Feladat: 7.5.
Bernoulli-féle Lemniszkáta
a) Alább négy definíciót olvashatunk. Mutassuk meg, hogy mind a négy ugyanazt a görbét definiálja!
Def. 1. Azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek az
F1
(-
2
2
;0),
F2
(
2
2
;0) pontoktól való távolságának szorzata
1
2
.
Def. 2. Az
ABCD rúdszerkezet az
AB,
BC,
CD,
DA rudakból és az
A,
B,
C,
D pontokban található csuklókból áll. Az
AB,
CD rudak hossza
2 egység, míg a
BC,
DA rudaké
1 egység. Az
A,
B pontokat az
F1
(-
2
2
;0),
F2
(
2
2
;0) pontokhoz rögzítjük, míg
C és
D mozog. Hol helyezkedhet el a
CD szakasz felezőpontja amikor a szerkezet átmetszi önmagát?
Def. 3. Invertáljuk az
x2
-
y2
=1 egyenletű hiperbolát az origó körüli egység sugarú körre!
Def. 4. Állítsunk merőlegest az
x2
-
y2
=1 hiperbola érintőire az origóból. Mi a talppontok mértani helye?
b) Mutassuk meg, hogy a lemniszkáta egyenlete Descartes koordinátarendszerben:
c) Adjuk meg a
P pont koordinátáit, ha tudjuk, hogy illeszkedik a fenti lemniszkátára és az origótól való távolsága
t!
Megoldás: 7.5
a)
A
P(x,y) pont akkor és csakis akkor illeszkedik a Def.1-ben meghatározott görbére (lásd az
1. ábrát), ha
[(x+
2
2
)2
+
y2
]·[(x-
2
2
)2
+
y2
]=
1
4
.
|
Ebből az egyenletből ekvivalens átalakítások után kapjuk a vizsgált lemniszkáta görbének a feladatban megadott egyenletét.
1. ábra