Megoldás: 7.17
y'=
ex
, így a kérdezett ívhossz
∫0
1
(y'
)2
+1dx=
∫0
1
1+
e2x
dx.
|
| (1) |
Alkalmazzuk az
ex
=sht helyettesítést! Mivel
x=lnsht, így
dx
dt
=
cht
sht
és a keresett integrál határozatlan formában:
∫1+
e2x
dx=∫cht
cht
sht
dt=∫
ch2
t
sht
dt=∫
1+
sh2
t
sht
dt.
|
| (2) |
Vegyük észre, hogy
1+
sh2
t
sht
=sht+
1
sht
és
alkalmazzuk a
6.12. feladat eredményét!
∫1+
e2x
dx=cht+ln(th
t
2
).
|
| (3) |
Itt
cht=1+
sh2
t=1+
e2x
. Másrészt
ex
=sht=
2th
t
2
1-
th2
t
2
, amiből
th
t
2
=
-1±1+
e2x
ex
. Mivel
0<
ex
=sht, így
0<t, amiből
0<
t
2
és
0<th
t
2
, azaz
±-ben a pozitív előjel kell:
∫1+
e2x
dx=1+
e2x
+ln(1+
e2x
-1)-x.
|
| (4) |
A kérdezett ív hossza:
1+
e2
+ln(1+
e2
-1)-1-2-ln(2-1).
|
| (5) |