Feladat: 3.30.
Írjunk fel olyan harmadfokú polinomot, amelynek gyökei az x3 -2 x2 -x+1 polinom a) gyökeinek ellentettjei! b) gyökeinek kétszeresei! c) gyökeinél eggyel nagyobbak! d) gyökeinek reciprokai! e) gyökeinek négyzetei!
 

Megoldás: 3.30
Az eredeti gyökök α,β,γ összege α+β+γ=2, kettősszorzat-összege αβ+αγ+βγ=-1, szorzata αβγ=-1.

a) (x+α)(x+β)(x+γ)=-(-x-α)(-x-β)(-x-γ)=-(-x )3 +2(-x )2 +(-x)-1= x3 +2 x2 -x-1.

b) 8((x/2 )3 -2(x/2 )2 -x/2+1)= x3 -4 x2 -4x+8.

c) (x-1 )3 -2(x-1 )2 -(x-1)+1= x3 -5 x2 +6x-1.

d) x3 ((1/x )3 -2(1/x )2 -x+1)= x3 - x2 -2x+1.

e) α2 + β2 + γ2 =(α+β+γ )2 -2(αβ+αγ+βγ)=4-2(-1)=6, α2 β2 + α2 γ2 + β2 γ2 =(αβ+αγ+βγ )2 -2(α+β+γ)αβγ=1-2(2)(-1)=5 és α2 β2 γ2 =1, vagyis a polinom x3 -6 x2 +5x-1.