Feladat: 16.24.
a) Mely
n1
,
n2
,
n3
és
n4
esetén lehet egy-egy szabályos
n1
-szöget, szabályos
n2
-szöget, szabályos
n3
-szöget és egy szabályos
n4
-szöget egy közös csúcsuknál egymás mellé helyezni a síkban úgy, hogy ne fedjék egymást, de ne is maradjon a csúcs mellett szabadon hely?
b) A fenti megoldások közül melyik terjeszthető úgy tovább, hogy az egyenlő oldalhosszúságú szabályos sokszögek kiparkettázzák a teljes síkot és mindegyik sokszög mindegyik csúcsánál összesen 4 szabályos sokszög találkozzék, mindenütt egymással egybevágó elrendezésben?
c) Folytassuk a fenti a)-b) feladatokat, illetve a
16.23 példát!
Lehet-e öt, hat vagy annál több szabályos sokszöget egymás mellé illeszteni, hogy épp lefedjenek egy teljes szöget? Mely esetkhez tartozik parkettázás?
Megoldás: 16.24
a) A szögek alapján az
1
n1
+
1
n2
+
1
n3
+
1
n4
=1 egyenlet írható fel. Ennek megoldásai a
16.23. feladat b) részénél leírt módszer alapján találhatók meg:
-
n1
=4.
-
n1,11
=4,
n2,11
=4,
n3,11
=4,
n4,11
=4.
-
n1
=3.
-
n1,12
=3,
n2,12
=4,
n3,12
=4,
n4,12
=6.
-
n1,13
=3,
n2,13
=3,
n3,13
=6,
n4,13
=6.
-
n1,14
=3,
n2,14
=3,
n3,14
=12,
n4,14
=12.
b) Mindegyikhez tartozik parketta.
c) Minden szabályos sokszögnek legalább
60∘
-os a belső szöge, így csak
k=5 és
k=6 jön szóba.
k=6 is csak hat szabályos háromszöggel, tehát a háromszögráccsal. A
k=5 eset a
1
n1
+
1
n2
+
1
n3
+
1
n4
+
1
n5
=
3
2
egyenlethez vezet, melynek megoldásai
-
n1,15
=3,
n2,15
=3,
n3,15
=3,
n4,15
=4,
n5,15
=4.
-
n1,16
=3,
n2,16
=3,
n3,16
=3,
n4,16
=3,
n5,16
=6.
és volt még
-
n1,17
=3,
n2,17
=3,
n3,17
=3,
n4,17
=3,
n5,17
=3,
n6,17
=3.
Ezek mindegyikéhez tartozik legalább egyféle parketta.