Feladat: 27.1.
Egy bulira üdítőt és szendvicset vásárolunk, mindkettőből legalább
nyolcat. Legalább másfélszer annyi üdítőt, mint szendvicset. Az
üdítő 80 Ft-ba, a szendvics 60 Ft-ba kerül. Összesen 1800
forintunk van.
a) Legfeljebb mennyit vásárolhatunk az egyes termékekből?
b) Összesen legfeljebb mennyit költhetünk, ha csak ezekre
a termékekre költünk?
c) Van-e fölösleges feltétel?
d) Ha van hogyan kell megváltoztatni, hogy befolyásolja a
kérdéses tartományt, illetve a megoldást?
Megoldás: 27.1
Legyen a megvásárolt üdítők száma
x; a szendvicseké
y. A
feltételek szerint:
x
≥
8,
y
≥
8,
x
≥
3
2
y,
80x+60y
≤
1800.
|
Keressük meg az egyes egyenlőtlenségek megoldáshalmazát a
koordinátarendszerben! Az első két egyenlőtlenség megoldáshalmaza
az
1. ábrán, az utolsó
kettőé pedig a
2. ábrán
látható.
1. ábra
2. ábra
A négy egyenlőtlenség közös megoldáshalmaza
a
3. ábrán szürkén
jelölt
ABC háromszög tartomány. Ennek egyes csúcsait az alábbi
egyenletrendszerek megoldása adja:
A: |
B: |
C: |
4x+3y=90
x=
3
2
y
} |
y=8
x=
3
2
y
} |
4x+3y=90
y=8
} |
A(15,10) |
B(12,8) |
C(16.5,8)
|
3. ábra
a) Az ábráról leolvasható, hogy legfeljebb 16 üdítőt
vehetünk. 16 üdítőt csak úgy vehetünk, hogy mellé 8 szendvicset
veszünk. Szendvicsből maximum 10-et vásárolhatunk, ennyit akkor,
ha mellé 15 üdítőt veszünk.
b) CÉL az
(x+y) mennyiség legnagyobb értékének
meghatározása azokra az
(x,y) egészekből álló párokra, amelyek
teljesítik a fenti négy feltételt, azaz
(x,y) a háromszög
tartomány rácspontja.
A
3. ábrán az
x+y
függvény néhány szintvonalát is barajzoltuk, azaz néhány
x+y=c
egyenletű egyenest. Meg kell határoznunk azt a legnagyobb
c
értéket, amelyre az egyenesnek van közös pontja a háromszög
tartománnyal. Látható, hogy ez az az egyenes, amely átmegy a
hátomszög
(15,10) csúcsán, azaz a
c=25 értékhez tartozó
egyenes. Tehát legfeljebb 15 darab üdítőt és 10 darab szendvicset
vásárolhatunk.
c-d) Az ábráról leolvasható, hogy
x≥8 feltétel
nem befolyásolja a tartományt. Ha
x>12 akkor a tartományt, ha
x>15 akkor a megoldást is befolyásolja a feltétel.