Megoldás: 16.65
1. ábra
Jelölje az
A pont illetve a rá illeszkedő
a egyenes
t tengelyre vonatkozó tükörképét
At
illetve
at
, ezek
v
‾
vektorral való eltoltját
Aτ
illetve
aτ
. Tehát
Aτ
illetve
aτ
az
A pont illetve
a egyenes képe a
t tengelyes tükrözés és
v
‾
vektorral való eltolás kompozíciójából álló
τ csúsztatva tükrözésnél (lásd az
1. ábrát).
Az
AAt
Aτ
háromszög
At
-nél derékszögű, így az
At
Aτ
szakasz felezőmerőlegese - a háromszög középvonala - az
AAτ
oldalt annak
F felezőpontjában metszi. Ezen a ponton halad át a csúsztatva tükrözés
t tengelye is.
Abban a koordinátarendszerben dolgozunk, amelynek origója
F,
y-tengelye a
t tükrözési tengely,
x-tengelye az említett felezőmerőleges és pozitív síknegyede az
Aτ
pontot tartalmazó - az
A pontot tartalmazóval átellenes - rész.
Legyen a vizsgált
P=a∩
aτ
pont vetülete a koordinátatengelyekre
Px
illetve
Py
és jelölje a
PPx
,
at
egyenesek metszéspontját
G, míg
a és
t metszetét
Q és jelöljük be a
Q-ból az
y tengelyre merőleges egyenes
PPx
-szel vett
FQ
és
At
Aτ
-val vett
H metszéspontját.
Mivel
a és
at
egymás tükörképei
t-re és
PG párhuzamos
t-vel, így a
PQG háromszög egyenlő szárú, tehát
FQ
felezi a
PG szakaszt.
Az
At
Aτ
PG paralelogramma
|
v
‾
|-vel egyenlő
At
Aτ
,
PG oldalai hosszának felét jelölje
c, tehát
c=
At
FA
=
GFQ
=
FQ
P.
A
QFQ
G,
QHAt
háromszögek hasonlóak, tehát
ahol
QFQ
=
FPx
=x,
FQ
G=c,
QH=
FFA
és
HAt
=
PPx
=
FPy
=y, azaz a törtektől megszabadulva:
xy=c·
FFA
, vagy még egyszerűbben:
ahol
T az
AAt
Aτ
háromszög területét jelöli.
A (
2) összefüggés egy olyan derékszögű hiperbola egyenlete, amelyre az
A,
Aτ
pontok is illeszkednek és amelynek aszimptotái a
t,
FFA
koordinátatengelyek.
Most megmutatjuk, hogy ennek a hiperbolának minden pontja rajta van az előírt (
A∈a, a∩
aτ
) ponthalmazon.
Aτ
rajta van, hiszen az
a=
AAτ
választással
Aτ
=a∩
aτ
.
A is rajta van, hiszen az
a=A
τ-1
(A) egyenessel
A=a∩
aτ
.
Tekintsük a
t tengely, az
A pont valamint a
v
‾
vektor által a fenti módon meghatározott derékszögű koordinátarendszert, tehát legyen az
y tengely a
t tükörtengely az
x-tengely pedig az
At
Aτ
szakasz felezőmerőlegese és legyen a pozitív síknegyed az
Aτ
-t tartalmazó. Tekintsük a sík egy tetszőleges - de
A-tól és
Aτ
-tól különböző
P pontját, melynek koordinátáira
xy=
T
2
.
Jelölje továbbra is
P-nek a koordinátatengelyekre eső vetületeit
Px
és
Py
, a
PA=a egyenes és
t metszéspontját
Q, a
PPx
egyenes metszéspontját a
QAt
=
at
egyenessel illetve a
Q-ból az
y-tengelyre állított merőlegessel
G és
FQ
, és legyen
QFQ
és
At
Aτ
metszéspontja
H.
Az
at
egyenes továbbra is
a tükörképe
t-re, hiszen
A∈a tükörképe
At
, míg
Q∈a tükörképe
Q∈
at
és két pont meghatározza az egyenest. Emiatt
PQG továbbra is egyenlő szárú,
FQ
most is felezi a
PG szakaszt. Legyen
GFQ
=
FQ
P=
c2
, míg
At
FA
=
FA
Aτ
=
c1
.
A
GQFQ
,
At
QH háromszögek itt is hasonlóak, így most is felírható a (
1) összefüggés, és most is teljesülnek a
QFQ
=xm
QH=
FFA
összefüggések, de ebben az esetben
FQ
G=
c2
és
HAt
=
PPx
+
FA
At
-
PFQ
=y+
c1
-
c2
, így ha most
(
1)-ben megszabadulunk a tötektől, akkor a
xy+x(
c1
-
c2
)=
c2
FFA
, összefüggéshez jutunk, amit célszerűbb az alábbi formába írni:
xy-
c1
FFA
=(
c2
-
c1
)(
FFA
+x).
|
| (3) |
Itt az egyenlet bal oldalán zérus szerepel, hiszen
P illeszkedik a (
2) egyenletű görbére, tehát a jobb oldalon is nulla áll:
c1
=
c2
. Ez azt jelenti, hogy az
At
Aτ
PG négyszög paralelogramma, tehát a
PAτ
egyenes valóban az
a egyenes képe a
τ csúsztatva tükrözésnél.
Megjegyzés
Ha
τ transzformációnk tengelyes tükrözés, amelynek
t tengelyére nem illeszkedik az
A pont, akkor a megoldáshalmaz a
t tengely és az
A pontból a tengelyre állított
u merőleges egyenesnek az uniójából áll. Valóban, a
t-vel nem párhuzamos és arra nem is merőleges
a egyenes és
τ(a) képe a tengelyen metszik egymást és a tengely tetszőleges
P pontja esetén
a-t a
PA egyenesnek választva ez a metszépont éppen
P, míg
a=u esetén
a=τ(a) tehát az egyenes és a képe egybeesik, közös részük a teljes egyenes.
A
t∪u merőleges egyenespár egy elfajult merőleges szárú hiperbolának is felfogható, a későbbiekben nem mindig tekintjük a csúsztatva tükrözéstől különböző esetnek, hanem csak egy elfajulásnak.