Feladat: 7.18.
Ciklois ívhossza, területe
Határozzuk meg egy teljes ciklois ív (lásd a
7.2
. feladatot)
a)
hosszát;
b)
alatti terület nagyságát!
Megoldás: 7.18
A
7.2
feladatban már megkaptuk a ciklois paraméteres előállítását:
x
(
t
)
=
t
-
r
sin
t
r
,
y
(
t
)
=
r
-
r
cos
t
r
, amiből
x
'
(
t
)
=
1
-
cos
t
r
,
y
'
(
t
)
=
sin
t
r
.
(1)
a)
a sebességvektor hossza:
x
'
2
(
t
)
+
y
'
2
(
t
)
=
2
-
2
cos
t
r
=
2
1
-
cos
t
r
=
2
1
-
(
1
-
2
sin
2
t
2
r
=
2
|
sin
t
2
r
|
,
(2)
a teljes ív hossza
∫
0
2
r
π
x
'
2
(
t
)
+
y
'
2
(
t
)
dt
=
2
∫
0
2
r
π
|
sin
t
2
r
|
dt
=
2
[
-
2
r
cos
t
2
r
]
0
2
r
π
=
8
r
.
(3)
b)
A terület:
∫
0
2
r
π
x
'
(
t
)
y
(
t
)
dt
=
r
∫
0
2
r
π
(
1
-
cos
t
r
)
2
dt
=
r
∫
0
2
r
π
1
-
2
cos
t
r
+
cos
2
t
r
dt
=
=
r
∫
0
2
r
π
1
-
2
cos
t
r
+
1
+
cos
2
t
r
2
dt
=
r
[
3
t
2
-
2
r
sin
t
r
+
r
4
sin
2
t
r
]
0
2
r
π
=
3
r
2
π
.