Feladat: 16.6.
Adott egy kocka. A kocka lapjainak középpontjai egy másik poliéder csúcsai. A poliéder két csúcsát él köti össze, ha a kocka megfelelő lapjai élben szomszédosak. Ezt a poliéder a kocka
duálisa).
a) Hány csúcsa, lapja és éle van a kocka duálisának?
b) Hanyadrésze a kockába így beírt poliéder térfogata a a kockáénak?
c) Készítsünk a kocka duálisából a fent leírt módon újabb poliédert! Ez lesz a kocka duálisának duálisa.Tehát legyenek az új csúcsok előbb kapott poliéderünk lapjainak középpontjai és kössük össze éllel azoknak a lapoknak a középpontját, amelyek élben szomszédosak voltak. Így milyen poliéderhez jutunk?
d) Hanyadrésze a kocka duálisába beírt poliéder térfogata a kocka duálisának?
Megoldás: 16.6
a) Az így kapott test az
oktaéder. 6 csúcsa, 8 lapja és 12 éle van.
1. ábra
A poliéder egy éle két lap közös határa. Ennek az élnek a duális poliéderban is megfelel egy él, az eredeti poliéder adott élben találkozó két lapjának középpontját összekötő él. Az
1. ábrán azonosan számoztuk a poliéder és a duális poliéder egymásnak megfelelő éleit.
A definícióból nem volt világos mely éleket kell lappal ,,összekötni". A duális poliéder lapja az eredeti poliéder valamely csúcsában találkozó lapok középpontjai által meghatározott sokszög. A duális poliédernek annyi csúcsa van, ahány lapja az eredeti poliédernek és annyi lapja, ahány csúcsa van az eredetinek.
b) Hatoda.
Az oktaéder két négyzet alapú gúlából rakható össze. Hasonlítsunk össze egy ilyen gúlát egy olyan hasábbal, amelynek alapja a kocka egy lapja, magassága pedig fele a kocka élének (lásd az
1. ábra jobb oldali felét).
A gúla alapja olyan négyzet, amelynek területe feleakkora, mint a kocka egy lapja és a gúla magassága is fele a kocka élhosszának. Ha egy hasáb és egy gúla alaplapja egymással egyenlő területűek és magasságuk is egyenlő egymással, akkor a hasáb háromszor akkora térfogatú, mint a gúla. Így a gúla térfogata a fél-kocka térfogatának hatoda.
c) A kocka duálisának duálisa is kocka.
d)
2
9
-e.