Feladat: 14.7.
II. Berangesz fáraó négyszög alapú piramist tervez magának. Eredetileg úgy képzelte, hogy a piramis alapja
100 cvimedli oldalhosszúságú négyzet lesz, oldallapjai pedig egybevágó szabályos háromszög alakúak, de a földmérők szerint az építmény így épp nem férne el a fáraó kedvenc szigetén. Berangesz módosította a tervet: a négyzet alapot olyan
100 cvimedli oldalhosszúságú rombuszra cserélte, amelynek két szemközti csúcsánál
105∘
-os szöge van, és az egyik ilyen csúcsnál találkozó két oldallap szabályos háromszög alakú.
Készítsük el papírból a piramis makettjét! Jelöljük a méretarányt! Írjuk le a szerkesztés lépéseit is!
Megoldás: 14.7
Legyen a piramis alapja az
a oldalú
ABCD rombusz,
CDA∠=
105∘
, a piramis alappal szemközti csúcsát jelölje
E, az alapsíkba kiterített oldallapok legyenek
ADE1
,
BAE2
,
CBE3
és
DCE4
(lásd az
1. ábrát).
1. ábra
Legyenek
ADE1
és
DCE4
a szabályos háromszögek. Az
A,
B,
C,
D,
E1
,
E4
pontokat tehát adottnak tekinthetjük, az
E2
,
E3
pontokat kell megszerkesztenünk. Ehhez rendekezésünkre állnak
az
AE2
=
CE3
=a sugarú
A ill.
C középpontú körök.
Innen kétféle befejezést is adunk. Első eljárásunkban megszerkesztjük a
BE2
=
BE3
=x szakaszt, ami után
E2
és
E3
a megfelelő körök metszéspontjaként könnyen adódik.
Az
AEC,
BED térbeli háromszöglapok közös része egy
m szakasz, melynek egyik végpontja az
AC,
BD szakaszok közös
F felezőpontja. Az
AEC háromszögben
m súlyvonal, így
m az
AEC-vel egybevágó
ABC háromszögből épp
BF-nek adódik.
A
BDE háromszöget (illetve egy azzal egybevágó háromszöget a síkban) könnyen megszerkeszthetünk, hiszen adott benne
BD,
DE=a és az
E-hez tartozó
m súlyvonal. A
BE=x szakaszt ezzel elő is állítottuk.
A második gondolatmenetben az
E csúcsnak az alapsíkra való
T merőleges vetületét keressük meg és használjuk fel. Vegyük észre, hogy a
DE1
A,
CE4
D palástdarabok felhajtásakor, tehát a
DA illetve
CD tengelyek körüli forgatáskor
E1
illetve
E4
a
T pont ,,fölé" kerül. A forgatás során
E1
és
E4
alapsíkra vonatkozó merőleges vetülete egy-egy
DA-ra illetve
CD-re merőleges egyenesen mozog. Ezek szerint
T az
E1
-ből
DA-ra és az
E4
-ből
CD-re állított merőleges egyenesek metszéspontja.
E két egyenes meghosszabbítására illeszkedik
E3
illetve
E2
. Ennek igazolásához csak a
CE3
B,
BE2
A lapok ,,felhajtását" kell meggondolnunk és a
BA,
CD illetve a
CB,
DA egyenesek párhuzamosságát kell figyelembe vennünk.