Feladat: 8.3.
Legyen
f az
x0
∈R szám egy környezetében értelmezett függvény.
Tekintsük a
limΔx→0
f(x+Δx)-f(x)
Δx
,
limΔx→0
f(x+Δx)-f(x-Δx)
2Δx
|
határértékeket. Szemléltessük jelentésüket! Melyikük létezéséből következtethetünk a másik létezésére? Milyen kapcsolat van a két határérték között, ha mindkettő létezik?
Megoldás: 8.3
Az
f(x)=|x| függvényre az
x0
=0 választással a második határérték létezik (a tört azonosan
0), az első azonban nem.
A második határérték így írható:
limΔx→0
f(x+Δx)-f(x)
Δx
-
f(x-Δx)-f(x)
Δx
2
=
limΔx→0
f(x+Δx)-f(x)
Δx
+
limΔx→0
f(x-Δx)-f(x)
-Δx
2
|
és itt a számláló mind a két tagja az első határértékkel egyenlő. Tehát, ha az első határérték létezik, akkor a második is és értékük egyenlő.