Feladat: 3.15.
Bizonyítsuk be, hogy egy n-edfokú valós együtthatós - nem azonosan nulla - polinomnak legfeljebb n db (valós) gyöke van!
 

Megoldás: 3.15
Az állítást n-re vonatkozó indukcióval igazoljuk. Ha n=0, akkor a polinom konstans, de nem azonosan 0, tehát nincs gyöke, ahogy állítottuk. Tegyük fel, hogy n>0 és legfeljebb n-edfokú polinomokra az állítás igaz. Ha p(x)-nek a gyöke, akkor kiemelhető belőle x-a és a hányadospolinomnak, q(x)-nek az indukció miatt már legfeljebb n-1 gyöke lehet. De ha b≠a gyöke p(x)-nek, akkor 0=p(b)=(b-a)q(b) miatt b gyöke q(x)-nek. Vagyis legfeljebb n-1 ilyen b van, a-val együtt legfeljebb n darab gyök.