Feladat: 11.2.
Adott az
ABC háromszög és az
XY szakasz, amelynek
X végpontja az
AB oldalegyenesen,
Y végpontja az
AC oldalegyenesen van. Bizonyítsuk be, hogy az
XY szakasz pontosan akkor antiparalel a
BC oldallal, ha az
AXY és az
ACB háromszögek - a csúcsok ilyen sorrendjében - hasonlóak. (Tehát a két háromszög különböző körüljárású és az
A-nál levő szögek azonosak, továbbá például az
X-nél levő szög egyenlő a
C-nél levő szöggel.)
Megoldás: 11.2
Tükrözzük az
AXY háromszöget az
A-ból induló szögfelezőre. A kapott
AX'Y' háromszögben
X' az
AC oldalegyenesen van,
Y' az
AB oldalegyenesen van. Tehát az
AX'Y' háromszög pontosan akkor hasonló - a csúcsok ilyen sorrendjében - az
ABC háromszöghöz, ha
X'Y' párhuzamos
XY-nal. Másrészt
X'Y' pontosan akkor párhuzamos
BC-vel, ha
XY antiparalel
BC-vel.