1 x+ a2 ( x 2 )+ a3 ( x 3 )+…+ an ( x n )

(1)

alakú az összes n-edfokú polinom, amely minden egész helyen egész értékű. (Az ai együtthatók mind egészek.) Az világos, hogy ezek mind jó polinomok. Bizonyításra az szorul, hogy más nincs.

A bizonyítást fokszámra vonatkozó indukcióval végezzük. Ha n=0, akkor a polinom egy egész konstans. Tegyük fel, hogy n-nél kisebb fokszám esetén már beláttuk az állítást. Legyen tehát f(x) egy n-edfokú valós polinom, amely minden egész helyen egész értékű. Írjuk fel a fenti (1) alakban, az ai együtthatókról most csak azt tudjuk, valós számok. Számítsuk ki az f1 (x)=f(x)-f(x-1) különbségpolinomot. A binomiális együtthatók tulajdonsági miatt

f1 (x)= a1 + a2 (x-1)+ a3 ( x-1 2 )+…+ an ( x-1 n-1 ).

Ez n-1-edfokú, szintén minden egész helyen egész, vagyis az indukció miatt az ai együtthatók mind egészek, ha i>0. Másrészt f(0)= a0 a konstanstag, mivel az összes többi binomiális együttható x-nek többszöröse. Így ez is egész, a bizonyítás kész.