Feladat: 16.72.
Adott a síkon három pont:
A,
B és
C. Egy derékszögű hiperbola mind a három ponton átmegy.
a) Hol lehet a
C pontnak a hiperbola középpontjára tükrözött képe?
b) Hol lehet a hiperbola szimmetriaközéppontja?
Megoldás: 16.72
Lemma: Az
A,
B,
C,
C' pontok akkor és csakis akkor illeszkednek egy olyan derékszögű hiperbolára, amelynek középpontja a
CC' szakasz felezőpontja, ha az
ABC,
ABC' háromszögek körülírt köre egymás tükörképe az
AB egyenesre vonatkozólag.
A Lemma bizonyítása: A
16.66. feladat szerint pontosan egy olyan derékszögű hiperbola van, amely átmegy az előre adott
A,
C és
C' pontokon és az utóbbi kettő a hiperbola középpontjára szimmetrikusan helyezkedik el. Ez a hiperbola a
16.70.-
16.71. feladatok segítségével is értelmezhető, a
B pont akkor és csakis akkor illeszkedik rá, ha az
ABC,
ABC' háromszögek körülírt köre egymás tükörképe az
AB egyenesre vonatkozólag.
a) A Lemma alapján a feladat is röviden megoldható: a
C' pont akkor és csakis akkor megfelelő, ha illeszkedik az
ABC háromszög körülírt körének
AB egyenesre tükrözött képére.
b) A hiperbola középpontja a
CC' szakasz felezőpontja, tehát a középpont mértani helye az előbbi kör
C-ből felére kicsinyített képe, azaz az
ABC háromszög Feuerbach köre.