Megoldás: 14.12
1. megoldás.
Használjuk az
1. ábra jelöléseit!
1. ábra
A kocka térfogata
AB3
. A gúla térfogata az alapterület és a testmagasság szorzatának harmada, tehát
AB2
·
FE
3
. Hat ilyen gúla térfogatának összege
2FE·
AB2
. Ha a hat gúla kiadná a kockát, akkor
2FE=AB=AE, tehát az
AFE háromszög félszabályos lenne:
AEF∠=
60∘
. Így
AEC∠=
120∘
, ami ellentmond annak, hogy az
AEB,
BEC szögek összege is épp ennyi (
60∘
+
60∘
), hiszen a térbe kilépve nagyobb szöget kellene kapnunk. Tehát a hat gúla nem adhatja ki a kockát.
2. megoldás.
Első pillanatban úgy tűnik, hogy hat ilyen testből épp egy kocka áll össze. Ez azonban tévedés.
1. ábra
A
14.9. feladat megoldásában láttuk, hogy a gúla
EF testmagassága egyenlő az alapnégyzet átlójának felével (
EF=FA).
Ezért, ha két ilyen gúlát
E csúcsuknál összeragasztva egymással szemben helyezünk el, akkor az oldalt nem négyzetek jönnek létre, hanem olyan téglalapok (pl.
ABB'
A'
), amelyek egyik párhuzamos oldalpárja az alapnégyzet oldalaival egyenlő, másik két oldala azonban ennél hosszabb, az alapnégyzet átlójával egyenlő hosszú (
BB'
=
AA'
=2AF=AC). Tehát hat ilyen piramis nem alkot kockát.