Feladat: 3.25.
Mutassuk meg, hogy az x4 -(k+3) x3 -(k-11) x2 +(k+3)x+(k-12)=0 egyenlet két gyöke nem függ k-tól. A további két gyök k mely értékei mellett lesz valós?
 

Megoldás: 3.25
Ha tudjuk, hogy valami k-tól függetlenül gyök, akkor k egy alkalmas értéke esetén is gyök lesz, pl k=11 esetén. Ekkor a konstanstag -1, vagyis ennek osztója, azaz ±1 jön csak szóba. Ezeket ellenőrizve tényleg gyököket kapunk. A kapott szorzatalak: (x+1)(x-1)( x2 -(k+3)x-(k-12). A másodfokú tényezőnek akkor van valós gyöke, ha a diszkriminánsa nemnegatív, azaz 0≤(k+3 )2 +4(k-12)= k2 +10k-39. Ez akkor teljesül, ha k nem esik ezen új másodfokú egyenlőtlenség két gyöke közé. Vagyis ha k≤-13, illetve 3≤k.