Feladat: 16.76.
Az
ABC háromszög magasságpontja
M. Adott a háromszög körülírt körén egy
M' pont. Mutassuk meg, hogy van olyan derékszögű hiperbola (vagy merőleges egyenespár), amelynek szimmetriaközéppontja az
MM' szakasz
M felezőpontja és amelyre illeszkednek az
A,
B,
C,
M,
M' pontok!
Megoldás: 16.76
Tekintsük az
M' ponthoz a
16.75. feladatban konstruált
A'B'C' háromszöget és azt a
τ irányításváltó egybevágóságot, amely az
A'B'C'M' pontnégyest az
ABCM pontnégyesbe viszi. A
τ transzformáció egy csúsztatva tükrözés, elfajult esetben egyszerű tengelyes tükrözés.
A
16.65. feladat és az utána írt megjegyzés szerint ilyenkor az
M pontnon átmenő
m egyenes és a
τ(m)=m' egyenes közös része merőleges szárú hiperbolát vagy egy merőleges egyenespárt ír le aszerint, hogy
τ valódi csúsztatva tükrözés vagy ,,csak" tengelyes tükrözés.
A
16.75. feladat konstrukciója szerint most ezen metszéspontok között vannak a háromszög csúcsai és az
M,
M' alappontok is. A
16.76. feladat állítását beláttuk.
Megjegyzés
Akkor fajul merőleges egyenespárra a megoldáshalmaz, ha az ábrához tartozó
τ transzformáció tengelyes tükrözés. Ennek
t tengelye az
MM' szakasz felezőmerőlegese, és ekkor a
16.65. feladatnak illetve az utána található megjegyzésnek megfelelő megoldáshalmaz a
t tengelyből és az
MM'=u egyenesből áll. Ez az egyenespár akkor tartalmazhatja az
ABC háromszög mindegyik csúcsát, ha a csúcsok közül legalább egy az
MM'=u egyenesen van. Ilyenkor
u a háromszög magasságvonala és egy jól ismert helyzethez jutunk el: ha a magasságpontot tükrözzük a háromszög bármelyik oldalára, akkor a körülírt kör egy
M' pontját kapjuk. Ebben a szituában a
16.75. feladatnak megfelelő
A'B'C'M' pontnégyes valóban az
ABCM pontnégyesnek az oldalegyenesre vonatkozó tükörképe és a
16.76. feladatnak megfelelő mértani hely az említett oldalegyenesből és a rá merőleges magasságvonal egyeneséből áll.